Posez $x = \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}.$ Le but de ce contenu est de retrouver, par un autre moyen, le résultat qui se trouve dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 164.

L’idée sous-jacente, pour trouver un polynôme de $\Z[X]$ qui annule le réel $x\comma$ c’est qu’un tel polynôme admet d’autres racines qui sont proches de $x\comma$ un peu comme le conjugué d’un nombre complexe.

Formez un polynôme de degré 2 qui annule $x$

Vous avez $x+\sqrt{2} = \sqrt{6}-\sqrt{3}\comma$ donc $(x+\sqrt{2})^2 = 9-6\sqrt{2}.$

Posez $Q(X) = (X+\sqrt{2})^2+6\sqrt{2}-9.$

Alors $Q(x)=0$ mais $Q$ n’est pas à coefficients dans $\Z.$

Formez un polynôme de degré 4 qui annule $x$

Vous allez multiplier le polynôme $Q$ de façon à utiliser l’identité remarquable $a^2-b^2 = (a-b)(a+b).$

Vous le multipliez par un polynôme en remplaçant $x+\sqrt{2}$ par $x-\sqrt{2}$ et en changeant aussi $6\sqrt{2}-9$ par $-6\sqrt{2}-9\comma$ qui sont des expressions conjuguées.

Posez $P(X) = ((X+\sqrt{2})^2+6\sqrt{2}-9)((X-\sqrt{2})^2-6\sqrt{2}-9)$ et développez.

Concluez

Le réel $x =\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}$ est annulé par le polynôme $P\comma$ à coefficients dans $\Z\comma$ défini par $\boxed{P(X) = X^4-22X^2-48X-23.}$