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165. Trouvez un polynôme annulateur à coefficients entiers de racine de 6 moins de racine 2 moins racine de 3

Posez $x = \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}$. Le but de ce document est de retrouver, par un autre moyen, le résultat qui se trouve dans l'article 164.

L’idée sous jacente, pour trouver un polynôme de $\Z[X]$ qui annule le réel $x$, c’est qu’un tel polynôme admet d’autres racines qui sont proches de $x$, un peu comme le conjugué d’un nombre complexe.

Formez un polynôme de degré 2 qui annule $x$

$x+\sqrt{2} = \sqrt{6}-\sqrt{3}$, donc $(x+\sqrt{2})^2 = 9-6\sqrt{2}.$

Posez $Q(X) = (X+\sqrt{2})^2+6\sqrt{2}-9.$

Alors $Q(x)=0$ mais $Q$ n’est pas à coefficients dans $\Z.$

Formez un polynôme de degré 4 qui annule $x$

Vous allez multiplier le polynôme $Q$ de façon à utiliser l’identité remarquable $a^2-b^2 = (a-b)(a+b).$

Vous le multipliez par un polynôme en remplaçant $x+\sqrt{2}$ par $x-\sqrt{2}$ et en changeant aussi $6\sqrt{2}-9$ par $-6\sqrt{2}-9$, qui sont des expressions conjuguées.

Posez $P(X) = ((X+\sqrt{2})^2+6\sqrt{2}-9)((X-\sqrt{2})^2-6\sqrt{2}-9)$ et développez.

$\begin{align*}
P(X) &= (X^2-2)^2+\left((-6\sqrt{2}-9)(X+\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2}-9)(X-\sqrt{2})^2\right)+81-72\\
&=(X^2-2)^2 + \left((-6\sqrt{2}-9)(X^2+2\sqrt{2}X+2) + (6\sqrt{2}-9)(X^2-2\sqrt{2}X+2)\right)+9\\
&=(X^2-2)^2 + \left(-6\sqrt{2}-9 + 6\sqrt{2}-9 \right)X^2 +\left(2\sqrt{2}(-6\sqrt{2}-9) + 2\sqrt{2}(-6\sqrt{2}+9)\right)X + \left(2(-6\sqrt{2}-9)+2(6\sqrt{2}-9)\right)+9\\
&=(X^2-2)^2 -18 X^2 -48X -36+9\\
&=X^4-4X^2+4 -18 X^2 -48X -27\\
&=X^4-22X^2 -48X -23.
\end{align*}$

Concluez

Le réel $x =\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}$ est annulé par le polynôme $P$, à coefficients dans $\Z$, défini par $\boxed{P(X) = X^4-22X^2 -48X -23}.$

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