Par analogie avec la définition des suites réelles convergentes, vous considérez une fonction $f$ qui admet des sommes de Riemann convergentes.
Plus précisément, le contexte est le suivant.
Soit $f$ une fonction réelle définie sur un intervalle $[a,b]$ où $a<b$ vérifiant l’énoncé ci-dessous.
Il existe un nombre réel $A$ tel que, pour tout réel $\varepsilon > 0$, il existe un réel $\delta>0$ tel que, pour toute subdivision $x_0<x_1<\cdots<x_n$ de l’intervalle $[a,b]$ qui soit $\delta$-fine, et pour tout choix de $n$ réels $t_1$, $\dots$, $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $t_i\in[x_{i-1}, x_i]$, la somme de Riemann $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$ vérifie la majoration $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq \varepsilon.$
Justifiez le fait que $f$ est bornée
Prenez $\varepsilon = 1.$ Il existe donc un réel $\delta > 0$ tel que, pour toute subdivision $x_0<x_1<\cdots<x_n$ $\delta$-fine et pour tout choix de $n$ réels $t_1$, $\dots$, $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $t_i\in[x_{i-1}, x_i]$, la somme de Riemann $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$ vérifie la majoration $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq 1.$
Choisissez un entier $N$ fixé, tel que $N \geq \mathrm{Max}\left(\frac{b-a}{\delta}, 2\right)$ et considérez la subdivision régulière $x_0<x_1<\cdots < x_N$ suivante, en posant $x_0 = a$, $x_1 = a+\frac{1}{N}$, $\dots$, $x_k = a+k\frac{b-a}{N}$, $\dots$, $x_N = b.$
Il sera commode de poser $M = \mathrm{Max}\{\left\lvert f(x_k)\right\vert, 0\leq k\leq N\}.$
Pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $N$ :
\begin{aligned}
x_k-x_{k-1} &\leq \left(a+k\frac{b-a}{N}\right)- \left(a+(k-1)\frac{b-a}{N}\right) \\
&\leq \frac{b-a}{N} \\
&\leq \delta.
\end{aligned}
Cette subdivision est donc $\delta$-fine.
Si $x$ est un nombre réel égal à l’un des $x_k$, pour un certain $k$ compris entre $0$ et $N$, $\left\lvert f(x)\right\vert \leq M$ et par suite $\left\lvert f(x)\right\vert \leq \frac{N(1+\vert A \vert)}{b-a} +(N+1)M.$
Soit maintenant $x$ un nombre réel appartenant à l’intervalle $[a,b]$ tel que, pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $N$, $x_k \neq x.$
Il existe un unique entier $k_0$ compris entre $1$ et $N$ tel que $x\in]x_{k_0-1}, x_{k_0}[.$ Vous posez $t_{k_0} = x.$
Pour tout entier $k\neq k_0$ compris entre $1$ et $N$, vous posez $t_k = x_k.$
Comme les sommes de Riemann convergent, vous déduisez que $\left\vert \sum_{k=1}^N f(t_k)(x_k-x_{k-1}) – A\right\vert \leq 1$, ce qui s’écrit:
\begin{aligned}
\left\vert \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k)\frac{b-a}{N} + f(x)\frac{b-a}{N} – A\right\vert &\leq 1\\
\left\vert \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k) + f(x) – \frac{AN}{b-a}\right\vert &\leq \frac{N}{b-a}.
\end{aligned}
Usant de l’inégalité triangulaire:
\begin{aligned}
\left\vert f(x) \right\vert &\leq \left\vert f(x) -\frac{AN}{b-a} + \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}}f(t_i)\right\vert + \left\vert \frac{AN}{b-a} – \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k)\right\vert \\
&\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert + \left\vert \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k) \right\vert\\
&\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert + \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} \left\vert f(t_k) \right\vert\\
&\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert +\sum_{k=1}^N \left\vert f(t_k) \right\vert\\
&\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert +\sum_{k=0}^N \left\vert f(t_k) \right\vert\\
&\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert +(N+1)M\\
&\leq \frac{N(1+\vert A \vert)}{b-a} +(N+1)M.
\end{aligned}
Ainsi, $\boxed{\forall x\in[a,b], \left\vert f(x) \right\vert \leq \frac{N(1+\vert A \vert)}{b-a} +(N+1)M.}$
La fonction $f$ est donc bornée sur l’intervalle $[a,b].$
Prolongement
La fonction $f$ étant bornée sur l’intervalle $[a,b]$, les sommes de Darboux de $f$ sont bien définies ainsi que son intégrale inférieure et supérieure sur l’intervalle $[a,b].$ Pourriez-vous utiliser les propriétés des bornes supérieures et inférieures afin de démontrer que, si $f$ a ses sommes de Riemann qui convergent, alors $f$ est Riemann-intégrable ?
Autrement dit pourriez-vous démontrer l’égalité $\underline{\int}_a^b f = \overline{\int}_a^b f$ ? Ce qui revient à démontrer, en vertu de ce qui a été vu dans l'article 209 que pour tout $\varepsilon>0$, il existe une subdivision $P$ telle que $U(P)-L(P)\leq \varepsilon$ ?
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