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167. Résolvez une équation du quatrième degré sans translation avec la méthode de Ferrari

Cette section illustre la résolution d’une équation du quatrième degré qualifiée de « pleine » au sens où elle contient explicitement un terme en $x^3$, ce qui n’était pas le cas dans l'article 166 où l’équation à résoudre n’en comportait pas, ce qui simplifiait les calculs initiaux.

Soit à résoudre dans $\C$ l’équation suivante $x^4+10x^3+39x^2+70x+50=0.$ Vous verrez plus tard que l’utilisation de $\C$ au lieu de $\R$ s’avère commode puisque cette équation n’admet, en fait, aucune solution réelle.

Note. Il est possible de mener les calculs en restant dans $\R$ mais au prix de démarches plus techniques et plus lourdes.

Absorbez $x^4+10x^3$ dans un carré

Avec l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ vous obtenez :

$\begin{align*}
(x^2+5x)^2 &= (x^2)^2+2(x^2)(5x)+(5x)^2\\
&=x^4+10x^3+25x^2.
\end{align*}$

Ainsi $x^4+10x^3 = (x^2+5x)^2-25x^2.$

Cette remarque permet d’écrire que, pour tout nombre complexe $x$ :

$\begin{align*}
x^4+10x^3+39x^2+70x+50=0 &\Longleftrightarrow (x^4+10x^3)+39x^2+70x+50 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+5x)^2-25x^2+39x^2+70x+50 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+5x)^2+14x^2+70x+50 = 0.
\end{align*}$

Utilisez l’idée de Ferrari avec un degré de liberté supplémentaire

Soit $k$ un nombre réel fixé qui sera choisi plus tard.

Pour tout nombre complexe $x$ :

$\begin{align*}
x^4+10x^3+39x^2+70x+50=0 &\Longleftrightarrow (x^2+5x)^2+14x^2+70x+50 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+5x+k)^2-k^2-2k(x^2+5x)+14x^2+70x+50 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+5x+k)^2+(14-2k)x^2+(70-10k)x+50-k^2 = 0.
\end{align*}$

Vous choisissez $k$ pour que le polynôme $(14-2k)x^2+(70-10k)x+50-k^2$ soit un carré parfait. Cela se produit lorsque son discriminant est nul.

Ici, vous observez que si $k=7$, alors $14-2k=0$ et $70-10k = 0.$

Vous obtenez donc, que pour tout $x\in\C$ :

$\begin{align*}
x^4+10x^3+39x^2+70x+50=0 &\Longleftrightarrow (x^2+5x+7)^2+50-49 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+5x+7)^2+1 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+5x+7)^2-i^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2+5x+7+i)(x^2+5x+7-i) = 0.
\end{align*}$

Trouvez les racines des deux polynômes obtenus

Déterminez les racines du trinôme $x^2+5x+7+i$

Le discriminant du trinôme $x^2+5x+7+i$ est égal à :

$\begin{align*}
\Delta &= 25-4(7+i)\\
&=-3-4i.
\end{align*}$

Il s’agit maintenant d’en trouver une racine carrée.

Posez $z = a+ib$ où $a$ et $b$ sont deux réels, de sorte que $z^2 = -3-4i.$

En calculant le module, vous obtenez $\vert z \vert ^2 = 5$ soit $a^2+b^2 = 5.$

En développant $z^2$ vous obtenez $a^2-b^2+2iab = -3-4i.$ En identifiant la partie réelle, cela donne $a^2-b^2=-3.$

Comme $a^2+b^2 = 5$ et $a^2-b^2 = -3$, par somme $2a^2 = 2$ donc $a^2=1$.

Choisissez $a=1$. En identifiant la partie imaginaire, vous obtenez $2ab = -4$ ce qui conduit à $ab=-2$ et $b=-2.$

Vérification. Posez $z = 1-2i$. Alors $z^2 = 1-4-4i = -3-4i.$

Du coup, $\Delta = (1-2i)^2.$

Les racines du trinôme $x^2+5x+7+i$ sont $\frac{-5-1+2i}{2} = -3+i$ et $\frac{-5+1-2i}{2}=-2-i.$

Ainsi, par le théorème de factorisation $(x+3-i)(x+2+i) = x^2+5x+7+i.$

Déterminez les racines du trinôme $x^2+5x+7-i$

D’après ce qui précède, pour $x\in\{-3+i, -2-i\}$, $x^2+5x+7-i = 0$ donc en conjuguant $\overline{x}^2+5\overline{x}+7+i = 0$ donc pour $x\in\{-3-i, -2+i\}$, $x^2+5x+7+i=0.$

Les deux racines du polynôme du second degré $x^2+5x+7-i$ sont $-3-i$ et $-2+i.$

Ainsi, par le théorème de factorisation $(x+3+i)(x+2-i) = x^2+5x+7-i.$

Concluez

Pour tout nombre complexe $x$ :

$\begin{align*}
x^4+10x^3+39x^2+70x+50=0 &\Longleftrightarrow (x^2+5x+7+i)(x^2+5x+7-i) = 0\\
&\Longleftrightarrow (x+3-i)(x+2+i)(x+3+i)(x+2-i) = 0\\
\end{align*}$

Le polynôme $x^4+10x^3+39x^2+70x+50$ admet quatre racines :
$-3-i$,
$-3+i$,
$-2+i$ et
$-2-i.$

Remarque. Le polynôme du quatrième degré $x^4+10x^3+39x^2+70x+50$ s’écrit aussi comme produit de deux polynômes réels du second degré, en regroupant les racines deux à deux conjuguées :

$\begin{align*}
x^4+10x^3+39x^2+70x+50 &= (x+3-i)(x+2+i)(x+3+i)(x+2-i)\\
&= \left[(x+3+i)(x+3-i)\right]\left[(x+2+i)(x+2-i)\right]\\
&=(x^2+6x+10)(x^2+4x+5).
\end{align*}$

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