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168. Principe de la méthode de Ferrari pour une équation de degré 4

Yannis TRIANTAPHYLIDES

,

Considérez une équation réelle de degré 4 ne comportant pas de terme en $x^3$ afin de simplifier les calculs.

Quitte à diviser par le coefficient dominant, vous vous ramenez à traiter l’équation $x^4+2ax^2+bx+c=0$ d’inconnue $x\in\R.$

Si $b$ est nul, vous effectuez le changement de variable $y=x^2$ et vous vous ramenez à résoudre une équation de degré deux. L’équation est alors dite « bicarrée ».

Dans la suite, $b$ sera supposé non nul.

Utilisez l’identité remarquable $(u+v)^2=u^2+v^2+2uv$

La première idée consiste à utiliser le début du développement de $(u+v)^2.$

En effet, $(x^2+a)^2 = x^4+2ax^2+a^2\comma$ du coup, pour tout réel $x\comma$ vous avez :

\begin{align*} x^4+2ax^2+bx+c=0 &\Longleftrightarrow (x^2+a)^2+bx+c-a^2 = 0. \end{align*}

Ajoutez un degré de liberté avec l’idée de Ferrari

Soit $k$ un nombre réel qui sera choisi plus tard. Observez la suite d’équivalences :

\begin{align*} x^4+2ax^2+bx+c=0 &\Longleftrightarrow (x^2+a)^2+bx+c-a^2 = 0\\ &\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2-k^2 -2k(x^2+a)+bx+c-a^2 = 0\\ &\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2+(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka = 0. \end{align*}

L’idée de Ferrari consiste à choisir $k$ pour que le polynôme $(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka$ ait un discriminant égal à $0.$

Cela conduit à choisir $k$ pour que :

\begin{align*} b^2-4(-2k)(-k^2+c-a^2-2ka) &= 0 \\ b^2+8k(-k^2+c-a^2-2ka) &=0 \\ -8k^3-16ak^2+(8c-8a^2)k+b^2 &= 0. \end{align*}

Pour tout $x\in\R$ notez $P(x) = -8x^3-16ax^2+(8c-8a^2)x+b^2.$

Comme $b$ est non nul, $b^2 \gt 0.$

La fonction réelle $P$ est polynomiale donc continue sur $\R.$ Comme $\lim_{x\to +\infty} P(x) = -\infty$ et comme $P(0)=b^2$ est strictement positif, vous déduisez du théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe un réel $k$ strictement positif tel que $P(k)=0.$

La stricte positivité de $k$ est cruciale.

Le polynôme de second degré $(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka\comma$ pour la valeur choisie de $k$ précédente, a un discriminant nul et un coefficient dominant strictement négatif. Il existe donc un réel $\ell$ tel que, pour tout $x\in\R\comma$ $(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka = -2k(x-\ell)^2\comma$ ce qui s’écrit $-(\sqrt{2k}(x-\ell))^2.$ En pratique, ce réel $\ell$ est donné par $\frac{b}{4k}.$

Terminez la résolution

\begin{align*} x^4+2ax^2+bx+c=0 &\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2+(-2k)x^2+bx-k^2 + c-a^2-2ka = 0\\ &\Longleftrightarrow (x^2+a + k)^2-(\sqrt{2k}(x-\ell))^2 =0\\ &\Longleftrightarrow (x^2+a + k + \sqrt{2k}(x-\ell))(x^2+a + k – \sqrt{2k}(x-\ell)) =0. \end{align*}

La résolution finale est obtenue en utilisant les discriminants respectifs des deux polynômes réels de degré 2 obtenus.

La méthode de Ferrari permet donc, pour une équation sans terme en $x^3$ et non bicarrée, de factoriser un polynôme réel de degré 4 en deux polynômes réels de degré 2 et sans faire appel aux nombres complexes.