Votre navigateur n'accepte pas le Javascript. La navigation sur ce site risque de ne pas fonctionner correctement.

147. Exemple de résolution d’une équation du troisième degré

Le but de ce document est d’illustrer le contenu théorique que vous trouverez dans dans l'article 141 et de donner un exemple subséquent à celui détaillé dans l'article 144.

Résolvez $x^3+3x-36=0$

Cette équation s’écrit sous la forme $ax^3+bx^2+cx+d=0$, avec $a = 1$, $b=0$, $c=3$ et $d=-36.$

Vous calculez alors successivement $N_1$, $N_2$ et $N_3.$

$\begin{align*}
N_1 &= \frac{-b}{a} = 0\\
N_2 &=\frac{c}{a} = 3\\
N_3 &= \frac{-d}{a} = 36.
\end{align*}$

Etes-vous dans le cas particulier ou non ? Pour cela, il faut savoir si $N_1^2-3N_2$ est nul ou non.

$N_1^2-3N_2 = 0-9 = -9.$

Ainsi, vous n’êtes pas dans le cas particulier.

Formez la résolvante

Ses deux coefficients sont à calculer.

Le premier coefficient est :

$\begin{align*}
-2N_1^3+9N_1N_2-27N_3 &= -2\times 0+9\times 0 11 – 27\times 36\\
&=972.\\
\end{align*}$

Le second coefficient est :

$(N_1^2-3N_2)^3 = (-9)^3 = -729$, que l’on obtient après avoir calculé $N_1^2-3N_2 = -9.$

La résolvante est donc $X^2-972X-729 = 0.$

Le discriminant de cette équation est égal à $\Delta = (-972)^2+4\times 729 = 947700.$

La racine carrée du discriminant est égale à $270\sqrt{13}.$

Une solution de cette résolvante est $\alpha = \frac{972+270\sqrt{13}}{2}$ soit $\alpha = 486+135\sqrt{13}.$

Il s’agit maintenant d’en extraire une racine cubique appelée $k.$ Vous la choisissez réelle, si bien que vous posez $k = \sqrt[3]{486+135\sqrt{13}}.$

Calculez les solutions

Il sera commode de calculer $\frac{1}{k}.$ Pour cela, vous calculez d’abord l’inverse de $\alpha.$

$\begin{align*}
\frac{1}{\alpha} &= \frac{1}{486+135\sqrt{13}}\\
&= \frac{486-135\sqrt{13}}{(486+135\sqrt{13})(486-135\sqrt{13})} \\
&= \frac{486-135\sqrt{13}}{486^2-135^2\times 13} \\
&= \frac{486-135\sqrt{13}}{-729}. \\
\end{align*}$

Ainsi $\frac{1}{k} = -\sqrt[3]{\frac{486-135\sqrt{13}}{729}}$ soit $\frac{1}{k} = -\frac{1}{9} \sqrt[3]{ \frac{486-135\sqrt{13}}{-729}}.$

La première solution est donnée par :

$\begin{align*}
\frac{1}{3}\left(N_1+k+\frac{N_1^2-3N_2}{k}\right) &= \frac{1}{3}\left(0 + k + \frac{-9}{k} \right) \\
&= \frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{486+135\sqrt{13} } + \sqrt[3]{486-135\sqrt{13}} \right).
\end{align*}$

Comme $135$ et $486$ sont divisibles par $27$, vous déduisez que la première solution est égale, après simplification, à :

$\sqrt[3]{18+5\sqrt{13} }+\sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.$

La deuxième solution est donnée par :

$\begin{align*}
\frac{1}{3}\left(N_1+jk+\frac{j^2N_1^2-3j^2N_2}{k}\right) &= j \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j^2 \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.
\end{align*}$

L’expression de la troisième solution est donnée par :

$\begin{align*}
\frac{1}{3}\left(N_1+j^2k+\frac{jN_1^2-3jN_2}{k}\right)
&= j^2\sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.
\end{align*}$

Concluez

L’équation $x^3+3x-36=0$ admet trois solutions, une est réelle et c’est $\sqrt[3]{18+5\sqrt{13} }+\sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }$, les deux autres sont complexes non réelles et conjuguées : $j \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j^2 \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }$ et $j^2 \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.$

Prolongement

Vous pouvez constater que $3$ est une solution de l’équation $x^3+3x-36=0.$ D’après ce qui précède, vous déduisez que $3 = \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} }+\sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.$ Pourriez-vous montrer cette égalité directement ?

Lisez d'autres articles !

Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !

Aidez-moi sur Facebook !

Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.

Partagez !

Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.