Une équation de degré 4 est de la forme $a_4x^4+a_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0=0$ d’inconnue $x\in\R$ avec $(a_4,a_3,a_2,a_1,a_0)\in\R^5.$

Comme le degré apparent de cette équation est de $4$, c’est que le coefficient $a_4$ est non nul.

En divisant par $a_4$, vous obtenez une équation de la forme $x^4+b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0 = 0.$

Voulant utiliser une identité remarquable, il sera commode de poser $c_3 = \frac{b_3}{2}$ ce qui donne $x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0.$

Cette écriture sera plus commode dans la suite.

Utilisez l’identité remarquable $(u+v)^2=u^2+v^2+2uv$

Pour tout réel $x$, $(x^2+c_3x)^2 = x^4+2c_3x^3+c_3x^2.$

Du coup, pour tout réel $x$ :

$\begin{align*}
x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2+c_3x)^2-c_3x^2+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+c_3x)^2+(c_2-c_3)x^2+c_1x+c_0 = 0.
\end{align*}$

Utilisez un degré de liberté supplémentaire

Soit $k$ un nombre réel fixé. Remarquez alors que :

$\begin{align*}
x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2+c_3x)^2+(c_2-c_3)x^2+c_1x+c_0 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+c_3x+k)^2-k^2-2k(x^2+c_3x)+(c_2-c_3)x^2+c_1x+c_0 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+c_3x+k)^2 +(c_2-c_3-2k)x^2+(c_1-2kc_3)x+c_0-k^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow (2x^2+2c_3x+2k)^2 +4(c_2-c_3-2k)x^2+4(c_1-2kc_3)x+4c_0-4k^2 = 0.
\end{align*}$

A ce stade, il est important de considérer le trinôme défini par $\forall x\in\R, P(x)=4(c_2-c_3-2k)x^2+4(c_1-2kc_3)x+4c_0-4k^2.$

L’idée de Ferrari consiste à essayer de choisir $k\in\R$ pour que $P$ ait un discriminant nul avec un coefficient dominant strictement négatif.

Afin de traiter convenablement le coefficient dominant, vous posez $\ell = c_2-c_3-2k.$

Alors :

$\begin{align*}
c_1-2kc_3 &= c_1+(\ell-c_2-c_3)c_3\\
&=c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2.
\end{align*}$

$\begin{align*}
4k^2 &= (\ell – c_2+c_3)^2\\
&= \ell^2+(-2c_2+2c_3)\ell+c_2^2+c_3^2-2c_2c_3.
\end{align*}$

Si bien que pour tout réel $x$ :

$\begin{align*}
P(x)&=4\ell x^2+4(c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2)x+4c_0 – \ell^2+(+2c_2-2c_3)\ell-c_2^2-c_3^2+2c_2c_3.\\
\end{align*}$

Vous voulez que le trinôme $P$ ait un discriminant nul, ce qui conduit à avoir :

$\begin{align*}
16(c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= 4 (4\ell) (4c_0 – \ell^2+(2c_2-2c_3)\ell-c_2^2-c_3^2+2c_2c_3)\\
(c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= \ell (4c_0 – \ell^2+(2c_2-2c_3)\ell-c_2^2-c_3^2+2c_2c_3).
\end{align*}$

En développant, la relation s’écrit :
$\begin{align*}
…\ell^2+…\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= -\ell^3+…\ell^2+…\ell\\
\ell^3+\dots \ell^2+\dots\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= 0.
\end{align*}$

Deux cas sont possibles. Si $c_1-c_2c_3-c_3^2$ est nul, vous choisissez $\ell = 0.$

Vous constatez alors que le polynôme $P(x)$ est constant.

La résolution de l’équation de degré 4 s’en déduit selon le signe de cette constante.

$\begin{align*}
x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (2x^2+2c_3x+2k)^2 +P(x) = 0.
\end{align*}$

Second cas. Le nombre $c_1-c_2c_3-c_3^2$ est non nul. La fonction de degré 3 $\ell\mapsto \ell^3+\dots \ell^2+\dots\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2$ a une limite égale à $-÷infty$ quand $\ell\to -\infty$ et prend une valeur strictement positive en $0$.

Il existe donc un réel $\ell$ strictement négatif tel que $ \ell^3+\dots \ell^2+\dots\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 = 0$.

Donc $P(x)$ admet une écriture de la forme $P(x) = -(mx+p)^2$ où $m$ et $p$ sont des réels.

Ainsi l’équation de degré 4 se résout par factorisation puisque, pour tout $x\in\R$ :

$\begin{align*}
x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (2x^2+2c_3x+2k)^2 -(mx+p)^2 = 0.
\end{align*}$

Epilogue

Cette façon de faire, qui conduit à une disjonction de cas sur la fin et basée sur l’idée de Ferrari indique que tout polynôme unitaire réel de degré 4 admet une écriture sous la forme $(x^2+px+q)^2-(rx+s)^2$ où $(p,q,r,s)\in\R^4.$

C’est cette écriture, qui, à notre avis se révèle être la bonne puisqu’elle évite l’utilisation des nombres complexes. Une nouvelle étude sera faite [yanniswp_article_link nb= »170″ desc= »dans l’article 170″], où vous trouverez une justification de l’existence de cette écriture par d’autres moyens puis comment déterminer les candidats potentiels pour enfin trouver dans la pratique cette écriture.