Le but de ce document est d’illustrer le contenu théorique que vous trouverez dans dans l'article 141 et de donner un exemple subséquent à celui détaillé dans l'article 144.
Résolvez $x^3+3x-36=0$
Cette équation s’écrit sous la forme $ax^3+bx^2+cx+d=0$, avec $a = 1$, $b=0$, $c=3$ et $d=-36.$
Vous calculez alors successivement $N_1$, $N_2$ et $N_3.$
\begin{aligned}
N_1 &= \frac{-b}{a} = 0\\
N_2 &=\frac{c}{a} = 3\\
N_3 &= \frac{-d}{a} = 36.
\end{aligned}
Etes-vous dans le cas particulier ou non ? Pour cela, il faut savoir si $N_1^2-3N_2$ est nul ou non.
$N_1^2-3N_2 = 0-9 = -9.$
Ainsi, vous n’êtes pas dans le cas particulier.
Formez la résolvante
Ses deux coefficients sont à calculer.
Le premier coefficient est :
\begin{aligned}
-2N_1^3+9N_1N_2-27N_3 &= -2\times 0+9\times 0 11 – 27\times 36\\
&=972.\\
\end{aligned}
Le second coefficient est :
$(N_1^2-3N_2)^3 = (-9)^3 = -729$, que l’on obtient après avoir calculé $N_1^2-3N_2 = -9.$
La résolvante est donc $X^2-972X-729 = 0.$
Le discriminant de cette équation est égal à $\Delta = (-972)^2+4\times 729 = 947700.$
La racine carrée du discriminant est égale à $270\sqrt{13}.$
Une solution de cette résolvante est $\alpha = \frac{972+270\sqrt{13}}{2}$ soit $\alpha = 486+135\sqrt{13}.$
Il s’agit maintenant d’en extraire une racine cubique appelée $k.$ Vous la choisissez réelle, si bien que vous posez $k = \sqrt[3]{486+135\sqrt{13}}.$
Calculez les solutions
Il sera commode de calculer $\frac{1}{k}.$ Pour cela, vous calculez d’abord l’inverse de $\alpha.$
\begin{aligned}
\frac{1}{\alpha} &= \frac{1}{486+135\sqrt{13}}\\
&= \frac{486-135\sqrt{13}}{(486+135\sqrt{13})(486-135\sqrt{13})} \\
&= \frac{486-135\sqrt{13}}{486^2-135^2\times 13} \\
&= \frac{486-135\sqrt{13}}{-729}. \\
\end{aligned}
Ainsi $\frac{1}{k} = -\sqrt[3]{\frac{486-135\sqrt{13}}{729}}$ soit $\frac{1}{k} = -\frac{1}{9} \sqrt[3]{ \frac{486-135\sqrt{13}}{-729}}.$
La première solution est donnée par :
\begin{aligned}
\frac{1}{3}\left(N_1+k+\frac{N_1^2-3N_2}{k}\right) &= \frac{1}{3}\left(0 + k + \frac{-9}{k} \right) \\
&= \frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{486+135\sqrt{13} } + \sqrt[3]{486-135\sqrt{13}} \right).
\end{aligned}
Comme $135$ et $486$ sont divisibles par $27$, vous déduisez que la première solution est égale, après simplification, à :
$\sqrt[3]{18+5\sqrt{13} }+\sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.$
La deuxième solution est donnée par :
\begin{aligned}
\frac{1}{3}\left(N_1+jk+\frac{j^2N_1^2-3j^2N_2}{k}\right) &= j \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j^2 \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.
\end{aligned}
L’expression de la troisième solution est donnée par :
\begin{aligned}
\frac{1}{3}\left(N_1+j^2k+\frac{jN_1^2-3jN_2}{k}\right)
&= j^2\sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.
\end{aligned}
Concluez
L’équation $x^3+3x-36=0$ admet trois solutions, une est réelle et c’est $\sqrt[3]{18+5\sqrt{13} }+\sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }$, les deux autres sont complexes non réelles et conjuguées : $j \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j^2 \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }$ et $j^2 \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} } + j \sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.$
Prolongement
Vous pouvez constater que $3$ est une solution de l’équation $x^3+3x-36=0.$ D’après ce qui précède, vous déduisez que $3 = \sqrt[3]{18+5\sqrt{13} }+\sqrt[3]{18-5\sqrt{13} }.$ Pourriez-vous montrer cette égalité directement ?
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