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151. Quand l’union de trois espaces vectoriels est un espace vectoriel (cas 1/8)

Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\K$-espaces vectoriels où $\K$ est un corps dans lequel $1+1\neq 0$ (il est dit de caractéristique différente de $2$), tels que l’union $E\cup F \cup G$ soit aussi un $\K$-espace vectoriel. L’ensemble $E\cup F \cup G$ est muni d’une addition interne notée $+$ de sorte que $E$, $F$ et $G$ soient des sous-espaces vectoriels de $E\cup F \cup G.$

Vous allez montrer que l’un des espaces vectoriels contient les deux autres.

Pour y parvenir, raisonnez par l’absurde en supposant que cela ne soit pas le cas.

Ainsi la proposition logique « ($F \subset E$ et $G\subset E$) ou ($G \subset F$ et $E\subset F$) ou ($E \subset G$ et $F\subset G$) » est fausse.

Donc la proposition « ($F \not\subset E$ ou $G\not\subset E$) et ($G \not\subset F$ ou $E\not\subset F$) et ($E \not\subset G$ ou $F\not\subset G$) » est vraie.

Ce que vous écrivez « ($E\not\subset F$ ou $G \not\subset F$) et ($F\not\subset G$ ou $E \not\subset G$) et ($G\not\subset E$ ou $F \not\subset E$) » est vraie.

Cela amène à traiter huit cas possibles.

Note. Il existe une démonstration plus rapide permettant d’éviter de traiter potentiellement 8 cas qui eux-mêmes se subdivisent en plusieurs sous-cas. C’est certes plus élégant mais arrivez-vous à construire une telle preuve ?

Dans cet article, vous allez montrer que le cas numéro 1, à savoir $\boxed{E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } G \not\subset E}$ aboutit toujours à une impossibilité.

Vous pouvez également consulter le cas numéro 2 qui est traité dans l'article 152.
Vous pouvez également consulter le cas numéro 3 qui est traité dans l'article 153.
Vous pouvez également consulter les cas numéros 4, 5, 6, 7 et 8 qui sont traités dans l'article 154.

Exposez la situation

Il existe $e\in E$ tel que $e\not\in F$, il existe $f\in F$ tel que $f\not\in G$ et il existe $g\in G$ tel que $g\not\in E.$

Comme $e\in E$ vous avez aussi $e\in E\cup F \cup G.$ De même, $f\in F$ donc $f\in E\cup F \cup G.$ Vous avez encore $g\in G$ donc $g\in E\cup F \cup G.$

L’ensemble $E\cup F \cup G$ étant un espace vectoriel, par stabilité de l’addition qui est une opération interne, vous déduisez que $e+f \in E\cup F \cup G$, que $f+g\in E\cup F \cup G$ et que $e+g\in E\cup F \cup G.$

Cela fait 27 cas à traiter en tout, mais beaucoup sont similaires. L’intégralité des cas est présentée ci-dessous. On raisonne en utilisant l’ordre alphabétique pour les espaces vectoriels $E$, $F$ et $G$ pour traiter les cas et ne pas en oublier.

Sous cas 1 : $e+f\in E$, $f+g\in E$, $e+g\in E$

Comme $e\in E$, et $e+f \in E$ par différence vous déduisez $f\in E.$

Comme $f+g \in E$ et $f\in E$ par différence vous avez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 2 : $e+f\in E$, $f+g\in E$, $e+g\in F$

De $e+f\in E$ et $e\in E$ vous déduisez $f\in E.$ Comme $f+g \in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 3 : $e+f\in E$, $f+g\in E$, $e+g\in G$

De $e+f\in E$ et $e\in E$ vous déduisez $f\in E.$ Comme $f+g \in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 4 : $e+f\in E$, $f+g\in F$, $e+g\in E$

Puisque $e\in E$ et $e+g\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 5 : $e+f\in E$, $f+g\in F$, $e+g\in F$

Puisque $f\in F$ et $f+g\in F$ vous avez $g\in F.$

Puisque $g\in F$ et $e+g\in F$ vous déduisez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 6 : $e+f\in E$, $f+g\in F$, $e+g\in G$

Comme $e\in E$ et $e+f\in E$ vous avez $f\in E$ donc $(e,f)\in E^2.$

Comme $f\in F$ et $f+g \in F$ vous avez $g\in F$ donc $(f,g)\in F^2.$

Comme $g\in G$ et $e+g\in G $ vous avez $e\in G$ donc $(e,g)\in G^2.$

Considérez alors $e+f+g$, qui appartient à $E\cup F \cup G.$

Si $e+f+g\in E$, alors comme $(e,f)\in E^2$ alors $g\in E$, contradiction.

Si $e+f+g\in F$, alors comme $(f,g)\in F^2$ alors $e\in F$, contradiction.

Il reste une seule possibilité $e+f+g\in G$, or $(e,g)\in G^2$ alors $f\in G$, contradiction.

Sous cas 7 : $e+f\in E$, $f+g\in G$, $e+g\in E$

L’écriture $g = (g+e)-e$ avec $e+g\in E$ et $e\in E$ aboutit à $g\in E$, contradiction.

Sous cas 8 : $e+f\in E$, $f+g\in G$, $e+g\in F$

$f+g\in G$ et $g\in G$ donc $f\in G$ contradiction.

Sous cas 9 : $e+f\in E$, $f+g\in G$, $e+g\in G$

$f+g\in G$ et $g\in G$ donc $f\in G$ contradiction.

Sous cas 10 : $e+f\in F$, $f+g\in E$, $e+g\in E$

Comme $e+g\in E$ et $e\in E$, $g\in E$, contradiction.

Sous cas 11 : $e+f\in F$, $f+g\in E$, $e+g\in F$

Comme $f\in F$ et $e+f\in F$ vous avez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 12 : $e+f\in F$, $f+g\in E$, $e+g\in G$

Comme $f\in F$ et $e+f \in F$ vous obtenez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 13 : $e+f\in F$, $f+g\in F$, $e+g\in E$

Comme $f\in F$ et $e+f \in F$ vous obtenez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 14 : $e+f\in F$, $f+g\in F$, $e+g\in F$

Comme $f\in F$ et $e+f \in F$ vous obtenez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 15 : $e+f\in F$, $f+g\in F$, $e+g\in G$

Comme $f\in F$ et $e+f \in F$ vous obtenez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 16 : $e+f\in F$, $f+g\in G$, $e+g\in E$

Comme $f\in F$ et $e+f \in F$ vous obtenez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 17 : $e+f\in F$, $f+g\in G$, $e+g\in F$

Comme $f\in F$ et $e+f \in F$ vous obtenez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 18 : $e+f\in F$, $f+g\in G$, $e+g\in G$

Comme $f\in F$ et $e+f \in F$ vous obtenez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 19 : $e+f\in G$, $f+g\in E$, $e+g\in E$

Comme $e+g\in E$ et $e\in E$, vous obtenez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 20 : $e+f\in G$, $f+g\in E$, $e+g\in F$

Le vecteur $e-f$ appartient à $E\cup F\cup G.$

Si $e – f\in E$, alors comme $e\in E$, vous déduisez $f\in E$. Or $f+g\in E$, donc $g\in E$, contradiction.

Si $e-f \in F$, alors, comme $f\in F$, dans F alors $e\in F$, contradiction.

Il reste donc $e-f\in G$, mais comme $e+f\in G$ par soustraction $(e+f)-(e-f)\in G$ donc $2f\in G$ et donc $f\in G$, contradiction.

Notez qu’a été utilisé le fait ici que $2\neq 0$ et donc $2$ admet un inverse dans le corps $\K.$

Sous cas 21 : $e+f\in G$, $f+g\in E$, $e+g\in G$

Comme $g\in G$ et $e+g\in G$, vous avez $e\in G.$

Comme $e\in G$ et $e+f\in G$, vous déduisez $f\in G$, contradiction.

Sous cas 22 : $e+f\in G$, $f+g\in F$, $e+g\in E$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ vous avez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 23 : $e+f\in G$, $f+g\in F$, $e+g\in F$

Comme $f\in F$ et $f+g\in F$, vous avez $g\in F.$

Comme $g\in F$ et $e+g\in F$ c’est que $e\in F$, contradiction.

Sous cas 24 : $e+f\in G$, $f+g\in F$, $e+g\in G$

Comme $g\in G$ et $e+g\in G$ vous avez $e\in G.$

Comme $e\in G$ et $e+f\in G$, vous déduisez $f\in G$, contradiction.

Sous cas 25 : $e+f\in G$, $f+g\in G$, $e+g\in E$

Comme $g\in G$ et $f+g\in G$, vous déduisez $f\in G$, contradiction.

Sous cas 26 : $e+f\in G$, $f+g\in G$, $e+g\in F$

Comme $g\in G$ et $f+g\in G$, vous déduisez $f\in G$, contradiction.

Sous cas 27 : $e+f\in G$, $f+g\in G$, $e+g\in G$

Comme $g\in G$ et $f+g\in G$, vous déduisez $f\in G$, contradiction.

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