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146. Calculez le discriminant de l’équation générale du troisième degré

17/07/2020 - 0063

Contexte

Considérez le polynôme complexe $aX^3+bX^2+cX+d$ qui admet la factorisation $a(X-u)(X-v)(X-w)$ dans $\C[X]$, ce qui conduit aux égalités appelées « fonctions symétriques des racines » :

\begin{aligned}
u+v+w &= \frac{-b}{a}\\
uv+vw+wu &=\frac{c}{a}\\
uvw &=\frac{-d}{a}.
\end{aligned}

Pour plus de commodité, vous noterez :

\boxed{\begin{align*}
N_1 &= \frac{-b}{a}\\
N_2 &=\frac{c}{a}\\
N_3 &=\frac{-d}{a}.
\end{align*}}

Le discriminant est une expression, invariante par permutation des nombres $u$, $v$ et $w$ qui s’annule dès que deux solutions sont identiques.

Vous le noterez :

\begin{aligned}
\Delta &= (u-v)^2(v-w)^2(w-u)^2 \\
&=((u-v)(v-w)(w-u))^2.
\end{aligned}

Passez au développement du discriminant

Puis développez $(u-v)(v-w)(w-u)$ :

\begin{aligned}
(u-v)(v-w)(w-u) &= (uv-uw-v^2+vw)(w-u)\\
&=uvw-uw^2-v^2w+vw^2\\
&\quad -u^2v+u^2w+uv^2-uvw\\
&=uv^2+vw^2+wu^2-wv^2-uw^2-vu^2.
\end{aligned}

Elevez au carré :

\begin{aligned}
\Delta &= (uv^2+vw^2+wu^2-wv^2-uw^2-vu^2)^2 \\
&=u^2v^4+v^2w^4+w^2u^4+w^2v^4+u^2w^4+v^2u^4\\
&\quad +2uv^3w^2+2u^3v^2w-2uv^4w-2u^2v^2w^2-2u^3v^3\\
&\quad +2u^2vw^3-2v^3w^3-2uvw^4-2u^2v^2w^2\\
&\quad -2u^2v^2w^2-2u^3w^3-2u^4vw\\
&\quad +2uv^2w^3+2u^2v^3w\\
&\quad +2u^3vw^2 \\
&=u^2v^4+v^2w^4+w^2u^4+w^2v^4+u^2w^4+v^2u^4\\
&\quad +2uv^3w^2+2u^3v^2w+2u^2vw^3+2uv^2w^3+2u^2v^3w+2u^3vw^2\\
&\quad -2v^3w^3-2u^3v^3-2u^3w^3\\
&\quad -2uvw^4-2uv^4w-2u^4vw\\
&\quad -6u^2v^2w^2.\\
\end{aligned}

Exprimez le discriminant en fonction des fonctions symétriques

Il s’agit maintenant de casser la structure donnée par :

$u^2v^4+v^2w^4+w^2u^4+w^2v^4+u^2w^4+v^2u^4.$

Vous allez donc développer :

\begin{aligned}
\Delta – N_1^2N_2^2 &= -4u^4vw-4uv^4w-4uvw^4\\
&\quad -4u^3v^3-4u^3w^3-4v^3w^3\\
&\quad -6u^3v^2w-6u^3vw^2-6u^2v^3w-6u^2vw^3-6uv^3w^2-6uv^2w^3\\
&\quad -21u^2v^2w^2.
\end{aligned}

Pour casser la structure $-4u^4vw-4uv^4w-4uvw^4$, vous développez :

\begin{aligned}
\Delta – N_1^2N_2^2 +4N_1^3N_3 &= -4u^3v^3-4u^3w^3-4v^3w^3\\
&\quad +6u^3v^2w+6u^3vw^2+6u^2v^3w+6u^2vw^3+6uv^3w^2+6uv^2w^3\\
&\quad +3u^2v^2w^2.
\end{aligned}

Pour casser la structure $-4u^3v^3-4u^3w^3-4v^3w^3$, vous développez :

\begin{aligned}
\Delta – N_1^2N_2^2 +4N_1^3N_3 +4 N_2^3&= 18u^3v^2w+18u^3vw^2+18u^2v^3ww\\
&\quad +18u^2vw^3+18uv^3w^2+18uv^2w^3\\
&\quad +27u^2v^2w^2
\end{aligned}

Vous y êtes presque :

$\Delta – N_1^2N_2^2 +4N_1^3N_3 +4 N_2^3-18N_1N_2N_3 =-27u^2v^2w^2.$

Ainsi le discriminant est égal à :

$\boxed{\Delta = N_1^2N_2^2-4N_1^3N_3-4N_2^3+18N_1N_2N_3-27N_3^2.}$

Remarque. Lorsque l’expression de degré $3$ est de la forme $x^3+px+q=0$, vous avez $N_1=0$, $N_2 = p$ et $N_3 = -q$ ce qui simplifie considérablement le discriminant, qui vaut $-4p^3-27q^2.$

Prolongement

Il est parfois utile de savoir construire un polynôme réel du troisième degré admettant exactement deux racines réelles. Allez jeter un coup d’oeil dans le contenu rédigé dans l'article 336 pour en savoir davantage.

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