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146. Calculez le discriminant de l’équation générale du troisième degré

17/07/2020 - 0063

Contexte

Considérez le polynôme complexe $aX^3+bX^2+cX+d$ qui admet la factorisation $a(X-u)(X-v)(X-w)$ dans $\C[X]$, ce qui conduit aux égalités appelées « fonctions symétriques des racines » :

$\begin{align*}
u+v+w &= \frac{-b}{a}\\
uv+vw+wu &=\frac{c}{a}\\
uvw &=\frac{-d}{a}.
\end{align*}$

Pour plus de commodité, vous noterez :

$\begin{align*}
N_1 &= \frac{-b}{a}\\
N_2 &=\frac{c}{a}\\
N_3 &=\frac{-d}{a}.
\end{align*}$

Le discriminant est une expression, invariante par permutation des nombres $u$, $v$ et $w$ qui s’annule dès que deux solutions sont identiques.

Vous le noterez :

$\begin{align*}
\Delta &= (u-v)^2(v-w)^2(w-u)^2 \\
&=((u-v)(v-w)(w-u))^2.
\end{align*}$

Passez au développement du discriminant

Puis développez $(u-v)(v-w)(w-u)$ :

$\begin{align*}
(u-v)(v-w)(w-u) &= (uv-uw-v^2+vw)(w-u)\\
&=uvw-uw^2-v^2w+vw^2\\
&\quad -u^2v+u^2w+uv^2-uvw\\
&=uv^2+vw^2+wu^2-wv^2-uw^2-vu^2.
\end{align*}$

Elevez au carré :

$\begin{align*}
\Delta &= (uv^2+vw^2+wu^2-wv^2-uw^2-vu^2)^2 \\
&=u^2v^4+v^2w^4+w^2u^4+w^2v^4+u^2w^4+v^2u^4\\
&\quad +2uv^3w^2+2u^3v^2w-2uv^4w-2u^2v^2w^2-2u^3v^3\\
&\quad +2u^2vw^3-2v^3w^3-2uvw^4-2u^2v^2w^2\\
&\quad -2u^2v^2w^2-2u^3w^3-2u^4vw\\
&\quad +2uv^2w^3+2u^2v^3w\\
&\quad +2u^3vw^2 \\
&=u^2v^4+v^2w^4+w^2u^4+w^2v^4+u^2w^4+v^2u^4\\
&\quad +2uv^3w^2+2u^3v^2w+2u^2vw^3+2uv^2w^3+2u^2v^3w+2u^3vw^2\\
&\quad -2v^3w^3-2u^3v^3-2u^3w^3\\
&\quad -2uvw^4-2uv^4w-2u^4vw\\
&\quad -6u^2v^2w^2.\\
\end{align*}$

Exprimez le discriminant en fonction des fonctions symétriques

Il s’agit maintenant de casser la structure donnée par :

$u^2v^4+v^2w^4+w^2u^4+w^2v^4+u^2w^4+v^2u^4.$

Vous allez donc développer :

$\begin{align*}
\Delta – N_1^2N_2^2 &= -4u^4vw-4uv^4w-4uvw^4\\
&\quad -4u^3v^3-4u^3w^3-4v^3w^3\\
&\quad -6u^3v^2w-6u^3vw^2-6u^2v^3w-6u^2vw^3-6uv^3w^2-6uv^2w^3\\
&\quad -21u^2v^2w^2.
\end{align*}$

Pour casser la structure $-4u^4vw-4uv^4w-4uvw^4$, vous développez :

$\begin{align*}
\Delta – N_1^2N_2^2 +4N_1^3N_3 &= -4u^3v^3-4u^3w^3-4v^3w^3\\
&\quad +6u^3v^2w+6u^3vw^2+6u^2v^3w+6u^2vw^3+6uv^3w^2+6uv^2w^3\\
&\quad +3u^2v^2w^2.
\end{align*}$

Pour casser la structure $-4u^3v^3-4u^3w^3-4v^3w^3$, vous développez :

$\begin{align*}
\Delta – N_1^2N_2^2 +4N_1^3N_3 +4 N_2^3&= 18u^3v^2w+18u^3vw^2+18u^2v^3ww\\
&\quad +18u^2vw^3+18uv^3w^2+18uv^2w^3\\
&\quad +27u^2v^2w^2
\end{align*}$

Vous y êtes presque :

$\Delta – N_1^2N_2^2 +4N_1^3N_3 +4 N_2^3-18N_1N_2N_3 =-27u^2v^2w^2.$

Ainsi le discriminant est égal à :

$\boxed{\Delta = N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2.}$

Remarque. Lorsque l’expression de degré $3$ est de la forme $x^3+px+q=0$, vous avez $N_1=0$, $N_2 = p$ et $N_3 = -q$ ce qui simplifie considérablement le discriminant, qui vaut $-4p^3-27q^2.$

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