Considérez deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $a<b.$ Soit $f : [a,b]\to \R$ une fonction continue.
Autrement dit, pour tout $x\in[a,b]$ et pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe un nombre réel $\delta$ strictement positif tel que, pour tout $y\in[a,b]$, $x-\delta<y<x+\delta \implies f(x)-\varepsilon < f(y) < f(x)+\varepsilon.$
Le but de ce document est de démontrer que la fonction $f$ est bornée : il existe un nombre réel $M$ strictement positif tel que, pour tout $x\in[a,b], -M\leq f(x) \leq M.$
Utilisez la borne supérieure d’un ensemble
Soit $A$ l’ensemble défini par $\{x\in[a,b], \exists M> 0, \forall u\in[a,x], -M\leq f(u)\leq M\}.$
Pour dégrossir la définition, si $x\in A$, alors la restriction de la fonction $f$ à l’intervalle $[a,x]$ est bornée.
Posez $M = 1+ \lvert f(a) \rvert$ pour obtenir $M>0$. Comme $-M\leq f(a) \leq M$ vous déduisez que $\forall u\in[a,a], -M\leq f(u)\leq M$, ce qui prouve $a\in A$ donc l’ensemble $A$ est non vide.
Par définition de $A$, vous avez $\forall x\in A, x\in[a,b]$ donc $b$ est un majorant de l’ensemble $A.$
Comme $A$ est une partie de $\R$ vous déduisez que $A$ admet une borne supérieure, que vous allez noter $c.$
Démontrez que la borne supérieure $c$ est strictement supérieure à $a$
La fonction $f$ est continue sur l’intervalle $[a,b]$, vous choisissez $\varepsilon = 1$ et écrivez la continuité en $a.$
Il existe donc un nombre réel $\delta$ strictement positif, tel que, pour tout $y\in[a,b]$, $a-\delta<y<a+\delta \implies f(a)-1 < f(y) < f(a)+1.$ Posez $M = \lvert f(a) \rvert +1$. Il vient $M>0$ et $\forall y\in[a,b], a-\delta<y<a+\delta \implies -M \leq f(y)\leq M.$
Posez $\delta’ = \mathrm{Min}\left(\frac{\delta}{2}, b-a\right).$ Alors $\delta’ > 0.$ Comme $[a, a+\delta’]\subset [a,a+\delta[ \cap [a,b]$ vous déduisez $\forall x\in[a, a+\delta’], -M\leq f(x) \leq M.$ Du coup $a+\delta’\in A$. Par définition de la borne supérieure $c$ qui est un majorant de $A$ vous déduisez $a+\delta’ \leq c.$ Or $a+\delta’ > a$ donc $a < c.$
Démontrez que la borne supérieure $c$ est égale à $b$
Raisonnez par l’absurde et supposez que $c\neq b.$ Comme $b$ est un majorant de $A$ et comme la borne supérieure $c$ est le plus petit majorant de $A$, il vient $c\leq b$ et par suite $c<b.$
De ce qui précède, vous avez $a<c<b.$
Or, par continuité de la fonction $f$ en $c$ en prenant $\varepsilon =1$, il existe un nombre réel $\delta$ strictement positif tel que $\forall x\in[a,b], c-\delta < x < c+\delta\implies f(c)-1 < f(x) < f(c)+1.$ Posez $M = \lvert f(c) \rvert +1$ de sorte que $M>0$ et $\forall x\in[a,b], c-\delta < x < c+\delta\implies -M < f(x) < M.$
Posez $\delta’ = \mathrm{Min}\left(c-a, b-c, \frac{\delta}{2}\right).$ De part les positions de $a$, $b$ et $c$, vous avez $\delta’ > 0.$
De plus, $[c-\delta’, c+\delta’]\subset]c-\delta,c+\delta[ \cap [a,b]$ de sorte que $\forall x\in [c-\delta’, c+\delta’], -M < f(x) < M.$
D’autre part, $c-\delta’$ est strictement inférieur à $c$. Donc $c-\delta’$ est strictement inférieur au plus petit des majorants de l’ensemble $A$. Donc $c-\delta’$ n’est pas un majorant de $A$. Donc il existe $u\in A$ tel que $c-\delta’ < u.$
Comme $u\in A$, il existe $N> 0$ tel que $\forall x\in[a,u], -N\leq f(x)\leq N.$
Comme $[a, c-\delta’]\subset [a, u]$ il vient $\forall x\in[a,c-\delta’], -N\leq f(x)\leq N.$
Soit maintenant $x\in[a, c+\delta’].$ Si $x\in[a,c-\delta’]$ alors $-N-M < -N \leq f(x) \leq N \leq N+M$ donc $-N-M\leq f(x) \leq N+M.$ Sinon, c’est que $x\in]c-\delta’, c+\delta’]$, et dans ce cas alors $-N-M < -M \leq f(x) \leq M < N+M.$
Ainsi $\forall x\in[a, c+\delta’], -N-M\leq f(x) \leq N+M$ donc $c+\delta’ \in A.$ Comme $c$ est une borne supérieure de $A$ il vérifie $c\geq c+\delta’$ ce qui est absurde puisque $c+\delta’ > c$ compte tenu de la stricte positivité de $\delta’.$
De cette analyse, vous déduisez que $c=b.$
Concluez
La fonction $f$ est continue en $b$, donc il existe $\delta > 0$ tel que $\forall x\in[a,b], b-\delta<x<b+\delta \implies f(b)-1<f(x)<f(b)+1.$
Posez $\delta’=\mathrm{Min}\left(\frac{\delta}{2}, b-a\right) > 0$ et $M = \lvert f(b) \rvert +1$ pour avoir $M>0.$
Alors $\forall x\in[b-\delta’, b], -M\leq f(x)\leq M.$
Or $b-\delta’$ ne peut majorer l’ensemble $A$ puisque $b$ est une borne supérieure de $A.$
Donc il existe $u\in A$ tel que $b-\delta’ < u.$
Comme $u\in A$, il existe $N>0$ tel que $\forall x\in[a,u], -N\leq f(x)\leq N.$
Soit maintenant $x\in [a,b].$
Si $x\in[a,b-\delta’]$, alors $x\in[a,u]$ donc $-N-M<-N\leq f(x) \leq N < N+M$ donc $-N-M\leq f(x)\leq N+M.$
Sinon, c’est que $x\in]b-\delta’,b]$ donc $-N-M< -M \leq f(x) \leq M < M+N$ donc $-N-M\leq f(x) \leq N+M.$
Dans tous les cas il est établi que $-N-M\leq f(x) \leq N+M$ ce qui prouve que $f$ est bornée sur $[a,b]$ et que $b\in A.$ Comme $b$ est une borne supérieure de $A$, vous déduisez au passage que $b$ est le maximum de $A.$
Prolongement
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$ $f : [a,b]\to \R$ une fonction continue, telle que $f(a)<0$ et $f(b)>0.$ En utilisant l’ensemble $A = \{x\in[a,b], \forall u\in[a,x], f(u) < 0\}$ pourriez-vous démontrer qu’il existe un nombre réel $c\in]a,b[$ tel que $f(c)=0$ ?
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