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169. Vers la résolution de l’équation réelle de degré 4 dans le cas général

Une équation de degré 4 est de la forme $a_4x^4+a_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0=0$ d’inconnue $x\in\R$ avec $(a_4,a_3,a_2,a_1,a_0)\in\R^5.$

Comme le degré apparent de cette équation est de $4$, c’est que le coefficient $a_4$ est non nul.

En divisant par $a_4$, vous obtenez une équation de la forme $x^4+b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0 = 0.$

Voulant utiliser une identité remarquable, il sera commode de poser $c_3 = \frac{b_3}{2}$ ce qui donne $x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0.$

Cette écriture sera plus commode dans la suite.

Utilisez l’identité remarquable $(u+v)^2=u^2+v^2+2uv$

Pour tout réel $x$, $(x^2+c_3x)^2 = x^4+2c_3x^3+c_3x^2.$

Du coup, pour tout réel $x$ :

$\begin{align*}
x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2+c_3x)^2-c_3x^2+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+c_3x)^2+(c_2-c_3)x^2+c_1x+c_0 = 0.
\end{align*}$

Utilisez un degré de liberté supplémentaire

Soit $k$ un nombre réel fixé. Remarquez alors que :

$\begin{align*}
x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2+c_3x)^2+(c_2-c_3)x^2+c_1x+c_0 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+c_3x+k)^2-k^2-2k(x^2+c_3x)+(c_2-c_3)x^2+c_1x+c_0 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+c_3x+k)^2 +(c_2-c_3-2k)x^2+(c_1-2kc_3)x+c_0-k^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow (2x^2+2c_3x+2k)^2 +4(c_2-c_3-2k)x^2+4(c_1-2kc_3)x+4c_0-4k^2 = 0.
\end{align*}$

A ce stade, il est important de considérer le trinôme défini par $\forall x\in\R, P(x)=4(c_2-c_3-2k)x^2+4(c_1-2kc_3)x+4c_0-4k^2.$

L’idée de Ferrari consiste à essayer de choisir $k\in\R$ pour que $P$ ait un discriminant nul avec un coefficient dominant strictement négatif.

Afin de traiter convenablement le coefficient dominant, vous posez $\ell = c_2-c_3-2k.$

Alors :

$\begin{align*}
c_1-2kc_3 &= c_1+(\ell-c_2-c_3)c_3\\
&=c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2.
\end{align*}$

$\begin{align*}
4k^2 &= (\ell – c_2+c_3)^2\\
&= \ell^2+(-2c_2+2c_3)\ell+c_2^2+c_3^2-2c_2c_3.
\end{align*}$

Si bien que pour tout réel $x$ :

$\begin{align*}
P(x)&=4\ell x^2+4(c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2)x+4c_0 – \ell^2+(+2c_2-2c_3)\ell-c_2^2-c_3^2+2c_2c_3.\\
\end{align*}$

Vous voulez que le trinôme $P$ ait un discriminant nul, ce qui conduit à avoir :

$\begin{align*}
16(c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= 4 (4\ell) (4c_0 – \ell^2+(2c_2-2c_3)\ell-c_2^2-c_3^2+2c_2c_3)\\
(c_3\ell +c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= \ell (4c_0 – \ell^2+(2c_2-2c_3)\ell-c_2^2-c_3^2+2c_2c_3).
\end{align*}$

En développant, la relation s’écrit :

$\begin{align*}
…\ell^2+…\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= -\ell^3+…\ell^2+…\ell\\
\ell^3+\dots \ell^2+\dots\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 &= 0.
\end{align*}$

Deux cas sont possibles. Si $c_1-c_2c_3-c_3^2$ est nul, vous choisissez $\ell = 0.$

Vous constatez alors que le polynôme $P(x)$ est constant.

La résolution de l’équation de degré 4 s’en déduit selon le signe de cette constante.

$\begin{align*}
x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (2x^2+2c_3x+2k)^2 +P(x) = 0.
\end{align*}$

Second cas. Le nombre $c_1-c_2c_3-c_3^2$ est non nul. La fonction de degré 3 $\ell\mapsto \ell^3+\dots \ell^2+\dots\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2$ a une limite égale à $-÷infty$ quand $\ell\to -\infty$ et prend une valeur strictement positive en $0$.

Il existe donc un réel $\ell$ strictement négatif tel que $ \ell^3+\dots \ell^2+\dots\ell + (c_1-c_2c_3-c_3^2)^2 = 0$.

Donc $P(x)$ admet une écriture de la forme $P(x) = -(mx+p)^2$ où $m$ et $p$ sont des réels.

Ainsi l’équation de degré 4 se résout par factorisation puisque, pour tout $x\in\R$ :

$\begin{align*}
x^4+2c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0 = 0 &\Longleftrightarrow (2x^2+2c_3x+2k)^2 -(mx+p)^2 = 0.
\end{align*}$

Epilogue

Cette façon de faire, qui conduit à une disjonction de cas sur la fin et basée sur l’idée de Ferrari indique que tout polynôme unitaire réel de degré 4 admet une écriture sous la forme $(x^2+px+q)^2-(rx+s)^2$ où $(p,q,r,s)\in\R^4.$

C’est cette écriture, qui, à notre avis se révèle être la bonne puisqu’elle évite l’utilisation des nombres complexes. Une nouvelle étude sera faite dans l'article 170, où vous trouverez une justification de l’existence de cette écriture par d’autres moyens puis comment déterminer les candidats potentiels pour enfin trouver dans la pratique cette écriture.

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