Contexte
Considérez le polynôme complexe $aX^3+bX^2+cX+d$ qui admet la factorisation $a(X-u)(X-v)(X-w)$ dans $\C[X]\comma$ ce qui conduit aux égalités appelées relations entre coefficients et racines, qui font intervenir les fonctions symétriques élémentaires des racines :
\begin{align*}
u+v+w &= \frac{-b}{a}\\
uv+vw+wu &=\frac{c}{a}\\
uvw &=\frac{-d}{a}.
\end{align*}
Pour plus de commodité, vous noterez :
\boxed{\begin{align*}
N_1 &= \frac{-b}{a}\\
N_2 &=\frac{c}{a}\\
N_3 &=\frac{-d}{a}.
\end{align*}}
Le discriminant est une expression, invariante par permutation des nombres $u\comma$ $v$ et $w$ qui s’annule dès que deux racines sont égales.
Vous le noterez :
\begin{align*}
\Delta &= (u-v)^2(v-w)^2(w-u)^2 \\
&=((u-v)(v-w)(w-u))^2.
\end{align*}
Passez au développement du discriminant
Puis développez $(u-v)(v-w)(w-u)$ :
\begin{align*}
(u-v)(v-w)(w-u) &= (uv-uw-v^2+vw)(w-u)\\
&=uvw-uw^2-v^2w+vw^2\\
&\quad -u^2v+u^2w+uv^2-uvw\\
&=uv^2+vw^2+wu^2-wv^2-uw^2-vu^2.
\end{align*}
Élevez au carré :
\begin{align*}
\Delta &= (uv^2+vw^2+wu^2-wv^2-uw^2-vu^2)^2 \\
&=u^2v^4+v^2w^4+w^2u^4+w^2v^4+u^2w^4+v^2u^4\\
&\quad +2uv^3w^2+2u^3v^2w-2uv^4w-2u^2v^2w^2-2u^3v^3\\
&\quad +2u^2vw^3-2v^3w^3-2uvw^4-2u^2v^2w^2\\
&\quad -2u^2v^2w^2-2u^3w^3-2u^4vw\\
&\quad +2uv^2w^3+2u^2v^3w\\
&\quad +2u^3vw^2 \\
&=u^2v^4+v^2w^4+w^2u^4+w^2v^4+u^2w^4+v^2u^4\\
&\quad +2uv^3w^2+2u^3v^2w+2u^2vw^3+2uv^2w^3+2u^2v^3w+2u^3vw^2\\
&\quad -2v^3w^3-2u^3v^3-2u^3w^3\\
&\quad -2uvw^4-2uv^4w-2u^4vw\\
&\quad -6u^2v^2w^2.
\end{align*}
Exprimez le discriminant en fonction des fonctions symétriques
Il s’agit maintenant de casser la structure donnée par :
u^2v^4+v^2w^4+w^2u^4+w^2v^4+u^2w^4+v^2u^4.
Vous allez donc développer :
\begin{align*}
\Delta – N_1^2N_2^2 &= -4u^4vw-4uv^4w-4uvw^4\\
&\quad -4u^3v^3-4u^3w^3-4v^3w^3\\
&\quad -6u^3v^2w-6u^3vw^2-6u^2v^3w-6u^2vw^3-6uv^3w^2-6uv^2w^3\\
&\quad -21u^2v^2w^2.
\end{align*}
Pour casser la structure $-4u^4vw-4uv^4w-4uvw^4\comma$ vous développez :
\begin{align*}
\Delta – N_1^2N_2^2 +4N_1^3N_3 &= -4u^3v^3-4u^3w^3-4v^3w^3\\
&\quad +6u^3v^2w+6u^3vw^2+6u^2v^3w+6u^2vw^3+6uv^3w^2+6uv^2w^3\\
&\quad +3u^2v^2w^2.
\end{align*}
Pour casser la structure $-4u^3v^3-4u^3w^3-4v^3w^3\comma$ vous développez :
\begin{align*}
\Delta – N_1^2N_2^2 +4N_1^3N_3 +4 N_2^3&= 18u^3v^2w+18u^3vw^2+18u^2v^3w\\
&\quad +18u^2vw^3+18uv^3w^2+18uv^2w^3\\
&\quad +27u^2v^2w^2.
\end{align*}
Vous y êtes presque :
\Delta – N_1^2N_2^2 +4N_1^3N_3 +4 N_2^3-18N_1N_2N_3 =-27u^2v^2w^2.
Ainsi le discriminant est égal à :
\boxed{\Delta = N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2.}
Remarque. Lorsque l’équation de degré $3$ est de la forme $x^3+px+q=0\comma$ vous avez $N_1=0\comma$ $N_2 = p$ et $N_3 = -q$ ce qui simplifie considérablement le discriminant, qui vaut $-4p^3-27q^2.$
Prolongement
Il est parfois utile de savoir construire un polynôme réel du troisième degré admettant exactement deux racines réelles. Allez jeter un coup d’œil dans un autre article pour en savoir davantage.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 336.
