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138. Des décompositions en éléments simples de fractions rationnelles en restant dans les réels

17/07/2020 - 0068

La démarche proposée ici consiste à montrer pourquoi l’existence de la décomposition est possible. On se base sur l’algorithme d’Euclide étendu et sur les divisions euclidiennes.

Le but sera de trouver la décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ de la fraction rationnelle $\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}.$

Décomposez en éléments simples la fraction $F(X)=\frac{2X}{X^2-1}$ dans $\R(X)$

Le dénominateur de la fraction $F(X)$ est factorisable par deux polynômes de degré $1$, $X^2-1 = (X-1)(X+1).$

Utilisez l’algorithme d’Euclide étendu pour trouver deux polynômes $U$ et $V$ vérifiant $1 = U(X)(X-1)+V(X)(X+1).$

$\begin{align*}
X-1 &= 1(X-1)+0(X+1)\\
X+1 &=0(X-1)+1(X+1)
\end{align*}$

Du coup, par soustraction $L_2\gets L_2-L_1$

$2 = (-1)(X-1)+1(X+1)$ et en divisant par $2$ :

$1 = \frac{-1}{2}(X-1)+\frac{1}{2}(X+1).$

Les polynômes $U$ et $V$ sont déterminés, posez $U(X) = \frac{-1}{2}$ et $V(X) = \frac{1}{2}$ et vous avez la relation $1 =U(X)(X-1)+V(X)(X+1).$

Le numérateur de la fraction $F(X)$ étant $2X$, vous multipliez la relation précédente par $2X$ ce qui fournit :

$2X = -X(X-1) + X(X+1).$

Maintenant vous divisez cette relation par le produit $(X-1)(X+1)$ ce qui vous donne une séparation des parties polaires de la fraction $F(X)$ :

$F(X) = \frac{2X}{X^2-1} = \frac{-X}{X+1}+\frac{X}{X-1}.$

Sauf que cette écriture ne constitue pas une décomposition en éléments simples. La fraction $\frac{-X}{X+1}$ est le quotient de deux polynômes de degré $1$, de même que $\frac{X}{X-1}.$

Vous allez effectuer la division euclidienne de $-X$ par $X+1$, ce qui fournit $-X = (-1)(X+1)+1$ d’où $\frac{-X}{X+1} = -1 + \frac{1}{X+1}.$

De même, vous effectuez la division euclidienne de $X$ par $X-1$, ce qui fournit $X = (1)(X-1)+1$ d’où $\frac{X}{X-1} = 1 + \frac{1}{X-1}.$

Mis bout à bout, il vient $F(X) = -1 + \frac{1}{X+1} + 1 + \frac{1}{X-1}$ d’où $\boxed{F(X) = \frac{2X}{X^2-1}=\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}.}$

Remarque. Il existe des méthodes plus rapides permettant de parvenir à cette décomposition. Elles utilisent le fait que la décomposition est unique. Ce n’est pas le but de cette section.

Décomposez en éléments simples $G(X) = \frac{4X^4}{(X^4-1)^2}$

Il a été vu que $\frac{2X}{X^2-1}=\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1}.$

Dans $\R(Y)$ cela s’écrit $\frac{2Y}{Y^2-1}=\frac{1}{Y-1}+\frac{1}{Y+1}.$

Maintenant posez $Y=X^2$ et substituez pour obtenir $\frac{2X^2}{X^4-1}=\frac{1}{X^2-1}+\frac{1}{X^2+1}.$

En mettant au carré vous obtenez :

$\begin{align*}
\frac{4X^4}{(X^4-1)^2} &=\frac{1}{(X^2-1)^2}+\frac{1}{(X^2+1)^2}+\frac{2}{(X^2-1)(X^2+1)}\\
\end{align*}$

Mais ce n’est pas encore la décomposition en éléments simples dans $\R(X)$, des termes sont encore décomposables.

Décomposez $\frac{2}{(X^2-1)(X^2+1)}$

Via le changement de variable $Y = X^2$, il suffit de décomposer $\frac{2}{(Y-1)(Y+1)}.$

Il a été vu que $1 = \frac{-1}{2}(Y-1)+\frac{1}{2}(Y+1)$ donc $2 = (-1)(Y-1)+(1)(Y+1)$ et en divisant par le produit $(Y-1)(Y+1)$ vous obtenez que $\frac{2}{(Y-1)(Y+1)}=\frac{1}{Y-1}+\frac{-1}{Y+1}.$

D’où $\frac{2}{(X^2-1)(X^2+1)} = \frac{1}{X^2-1}+\frac{-1}{X^2+1}.$

Le terme $\frac{-1}{X^2+1}$ est un élément de deuxième espèce (un polynôme de degré inférieur ou égal à $1$ divisé par un polynôme de degré $2$ avec discriminant strictement négatif), il n’est pas décomposable dans $\R(X).$

