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147. Exemple de résolution d’une équation du troisième degré

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Le but de ce contenu est d’illustrer la méthode théorique présentée dans un autre article et de donner un exemple qui fait suite à celui détaillé dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 141.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 144.

Résolvez $x^3+3x-36=0$

Cette équation s’écrit sous la forme $ax^3+bx^2+cx+d=0\comma$ avec $a = 1\comma$ $b=0\comma$ $c=3$ et $d=-36.$

Vous calculez alors successivement $N_1\comma$ $N_2$ et $N_3.$

\begin{align*} N_1 &= \frac{-b}{a} = 0\\ N_2 &=\frac{c}{a} = 3\\ N_3 &= \frac{-d}{a} = 36. \end{align*}

Êtes-vous dans le cas particulier ou non ? Pour le savoir, il faut déterminer si $N_1^2-3N_2$ est nul ou non.

N_1^2-3N_2 = 0-9 = -9.

Ainsi, vous n’êtes pas dans le cas particulier.

Formez la résolvante

Ses deux coefficients sont à calculer.

Le premier coefficient est :

\begin{align*} -2N_1^3+9N_1N_2-27N_3 &= -2\times 0+9\times 0\times 3 – 27\times 36\\ &=-972. \end{align*}

Le second coefficient est :

Il vaut $(N_1^2-3N_2)^3 = (-9)^3 = -729\comma$ puisque $N_1^2-3N_2 = -9.$

La résolvante est donc $X^2-972X-729 = 0.$

Le discriminant de cette équation est égal à $\Delta = (-972)^2+4\times 729 = 947700.$

La racine carrée du discriminant est égale à $270\sqrt{13}.$

Une solution de cette résolvante est $\alpha = \frac{972+270\sqrt{13}}{2}$ soit $\alpha = 486+135\sqrt{13}.$

Il s’agit maintenant d’en extraire une racine cubique appelée $k.$ Vous la choisissez réelle, si bien que vous posez $k = \sqrt[3]{486+135\sqrt{13}}.$

Calculez les solutions

Il sera commode de calculer $\frac{1}{k}.$ Pour cela, vous calculez d’abord l’inverse de $\alpha.$

\begin{align*} \frac{1}{\alpha} &= \frac{1}{486+135\sqrt{13}}\\ &= \frac{486-135\sqrt{13}}{(486+135\sqrt{13})(486-135\sqrt{13})} \\ &= \frac{486-135\sqrt{13}}{486^2-135^2\times 13} \\ &= \frac{486-135\sqrt{13}}{-729}. \end{align*}

Ainsi $\frac{1}{k} = -\sqrt[3]{\frac{486-135\sqrt{13}}{729}}$ soit $\frac{1}{k} = -\frac{1}{9} \sqrt[3]{486-135\sqrt{13}}.$

La première solution est donnée par :

\begin{align*} \frac{1}{3}\left(N_1+k+\frac{N_1^2-3N_2}{k}\right) &= \frac{1}{3}\left(0 + k + \frac{-9}{k} \right) \\ &= \frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{486+135\sqrt{13} } + \sqrt[3]{486-135\sqrt{13}} \right). \end{align*}

Comme $135$ et $486$ sont divisibles par $27\comma$ vous déduisez que la première solution est égale, après simplification, à :

\sqrt[3]{18+5\sqrt{13} }+\sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.

La deuxième solution est donnée par :

\begin{align*} \frac{1}{3}\left(N_1+jk+\frac{j^2N_1^2-3j^2N_2}{k}\right) &= j \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j^2 \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }. \end{align*}

L’expression de la troisième solution est donnée par :

\begin{align*} \frac{1}{3}\left(N_1+j^2k+\frac{jN_1^2-3jN_2}{k}\right) &= j^2\sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }. \end{align*}

Concluez

L’équation $x^3+3x-36=0$ admet trois solutions : l’une est réelle et c’est $\sqrt[3]{18+5\sqrt{13} }+\sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }\comma$ les deux autres sont complexes non réelles et conjuguées : $j \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j^2 \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }$ et $j^2 \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.$

Prolongement

Vous pouvez constater que $3$ est une solution de l’équation $x^3+3x-36=0.$ D’après ce qui précède, vous déduisez que $3 = \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} }+\sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.$ Pourriez-vous montrer cette égalité directement ?