La démarche proposée ici consiste à montrer pourquoi l’existence de la décomposition est possible. Elle s’appuie sur l’algorithme d’Euclide étendu et sur les divisions euclidiennes.
Le but sera de trouver la décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ de la fraction rationnelle $\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}.$
Décomposez en éléments simples la fraction $F(X)=\frac{2X}{X^2-1}$ dans $\R(X)$
Le dénominateur de la fraction $F(X)$ est factorisable par deux polynômes de degré $1\comma$ $X^2-1 = (X-1)(X+1).$
Utilisez l’algorithme d’Euclide étendu pour trouver deux polynômes $U$ et $V$ vérifiant $1 = U(X)(X-1)+V(X)(X+1).$
Du coup, par soustraction $L_2\gets L_2-L_1$
$2 = (-1)(X-1)+1(X+1)$ et en divisant par $2$ :
Les polynômes $U$ et $V$ sont déterminés, posez $U(X) = \frac{-1}{2}$ et $V(X) = \frac{1}{2}$ et vous avez la relation $1 =U(X)(X-1)+V(X)(X+1).$
Le numérateur de la fraction $F(X)$ étant $2X\comma$ vous multipliez la relation précédente par $2X$ ce qui fournit :
Maintenant vous divisez cette relation par le produit $(X-1)(X+1)$ ce qui vous donne une séparation des parties polaires de la fraction $F(X)$ :
Sauf que cette écriture ne constitue pas une décomposition en éléments simples. La fraction $\frac{-X}{X+1}$ est le quotient de deux polynômes de degré $1\comma$ de même que $\frac{X}{X-1}.$
Vous allez effectuer la division euclidienne de $-X$ par $X+1\comma$ ce qui fournit $-X = (-1)(X+1)+1$ d’où $\frac{-X}{X+1} = -1 + \frac{1}{X+1}.$
De même, vous effectuez la division euclidienne de $X$ par $X-1\comma$ ce qui fournit $X = (1)(X-1)+1$ d’où $\frac{X}{X-1} = 1 + \frac{1}{X-1}.$
Mis bout à bout, il vient $F(X) = -1 + \frac{1}{X+1} + 1 + \frac{1}{X-1}$ d’où $\boxed{F(X) = \frac{2X}{X^2-1}=\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}.}$
Remarque. Il existe des méthodes plus rapides permettant de parvenir à cette décomposition. Elles utilisent le fait que la décomposition est unique. Ce n’est pas le but de cette section.
Décomposez en éléments simples $G(X) = \frac{4X^4}{(X^4-1)^2}$
Il a été vu que $\frac{2X}{X^2-1}=\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}.$
Dans $\R(Y)$ cela s’écrit $\frac{2Y}{Y^2-1}=\frac{1}{Y-1}+\frac{1}{Y+1}.$
Maintenant posez $Y=X^2$ et substituez pour obtenir $\frac{2X^2}{X^4-1}=\frac{1}{X^2-1}+\frac{1}{X^2+1}.$
En mettant au carré vous obtenez :
Mais ce n’est pas encore la décomposition en éléments simples dans $\R(X)\comma$ des termes sont encore décomposables.
Décomposez $\frac{2}{(X^2-1)(X^2+1)}$
Via le changement de variable $Y = X^2\comma$ il suffit de décomposer $\frac{2}{(Y-1)(Y+1)}.$
Il a été vu que $1 = \frac{-1}{2}(Y-1)+\frac{1}{2}(Y+1)$ donc $2 = (-1)(Y-1)+(1)(Y+1)$ et en divisant par le produit $(Y-1)(Y+1)$ vous obtenez que $\frac{2}{(Y-1)(Y+1)}=\frac{1}{Y-1}+\frac{-1}{Y+1}.$
D’où $\frac{2}{(X^2-1)(X^2+1)} = \frac{1}{X^2-1}+\frac{-1}{X^2+1}.$
Le terme $\frac{-1}{X^2+1}$ est un élément de deuxième espèce (un polynôme de degré inférieur ou égal à $1$ divisé par un polynôme de degré $2$ avec discriminant strictement négatif), il n’est pas décomposable dans $\R(X).$
Par contre, $ \frac{1}{X^2-1}$ l’est puisque $X^2-1 = (X-1)(X+1).$
Comme $1 = \frac{-1}{2}(X-1)+\frac{1}{2}(X+1)\comma$ en divisant par le produit $(X-1)(X+1)\comma$ il vient :
D’où finalement $\frac{2}{(X^2-1)(X^2+1)} = \frac{-1}{2(X+1)}+\frac{1}{2(X-1)}+\frac{-1}{X^2+1}.$
Décomposez $\frac{1}{(X^2-1)^2}$
Séparez les parties polaires
Le dénominateur de cette fraction s’écrit $(X^2-1)^2 = ((X-1)(X+1))^2 = (X-1)^2(X+1)^2.$
Afin de séparer les parties polaires, appliquez à nouveau l’algorithme d’Euclide étendu.
L’opération $L_2\gets L_2-L_1$ permet d’abaisser le degré.
Afin de poursuivre, effectuez la division euclidienne de $X^2+2X+1$ par $X.$
$X^2+2X+1 = X(X+2)+1$ ce qui fournit $X^2+2X+1 = (4X)\left(\frac{X}{4}+\frac{1}{2}\right) + 1.$
Vous allez donc effectuer l’opération $L_4\gets L_4-\left(\frac{X}{4}+\frac{1}{2}\right)L_3.$
Divisez par le produit $(X-1)^2(X+1)^2$ pour obtenir la séparation des parties polaires :
Obtenez les éléments simples pour chaque partie polaire
Bien qu’étant un polynôme de degré $1$ divisé par un polynôme de degré $2\comma$ la fraction $\frac{X+2}{4(X+1)^2}$ n’est pas un élément simple dans $\R(X).$ Ce n’est pas un élément de seconde espèce, puisque le polynôme $(X+1)^2$ n’est pas un polynôme de second degré à discriminant strictement négatif.
Vous allez donc effectuer deux divisions euclidiennes pour trouver la décomposition de $\frac{X+2}{4(X+1)^2}.$
Divisez $X+2$ par $X+1$ : $X+2 = (1)(X+1)+1.$ Divisez le nouveau quotient, $1\comma$ par $X+1$ : $1 = 0(X+1)+1.$
Vous obtenez donc $\frac{X+2}{(X+1)^2} = \frac{1}{X+1}+\frac{1}{(X+1)^2}.$
Par suite, $\frac{X+2}{4(X+1)^2} = \frac{1}{4(X+1)}+\frac{1}{4(X+1)^2}.$
Procédez de même pour $\frac{2-X}{4(X-1)^2}.$
Divisez $2-X$ par $X-1$ : $2-X = (-1)(X-1)+1$ puis divisez $-1$ par $X-1$ : $-1 = 0(X-1)-1\comma$ ce qui amène à :
Par suite, $\frac{2-X}{4(X-1)^2} = \frac{-1}{4(X-1)}+\frac{1}{4(X-1)^2}.$