Votre navigateur n'accepte pas le Javascript.La navigation sur ce site risque de ne pas fonctionner correctement.

212. Une fonction dont les sommes de Riemann convergent est nécessairement une fonction bornée

Par analogie avec la définition des suites réelles convergentes, vous considérez une fonction $f$ qui admet des sommes de Riemann convergentes.

Plus précisément, le contexte est le suivant.

Soit $f$ une fonction réelle définie sur un intervalle $[a,b]$ où $a<b$ vérifiant l’énoncé ci-dessous.

Il existe un nombre réel $A$ tel que, pour tout réel $\varepsilon > 0$, il existe un réel $\delta>0$ tel que, pour toute subdivision $x_0<x_1<\cdots<x_n$ de l’intervalle $[a,b]$ qui soit $\delta$-fine, et pour tout choix de $n$ réels $t_1$, $\dots$, $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $t_i\in[x_{i-1}, x_i]$, la somme de Riemann $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$ vérifie la majoration $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq \varepsilon.$

Justifiez le fait que $f$ est bornée

Prenez $\varepsilon = 1.$ Il existe donc un réel $\delta > 0$ tel que, pour toute subdivision $x_0<x_1<\cdots<x_n$ $\delta$-fine et pour tout choix de $n$ réels $t_1$, $\dots$, $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $t_i\in[x_{i-1}, x_i]$, la somme de Riemann $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$ vérifie la majoration $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq 1.$

Choisissez un entier $N$ fixé, tel que $N \geq \mathrm{Max}\left(\frac{b-a}{\delta}, 2\right)$ et considérez la subdivision régulière $x_0<x_1<\cdots < x_N$ suivante, en posant $x_0 = a$, $x_1 = a+\frac{1}{N}$, $\dots$, $x_k = a+k\frac{b-a}{N}$, $\dots$, $x_N = b.$

Il sera commode de poser $M = \mathrm{Max}\{\left\lvert f(x_k)\right\vert, 0\leq k\leq N\}.$

Pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $N$ :

\begin{aligned}
x_k-x_{k-1} &\leq \left(a+k\frac{b-a}{N}\right)- \left(a+(k-1)\frac{b-a}{N}\right) \\
&\leq \frac{b-a}{N} \\
&\leq \delta.
\end{aligned}

Cette subdivision est donc $\delta$-fine.

Si $x$ est un nombre réel égal à l’un des $x_k$, pour un certain $k$ compris entre $0$ et $N$, $\left\lvert f(x)\right\vert \leq M$ et par suite $\left\lvert f(x)\right\vert \leq \frac{N(1+\vert A \vert)}{b-a} +(N+1)M.$

Soit maintenant $x$ un nombre réel appartenant à l’intervalle $[a,b]$ tel que, pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $N$, $x_k \neq x.$

Il existe un unique entier $k_0$ compris entre $1$ et $N$ tel que $x\in]x_{k_0-1}, x_{k_0}[.$ Vous posez $t_{k_0} = x.$

Pour tout entier $k\neq k_0$ compris entre $1$ et $N$, vous posez $t_k = x_k.$

Comme les sommes de Riemann convergent, vous déduisez que $\left\vert \sum_{k=1}^N f(t_k)(x_k-x_{k-1}) – A\right\vert \leq 1$, ce qui s’écrit:

\begin{aligned}
\left\vert \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k)\frac{b-a}{N} + f(x)\frac{b-a}{N} – A\right\vert &\leq 1\\
\left\vert \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k) + f(x) – \frac{AN}{b-a}\right\vert &\leq \frac{N}{b-a}.
\end{aligned}

Usant de l’inégalité triangulaire:

\begin{aligned}
\left\vert f(x) \right\vert &\leq \left\vert f(x) -\frac{AN}{b-a} + \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}}f(t_i)\right\vert + \left\vert \frac{AN}{b-a} – \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k)\right\vert \\
&\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert + \left\vert \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} f(t_k) \right\vert\\
&\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert + \sum_{\substack{k\neq k_0 \\ 1\leq k \leq N}} \left\vert f(t_k) \right\vert\\
&\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert +\sum_{k=1}^N \left\vert f(t_k) \right\vert\\
&\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert +\sum_{k=0}^N \left\vert f(t_k) \right\vert\\
&\leq \frac{N}{b-a} + \left\vert \frac{AN}{b-a} \right\vert +(N+1)M\\
&\leq \frac{N(1+\vert A \vert)}{b-a} +(N+1)M.
\end{aligned}

Ainsi, $\boxed{\forall x\in[a,b], \left\vert f(x) \right\vert \leq \frac{N(1+\vert A \vert)}{b-a} +(N+1)M.}$

La fonction $f$ est donc bornée sur l’intervalle $[a,b].$

Prolongement

La fonction $f$ étant bornée sur l’intervalle $[a,b]$, les sommes de Darboux de $f$ sont bien définies ainsi que son intégrale inférieure et supérieure sur l’intervalle $[a,b].$ Pourriez-vous utiliser les propriétés des bornes supérieures et inférieures afin de démontrer que, si $f$ a ses sommes de Riemann qui convergent, alors $f$ est Riemann-intégrable ?

Autrement dit pourriez-vous démontrer l’égalité $\underline{\int}_a^b f = \overline{\int}_a^b f$ ? Ce qui revient à démontrer, en vertu de ce qui a été vu dans l'article 209 que pour tout $\varepsilon>0$, il existe une subdivision $P$ telle que $U(P)-L(P)\leq \varepsilon$ ?

Partagez !

Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.

Aidez-moi sur Facebook !

Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.

Lisez d'autres articles !

Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !