161. Continuité de la fonction inverse

Soit $x_0$ un réel non nul. L’écriture $\lim_{x\to x_0} \frac{1}{x} = \frac{1}{x_0}$ cache en réalité certaines propriétés assez subtiles et délicates à écrire. Cela va être expliqué en détail dans ce contenu.

En effet, quand $x$ se rapproche de $x_0\comma$ qu’est-ce qui permet d’affirmer que $\frac{1}{x}$ existe ? Et à supposer qu’il soit bien défini, pourquoi est-il proche de $\frac{1}{x_0}$ ?

Le plan

Soit $x_0$ un réel non nul et $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif.

Vous allez montrer qu’il existe un réel $\alpha \gt 0\comma$ de sorte que, dans un premier temps, pour tout $x\in\R, \vert x-x_0\vert \lt \alpha \implies x\neq 0.$

Cela prouvera que, sur l’intervalle $\left]x_0-\alpha, x_0+\alpha\right[\comma$ la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ est bien définie.

Dans un second temps, pour un autre réel noté encore $\alpha\comma$ vous montrerez que, pour tout $x\in \left]x_0-\alpha, x_0+\alpha\right[\comma$ $\frac{1}{x}$ est bien défini et $\left\lvert\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0} \right\rvert\lt \varepsilon.$

Établissez l’existence de $\alpha\gt0$ satisfaisant l’implication $\forall x\in\R, \vert x-x_0\vert \lt \alpha \implies x\neq 0$

Le but consiste à minorer la valeur absolue de $x$ par un réel strictement positif.

L’inégalité triangulaire, propriété très importante de la valeur absolue, va vous permettre de conclure.

Soit pour le moment un réel $\alpha \gt0$ et $x$ un réel tel que $\vert x-x_0\vert \lt \alpha.$ Par symétrie de la valeur absolue, vous avez aussi $\vert x_0-x\vert \lt \alpha.$

Remarquez dans un premier temps que $x_0 = (x_0-x) + x.$

Vous en déduisez les majorations suivantes :

\begin{align*} \vert x_0 \vert &\leq \vert x_0-x\vert + \vert x \vert\\ &\lt \alpha + \vert x \vert. \end{align*}

Si bien que $\vert x_0 \vert – \alpha \lt \vert x \vert.$

Maintenant, posez $\alpha = \frac{\vert x_0 \vert}{2}.$ Comme $x_0$ est non nul, le réel $\alpha$ est bien strictement positif.

Soit $x$ un réel tel que $\vert x-x_0\vert \lt \alpha.$

Alors $\vert x_0 \vert – \alpha \lt \vert x \vert$ d’où $2\alpha – \alpha \lt \vert x \vert$ et par suite $0\lt\alpha\lt\vert x \vert$ ce qui implique que $x$ est non nul.

Remarque. Vous pourriez choisir $\alpha = \vert x_0 \vert$ ce qui suffirait. Vous auriez $\vert x \vert \gt 0.$ Mais alors, dans le paragraphe qui suit, vous seriez coincé pour obtenir une majoration de $\frac{1}{\vert x\vert}.$

Effectuez une recherche pour trouver une bonne valeur du réel $\alpha$

Reprenez le nombre $\alpha$ défini par $\frac{\vert x_0 \vert}{2}.$

D’après le paragraphe précédent, pour tout réel $x$ vérifiant $\vert x-x_0\vert \lt \alpha$ le nombre $x$ est non nul donc le réel $\frac{1}{x}$ est bien défini.

Vous avez même établi que $\vert x \vert \gt \alpha \gt0$ donc $\frac{1}{\alpha} \gt \frac{1}{\vert x \vert}.$

Soit donc $x$ un réel tel que $\vert x-x_0\vert \lt \alpha.$

Vous établissez les majorations suivantes :

\begin{align*} \left\lvert\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0} \right\rvert &\leq \left\lvert\frac{x_0-x}{x \times x_0} \right\rvert\\ &\leq \frac{\vert x_0-x \vert }{\vert x_0 \vert}\times \frac{1}{\vert x \vert} \\ &\lt \frac{\vert x_0-x\vert }{\vert x_0 \vert}\times \frac{1}{\alpha}. \end{align*}

Pour que le membre de droite soit strictement inférieur à $\varepsilon\comma$ vous voulez avoir $\vert x_0-x\vert \lt \varepsilon \alpha \vert x_0 \vert$ ce qui conduit à choisir $x$ tel que $\vert x_0-x\vert \lt \frac{\varepsilon \vert x_0 \vert ^2}{2}.$

Établissez l’existence de $\alpha\gt0$ satisfaisant l’implication $\forall x\in\R, \vert x-x_0\vert \lt \alpha \implies \left\lvert\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0} \right\rvert\lt \varepsilon$

D’après les deux paragraphes précédents, vous posez $\alpha = \min\left(\frac{\vert x_0 \vert}{2}, \frac{\varepsilon \vert x_0 \vert^2}{2}\right).$

Soit $x$ un nombre réel tel que $\vert x-x_0\vert \lt \alpha.$

Par inégalité triangulaire :

\vert x_0 \vert \leq \vert x_0-x \vert +\vert x\vert

d’où $\vert x_0 \vert \lt \alpha +\vert x\vert$ et $\vert x_0 \vert \lt \frac{\vert x_0 \vert}{2} +\vert x\vert$ et donc $0 \lt \frac{\vert x_0 \vert}{2} \lt \vert x \vert.$

Donc $x$ est non nul et $\frac{1}{x}$ est bien défini.

Alors :

\begin{align*} \left\lvert\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0} \right\rvert &\leq \left\lvert\frac{x_0-x}{x\times x_0} \right\rvert \\ &\leq \frac{\vert x-x_0 \vert}{\vert x_0\vert} \times \frac{1}{\vert x \vert} \\ &\leq \frac{\vert x-x_0 \vert}{\vert x_0\vert} \times \frac{2}{\vert x_0 \vert} \\ &\leq \frac{2\vert x-x_0 \vert}{\vert x_0\vert^2} \\ &\lt \frac{2 \alpha }{\vert x_0\vert^2} \\ &\lt \varepsilon. \end{align*}

Concluez

Le résultat établi s’écrit en termes de limites.

Pour tout $x_0\neq 0\comma$ $\lim_{x\to x_0} \frac{1}{x} = \frac{1}{x_0}.$

Autrement dit, pour tout $x_0\neq 0\comma$ la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ est non seulement bien définie dans un voisinage de $x_0\comma$ mais aussi continue en $x_0.$