212. Une fonction dont les sommes de Riemann convergent est nécessairement une fonction bornée

Par analogie avec la définition des suites réelles convergentes, vous considérez une fonction $f$ qui admet des sommes de Riemann convergentes.

Plus précisément, le contexte est le suivant.

Soit $f$ une fonction réelle définie sur un intervalle $[a,b]$ où $a\lt b$ vérifiant l’énoncé ci-dessous.

Il existe un nombre réel $A$ tel que, pour tout réel $\varepsilon \gt 0\comma$ il existe un réel $\delta\gt0$ tel que, pour toute subdivision $x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n$ de l’intervalle $[a,b]$ qui soit $\delta$-fine, et pour tout choix de $n$ réels $t_1\comma$ $\dots\comma$ $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n\comma$ $t_i\in[x_{i-1}, x_i]\comma$ la somme de Riemann $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$ vérifie la majoration $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq \varepsilon.$

Justifiez le fait que $f$ est bornée

Prenez $\varepsilon = 1.$ Il existe donc un réel $\delta \gt 0$ tel que, pour toute subdivision $x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n$ $\delta$-fine et pour tout choix de $n$ réels $t_1\comma$ $\dots\comma$ $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n\comma$ $t_i\in[x_{i-1}, x_i]\comma$ la somme de Riemann $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$ vérifie la majoration $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq 1.$

Choisissez un entier $N$ fixé, tel que $N \geq \max\left(\frac{b-a}{\delta}, 2\right)$ et considérez la subdivision régulière $x_0\lt x_1\lt\cdots \lt x_N$ suivante, en posant $x_0 = a\comma$ $x_1 = a+\frac{b-a}{N}\comma$ $\dots\comma$ $x_k = a+k\frac{b-a}{N}\comma$ $\dots\comma$ $x_N = b.$

Il sera commode de poser $M = \max\{\left\lvert f(x_k)\right\vert, 0\leq k\leq N\}.$

Pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $N\comma$ vous avez :

\begin{align*} x_k-x_{k-1} &= \left(a+k\frac{b-a}{N}\right)- \left(a+(k-1)\frac{b-a}{N}\right) \\ &= \frac{b-a}{N} \\ &\leq \delta. \end{align*}

Cette subdivision est donc $\delta$-fine.

Si $x$ est un nombre réel égal à l’un des $x_k\comma$ pour un certain $k$ compris entre $0$ et $N\comma$ $\left\lvert f(x)\right\vert \leq M$ et par suite $\left\lvert f(x)\right\vert \leq \frac{N(1+\vert A \vert)}{b-a} +(N+1)M.$

Soit maintenant $x$ un nombre réel appartenant à l’intervalle $[a,b]$ tel que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $N\comma$ $x_k \neq x.$

Il existe un unique entier $k_0$ compris entre $1$ et $N$ tel que $x\in]x_{k_0-1}, x_{k_0}[.$ Vous posez $t_{k_0} = x.$

Pour tout entier $k\neq k_0$ compris entre $1$ et $N\comma$ vous posez $t_k = x_k.$

Comme les sommes de Riemann convergent, vous déduisez que $\left\vert \sum_{k=1}^N f(t_k)(x_k-x_{k-1}) – A\right\vert \leq 1\comma$ ce qui s’écrit :

\begin{align*} \left\vert \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k)\frac{b-a}{N} + f(x)\frac{b-a}{N} – A\right\vert &\leq 1\\ \left\vert \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k) + f(x) – \frac{AN}{b-a}\right\vert &\leq \frac{N}{b-a}. \end{align*}

En utilisant l’inégalité triangulaire et le fait que $t_k = x_k$ pour $k\neq k_0\comma$ vous obtenez :

\begin{align*} \left\vert f(x) \right\vert &\leq \left\vert f(x) -\frac{AN}{b-a} + \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}}f(t_k)\right\vert + \left\vert \frac{AN}{b-a} – \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k)\right\vert \\ &\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert + \left\vert \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k) \right\vert\\ &\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert + \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} \left\vert f(t_k) \right\vert\\ &\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert +\sum_{k=1}^N \left\vert f(x_k) \right\vert\\ &\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert +\sum_{k=0}^N \left\vert f(x_k) \right\vert\\ &\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert +(N+1)M\\ &\leq \frac{N(1+\vert A \vert)}{b-a} +(N+1)M. \end{align*}

Ainsi, $\boxed{\forall x\in[a,b], \left\vert f(x) \right\vert \leq \frac{N(1+\vert A \vert)}{b-a} +(N+1)M.}$

La fonction $f$ est donc bornée sur l’intervalle $[a,b].$

Prolongement

La fonction $f$ étant bornée sur l’intervalle $[a,b]\comma$ les sommes de Darboux de $f$ sont bien définies ainsi que son intégrale inférieure et supérieure sur l’intervalle $[a,b].$ Pourriez-vous utiliser les propriétés des bornes supérieures et inférieures afin de démontrer que, si $f$ a ses sommes de Riemann qui convergent, alors $f$ est Riemann-intégrable ?

Autrement dit, pourriez-vous démontrer l’égalité des intégrales inférieure et supérieure ? D’après un autre article, cela revient à démontrer que, pour tout $\varepsilon\gt0\comma$ il existe une subdivision $P$ telle que l’inégalité $U(P)-L(P)\leq \varepsilon$ soit vérifiée.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 209.