Il a été vu suite aux précisions que vous trouverez dans l'article 183, dans l'article 182 et dans l'article 181 que la matrice $A$ définie par :
A=\begin{pmatrix}
7 & 1 & 2 & 2\\
1 & 4 & -1 & -1\\
-2 & 1 & 5 & -1\\
1 & 1 & 2 & 8
\end{pmatrix}est semblable à la matrice $F$ suivante :
\begin{pmatrix}
6 & 0 & 0 & -3/2 \\
0 & 6 & 1 & 0 \\
0 &0 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 6
\end{pmatrix}via la matrice de passage suivante :
P_4 = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0 & 1\\
-2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}.Le calcul de la matrice $P_4^{-1}$ a été effectué en parallèle et il a été obtenu le résultat suivant :
P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1/2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.Autrement dit, $P_4^{-1}AP_4 = F.$
Obtenez des coefficients égaux à $1$ sur la dernière colonne en partant de la matrice $F-6I$
Partez de :
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F-6I = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -3/2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1/2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_4 = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0 & 1\\
-2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}Utilisez une série de dilatations.
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F-6I \xrightarrow[L_1\leftarrow \frac{-2}{3}L_1 \text{ et } C_1\leftarrow \frac{-3}{2}C_1]{} F_1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
P_4^{-1} \xrightarrow[L_1\leftarrow \frac{-2}{3}L_1]{} E_1^{-1}P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1/3 & 2/3\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_4 \xrightarrow[C_1\leftarrow \frac{-3}{2}C_1]{} P_4E_1 = \begin{pmatrix}
-3 & 1 & 1 & -1\\
-3 & 1 & 0 & 1\\
3 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F_1 \xrightarrow[L_3\leftarrow \frac{1}{3}L_3 \text{ et } C_3\leftarrow 3C_3]{} F_2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 &0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_1^{-1}P_4^{-1} \xrightarrow[L_3\leftarrow \frac{1}{3}L_3]{} E_2^{-1}E_1^{-1}P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1/3 & 2/3\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1/3 & 1/3 & 2/3 & 2/3\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_4E_1 \xrightarrow[C_3\leftarrow 3C_3]{} P_4E_1E_2 = \begin{pmatrix}
-3 & 1 & 3 & -1\\
-3 & 1 & 0 & 1\\
3 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F_2 \xrightarrow[L_2\leftarrow \frac{1}{3}L_2 \text{ et } C_2\leftarrow 3C_2]{} F_3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_2^{-1}E_1^{-1}P_4^{-1} \xrightarrow[L_2\leftarrow \frac{1}{3}L_2]{} E_3^{-1}\cdots E_1^{-1}P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1/3 & 2/3\\
0 & 0 & 0 & 1/3\\
1/3 & 1/3 & 2/3 & 2/3\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_4E_1E_2 \xrightarrow[C_2\leftarrow 3C_2]{} P_4E_1\cdots E_3 = \begin{pmatrix}
-3 & 3 & 3 & -1\\
-3 & 3 & 0 & 1\\
3 & -6 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}Obtenez un seul coefficient égal à $1$ sur la dernière colonne en partant de la matrice $F-6I$
Utilisez une transvection.
\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F_3 \xrightarrow[L_1\leftarrow L_1-L_3 \text{ et } C_3\leftarrow C_3+C_1]{} F_4 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_3^{-1}\cdots E_1^{-1}P_4^{-1} \xrightarrow[L_1\leftarrow L_1-L_3]{} E_3^{-1}\cdots E_4^{-1}P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
-1/3 & -1/3 & -1/3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1/3\\
1/3 & 1/3 & 2/3 & 2/3\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_4E_1\cdots E_3 \xrightarrow[C_3\leftarrow C_3+C_1]{} P_4E_1\cdots E_4 = \begin{pmatrix}
-3 & 3 & 0 & -1\\
-3 & 3 & -3 & 1\\
3 & -6 & 3 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}Concluez
Posez :
P = \begin{pmatrix}
-3 & 3 & 0 & -1\\
-3 & 3 & -3 & 1\\
3 & -6 & 3 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0
\end{pmatrix}.La matrice $P$ est inversible et vous avez :
P^{-1} = \begin{pmatrix}
-1/3 & -1/3 & -1/3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1/3\\
1/3 & 1/3 & 2/3 & 2/3\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.Via la matrice de passage $P$, la matrice $A-6I$ est semblable à la matrice de Jordan suivante :
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.Comme :
P^{-1}(A-6I)P = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}vous déduisez que la matrice $A$ est semblable à la matrice de Jordan suivante :
J=\begin{pmatrix}
6 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 1 & 0 \\
0 &0 & 6 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 6
\end{pmatrix}.Vous terminez avec la relation de conjugaison : $P^{-1}AP = J.$
Prolongement
Considérez la matrice suivante
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.Explicitez une matrice inversible $P$ et une matrice de Jordan $J$ telles que $P^{-1}AP=J.$
Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !