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144. Exemple de résolution d’une équation du troisième degré

17/07/2020 - 0061

Le but de ce document est d’illustrer le contenu théorique que vous trouverez dans dans l'article 141.

Résolvez $x^3-6x^2+11x-6=0$

Cette équation s’écrit sous la forme $ax^3+bx^2+cx+d=0$, avec $a = 1$, $b=-6$, $c=11$ et $d=-6.$

Vous calculez alors successivement $N_1$, $N_2$ et $N_3.$

$\begin{align*}
N_1 &= \frac{-b}{a} = 6\\
N_2 &=\frac{c}{a} = 11\\
N_3 &= \frac{-d}{a} = 6.
\end{align*}$

Etes-vous dans le cas particulier ou non ? Pour cela, il faut savoir si $N_1^2-3N_2$ est nul ou non.

$N_1^2-3N_2 = 36-33 = 3.$

Ainsi, vous n’êtes pas dans le cas particulier.

Formez la résolvante

Ses deux coefficients sont à calculer.

Le premier coefficient est :

$\begin{align*}
-2N_1^3+9N_1N_2-27N_3 &= -2\times 36\times 6+9\times 6\times 11 – 27\times 6\\
&=-432+594-162\\
&=0.
\end{align*}$

Le second coefficient est :

$(N_1^2-3N_2)^3 = 27.$

La résolvante est donc $X^2+0X+27 = 0$ soit $X^2 = -27.$

Comme $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, le nombre $3i\sqrt{3}$ est une solution de cette résolvante.

Il s’agit maintenant d’en extraire une racine cubique. Vous cherchez $k\in\C$ tel que $k^3 = 3i\sqrt{3} = (\sqrt{3})^3 \e^{i \pi /2}.$

Vous pouvez donc choisir :

$\begin{align*}
k &= \sqrt{3} \e^{i \pi /6}\\
&= \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\right) \\
&= \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}.
\end{align*}$

Calculez les solutions

Il sera commode de calculer $\frac{1}{k}.$

$\begin{align*}
\frac{1}{k} &= \frac{1}{\sqrt{3}} \e^{-i \pi /6}\\
&= \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} – i \frac{1}{2}\right) \\
&= \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{6}.
\end{align*}$

La première solution est donnée par :

$\begin{align*}
\frac{1}{3}\left(N_1+k+\frac{N_1^2-3N_2}{k}\right) &= \frac{1}{3}\left(6 + k + \frac{3}{k} \right) \\
&= \frac{1}{3}\left( 6 + \frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\\
&= \frac{1}{3}\left( 6 + 3\right)\\
&=3.
\end{align*}$

Pour la deuxième solution, il sera utile d’avoir $jk$ et $\frac{1}{jk}.$

$\begin{align*}
jk &= j\sqrt{3} \e^{i \pi /6}\\
&= \e^{i 2\pi /3}\sqrt{3} \e^{i \pi /6}\\
&= \sqrt{3} \e^{i 5\pi /6}\\
&= \sqrt{3} \left( \frac{-\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\right) \\
&= \frac{-3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}. \\
\end{align*}$


De même :

$\begin{align*}
\frac{1}{jk} &= \frac{1}{\sqrt{3}} \e^{i 5\pi /6} \\
&=\frac{\sqrt{3}}{3} \e^{-i 5\pi /6} \\
&= \frac{\sqrt{3}}{3}\left( \frac{-\sqrt{3}}{2} – i \frac{1}{2}\right) \\
&= \frac{-1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{6}. \\
\end{align*}$

La deuxième solution est donnée par :

$\begin{align*}
\frac{1}{3}\left(N_1+jk+\frac{j^2N_1^2-3j^2N_2}{k}\right) &= \frac{1}{3}\left(N_1+jk+\frac{N_1^2-3N_2}{jk}\right) \\
&= \frac{1}{3}\left( 6 + \frac{-3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{-3}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\\
&= \frac{1}{3}\left( 6 -3 \right)\\
&=1.
\end{align*}$

Pour la troisième solution, il sera utile d’avoir $j^2k$ et $\frac{1}{j^2k}.$

$\begin{align*}
j^2k &= j^2\sqrt{3} \e^{i \pi /6}\\
&= \e^{i 4\pi /3}\sqrt{3} \e^{i \pi /6}\\
&= \sqrt{3} \e^{i 9\pi /6}\\
&= \sqrt{3} \e^{i 3\pi /2}\\
&= -i\sqrt{3}.
\end{align*}$


De même :

$\begin{align*}
\frac{1}{j^2k} &= \frac{1}{-i\sqrt{3}} \\
&= \frac{i}{\sqrt{3}} \\
&= \frac{i\sqrt{3}}{3}.
\end{align*}$

L’expression de la troisième solution est donnée par :

$\begin{align*}
\frac{1}{3}\left(N_1+j^2k+\frac{jN_1^2-3jN_2}{k}\right)
&= \frac{1}{3}\left(N_1+j^2k+\frac{N_1^2-3N_2}{j^2k}\right) \\
&= \frac{1}{3}\left( 6 -i\sqrt{3} +i\sqrt{3} \right)\\
&= \frac{1}{3}\left( 6 \right)\\
&=2.
\end{align*}$

Concluez

L’équation $x^3-6x^2+11x-6=0$ admet trois solutions, $x=1$, $x=2$ et $x=3.$

Il est remarquable de noter que, pour résoudre la résolvante, des nombres complexes non réels ont été nécessaires. Ils ont abouti à trouver les trois solutions réelles.

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