Par contre, $ \frac{1}{X^2-1}$ l’est puisque $X^2-1 = (X-1)(X+1).$

Comme $1 = \frac{-1}{2}(X-1)+\frac{1}{2}(X+1)$, en divisant par le produit $(X-1)(X+1)$, il vient :

$\frac{1}{X^2-1} = \frac{-1}{2(X+1)}+\frac{1}{2(X-1)}.$

D’où finalement $\frac{2}{(X^2-1)(X^2+1)} = \frac{-1}{2(X+1)}+\frac{1}{2(X-1)}+\frac{-1}{X^2+1}.$

Décomposez $\frac{1}{(X^2-1)^2}$

Séparez les parties polaires

Le dénominateur de cette fraction s’écrit $(X^2-1)^2 = ((X-1)(X+1))^2 = (X-1)^2(X+1)^2.$

Afin de séparer les parties polaires, appliquez à nouveau l’algorithme d’Euclide étendu.

$\begin{align*}
X^2-2X+1 &= 1(X-1)^2+0(X+1)^2 \quad (L_1)\\
X^2+2X+1 &=0(X-1)^2+1(X+1)^2 \quad (L_2)
\end{align*}$

L’opération $L_2\gets L_2-L_1$ permet d’abaisser le degré.

$\begin{align*}
4X &= (-1)(X-1)^2+(1)(X+1)^2 \quad (L_3)\\
X^2+2X+1 &=0(X-1)^2+1(X+1)^2\quad (L_4)
\end{align*}$

Afin de poursuivre, effectuez la division euclidienne de $X^2+2X+1$ par $X.$

$X^2+2X+1 = X(X+2)+1$ ce qui fournit $X^2+2X+1 = (4X)\left(\frac{X}{4}+\frac{1}{2}\right) + 1.$

Vous allez donc effectuer l’opération $L_4\gets L_4-\left(\frac{X}{4}+\frac{1}{2}\right)L_3.$

$1 = \left(\frac{X}{4}+\frac{1}{2}\right)(X-1)^2+\left(\frac{1}{2}-\frac{X}{4}\right)(X+1)^2.$

Divisez par le produit $(X-1)^2(X+1)^2$ pour obtenir la séparation des parties polaires :

$\frac{1}{(X^2-1)^2} = \frac{X+2}{4(X+1)^2} + \frac{2-X}{4(X-1)^2}.$

Obtenez les éléments simples pour chaque partie polaire

Bien qu’étant un polynôme de degré $1$ divisé par un polynôme de degré $2$, la fraction $\frac{X+2}{4(X+1)^2}$ n’est pas un élément simple dans $\R(X)$. Ce n’est pas un élément de seconde espèce, puisque le polynôme $(X+1)^2$ n’est pas un polynôme de second degré à discriminant strictement négatif.

Vous allez donc effectuer deux divisions euclidiennes pour trouver la décomposition de $\frac{X+2}{4(X+1)^2}$.

Divisez $X+2$ par $X+1$ : $X+2 = (1)(X+1)+1.$ Divisez le nouveau quotient, $1$, par $X+1$ : $1 = 0(X+1)+1.$

Vous obtenez donc $\frac{X+2}{(X+1)^2} = \frac{1}{X+1}+\frac{1}{(X+1)^2}.$

Par suite, $\frac{X+2}{4(X+1)^2} = \frac{1}{4(X+1)}+\frac{1}{4(X+1)^2}.$

Procédez de même pour $\frac{2-X}{4(X-1)^2}.$

Divisez $2-X$ par $X-1$ : $2-X = (-1)(X-1)+1$ puis divisez $-1$ par $X-1$ : $-1 = 0(X-1)-1$, ce qui amène à :

$\frac{2-X}{(X-1)^2} = \frac{-1}{(X-1)}+\frac{1}{(X-1)^2}.$

Par suite, $\frac{2-X}{4(X-1)^2} = \frac{-1}{4(X-1)}+\frac{1}{4(X-1)^2}.$

Concluez

$\frac{1}{(X^2-1)^2} = \frac{1}{4(X+1)}+\frac{1}{4(X+1)^2} + \frac{-1}{4(X-1)}+\frac{1}{4(X-1)^2}. $

Finalisez la décomposition demandée

$\begin{align*}
\frac{4X^4}{(X^4-1)^2} &=\frac{1}{(X^2-1)^2}+\frac{1}{(X^2+1)^2}+\frac{2}{(X^2-1)(X^2+1)}\\
&= \frac{1}{4(X+1)}+\frac{1}{4(X+1)^2} + \frac{-1}{4(X-1)}+\frac{1}{4(X-1)^2} \\
&\quad +\frac{1}{(X^2+1)^2} \\
&\quad +\frac{-1}{2(X+1)}+\frac{1}{2(X-1)}+\frac{-1}{X^2+1}\\
&= \frac{-1}{4(X+1)} + \frac{1}{4(X+1)^2}+\frac{1}{4(X-1)}+\frac{1}{4(X-1)^2}\\
&\quad+\frac{-1}{X^2+1}+\frac{1}{(X^2+1)^2}.
\end{align*}$

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