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184. Construisez la forme de Jordan d’une matrice avec des opérations élémentaires (4/4)

17/07/2020 - 0057

Il a été vu suite aux précisions que vous trouverez dans l'article 183, dans l'article 182 et dans l'article 181 que la matrice $A$ définie par :

$A=\begin{pmatrix}
7 & 1 & 2 & 2\\
1 & 4 & -1 & -1\\
-2 & 1 & 5 & -1\\
1 & 1 & 2 & 8
\end{pmatrix}$

est semblable à la matrice $F$ suivante :

$\begin{pmatrix}
6 & 0 & 0 & -3/2 \\
0 & 6 & 1 & 0 \\
0 &0 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 6
\end{pmatrix}$

via la matrice de passage $P_4 = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0 & 1\\
-2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$

Le calcul de la matrice $P_4^{-1}$ a été effectué en parallèle et il a été obtenu le résultat suivant :

$P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1/2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.$

Autrement dit, $P_4^{-1}AP_4 = F.$

Obtenez des coefficients égaux à $1$ sur la dernière colonne en partant de la matrice $F-6I$

Partez de :

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F-6I = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -3/2 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1/2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_4 = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & -1\\
2 & 1 & 0 & 1\\
-2 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

Utilisez une série de dilatations.

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F-6I \xrightarrow[L_1\leftarrow \frac{-2}{3}L_1 \text{ et } C_1\leftarrow \frac{-3}{2}C_1]{} F_1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
P_4^{-1} \xrightarrow[L_1\leftarrow \frac{-2}{3}L_1]{} E_1^{-1}P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1/3 & 2/3\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_4 \xrightarrow[C_1\leftarrow \frac{-3}{2}C_1]{} P_4E_1 = \begin{pmatrix}
-3 & 1 & 1 & -1\\
-3 & 1 & 0 & 1\\
3 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F_1 \xrightarrow[L_3\leftarrow \frac{1}{3}L_3 \text{ et } C_3\leftarrow 3C_3]{} F_2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 &0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_1^{-1}P_4^{-1} \xrightarrow[L_3\leftarrow \frac{1}{3}L_3]{} E_2^{-1}E_1^{-1}P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1/3 & 2/3\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1/3 & 1/3 & 2/3 & 2/3\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_4E_1 \xrightarrow[C_3\leftarrow 3C_3]{} P_4E_1E_2 = \begin{pmatrix}
-3 & 1 & 3 & -1\\
-3 & 1 & 0 & 1\\
3 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F_2 \xrightarrow[L_2\leftarrow \frac{1}{3}L_2 \text{ et } C_2\leftarrow 3C_2]{} F_3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_2^{-1}E_1^{-1}P_4^{-1} \xrightarrow[L_2\leftarrow \frac{1}{3}L_2]{} E_3^{-1}\cdots E_1^{-1}P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1/3 & 2/3\\
0 & 0 & 0 & 1/3\\
1/3 & 1/3 & 2/3 & 2/3\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_4E_1E_2 \xrightarrow[C_2\leftarrow 3C_2]{} P_4E_1\cdots E_3 = \begin{pmatrix}
-3 & 3 & 3 & -1\\
-3 & 3 & 0 & 1\\
3 & -6 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

Obtenez un seul coefficient égal à $1$ sur la dernière colonne en partant de la matrice $F-6I$

Utilisez une transvection.

$\begin{align*}\begin{array}{c|c|c}
F_3 \xrightarrow[L_1\leftarrow L_1-L_3 \text{ et } C_3\leftarrow C_3+C_1]{} F_4 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} &
E_3^{-1}\cdots E_1^{-1}P_4^{-1} \xrightarrow[L_1\leftarrow L_1-L_3]{} E_3^{-1}\cdots E_4^{-1}P_4^{-1} = \begin{pmatrix}
-1/3 & -1/3 & -1/3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1/3\\
1/3 & 1/3 & 2/3 & 2/3\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} &
P_4E_1\cdots E_3 \xrightarrow[C_3\leftarrow C_3+C_1]{} P_4E_1\cdots E_4 = \begin{pmatrix}
-3 & 3 & 0 & -1\\
-3 & 3 & -3 & 1\\
3 & -6 & 3 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{array}\end{align*}$

Concluez

Posez $P = \begin{pmatrix}
-3 & 3 & 0 & -1\\
-3 & 3 & -3 & 1\\
3 & -6 & 3 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$

La matrice $P$ est inversible et $P^{-1} = \begin{pmatrix}
-1/3 & -1/3 & -1/3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1/3\\
1/3 & 1/3 & 2/3 & 2/3\\
0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.$

Via la matrice de passage $P$, la matrice $A-6I$ est semblable à la matrice de Jordan $\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$

Comme $P^{-1}(A-6I)P = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$ vous déduisez que la matrice $A$ est semblable à la matrice de Jordan $J=\begin{pmatrix}
6 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 6 & 1 & 0 \\
0 &0 & 6 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 6
\end{pmatrix}$ et que $P^{-1}AP = J.$

Prolongement

Considérez la matrice suivante $A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.$

Explicitez une matrice inversible $P$ et une matrice de Jordan $J$ telles que $P^{-1}AP = J.$

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