Dans cet article, $x_1, x_2$ et $x_3$ sont trois nombres réels deux à deux distincts.
Vous vous fixez trois réels quelconques notés $y_1, y_2$ et $y_3$, qui peuvent être identiques ou non.
Vous cherchez à construire un polynôme $P$ tel que $P(x_1)=y_1$, $P(x_2)=y_2$ et $P(x_3) = y_3.$
Vous allez y parvenir en suivant les sections suivantes :
- La première étape va consister à construire un polynôme $R$ tel que $R(x_1)=y_1$ et $R(x_2)=y_2 ;$
- La deuxième étape consiste à construire un polynôme $S$ tel que $S(x_2)=y_2$ et $S(x_3)=y_3 ;$
- La troisième étape va donner le polynôme $P$ à partir des polynômes $R$ et $S$ en leur ajoutant une racine ;
- La dernière étape permet de trouver une expression plus agréable et plus systématique.
Etape 1 : construisez un polynôme $R$ tel que $R(x_1)=y_1$ et $R(x_2)=y_2$
Analyse
En cherchant ce polynôme sous la forme $R(X)=aX+b$, vous êtes amené à résoudre le système :
\left\{\begin{align*}
ax_1+b&=y_1\\
ax_2+b&=y_2.
\end{align*}\right.Par soustraction, il vient $ax_1-ax_2 = y_1-y_2$ d’où $a(x_1-x_2)=y_1-y_2$ et comme $x_1\neq x_2$ il est possible de diviser par $x_1-x_2$ ce qui fournit $a = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}.$
Ce nombre est si important qu’il sera noté dans la suite $P[x_1,x_2].$ Ainsi :
\boxed{P[x_1,x_2] = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}.}$P[x_1,x_2] = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}.$
Alors il vient $b = y_1 – ax_1 = y_1-P[x_1,x_2] x_1.$
Ainsi un bon candidat pour $R(X)$ est $R(X) = aX+b = P[x_1,x_2] X + y_1 – P[x_1,x_2] x_1 = y_1 + P[x_1,x_2](X-x_1).$
Par souci de cohérence avec le résultat précédent vous notez :
\boxed{P[x_1] = y_1.}Synthèse
Posez :
R(X) = P[x_1]+P[x_1,x_2](X-x_1).
En substituant $x_1$, il vient $R(x_1) = P[x_1] = y_1.$
En substituant $x_2$, vous obtenez :
\begin{align*}
R(x_2) &= y_1 + \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\times (x_2-x_1)\\
&= y_1-(y_1-y_2)\\
&=y_2.
\end{align*}Par conséquent le polynôme $R$ convient bien au problème posé.
Etape 2 : construisez un polynôme $S$ tel que $S(x_2)=y_2$ et $S(x_3)=y_3$
En suivant exactement la même démarche que précédemment, vous posez $P[x_2] = y_2$ et $P[x_2,x_3] = \frac{y_2-y_3}{x_2-x_3}.$
Ainsi, le polynôme $S$ suivant va convenir :
S(X) = P[x_2]+P[x_2,x_3](X-x_2).
Etape 3 : construisez le polynôme $P$ recherché
Vous avez un polynôme $R$ qui vérifie :
\begin{align*}
R(x_1)&=y_1\\
R(x_2)&=y_2.
\end{align*}Vous avez un polynôme $S$ qui vérifie :
\begin{align*}
S(x_2)&=y_2\\
S(x_3)&=y_3.
\end{align*}Posez alors $\mathscr{R}(X) = R(X)(X-x_3)$ et $\mathscr{S}(X) = S(X)(X-x_1).$ Du coup :
\begin{align*}
\mathscr{R}(x_1)&=y_1(x_1-x_3)\\
\mathscr{R}(x_2)&=y_2(x_2-x_3)\\
\mathscr{R}(x_3)&=0\\
\mathscr{S}(x_1)&=0\\
\mathscr{S}(x_2)&=y_2(x_2-x_1)\\
\mathscr{S}(x_3)&=y_3(x_3-x_1)\\
\end{align*}Par soustraction, vous déduisez :
\begin{align*}
\mathscr{(R-S)}(x_1)&=y_1(x_1-x_3)\\
\mathscr{(R-S)}(x_2)&=y_2(x_2-x_3)-y_2(x_2-x_1)\\
\mathscr{(R-S)}(x_3)&=-y_3(x_3-x_1).
\end{align*}Vous n’obtenez que des multiples de $x_1-x_3$ :
\begin{align*}
\mathscr{(R-S)}(x_1)&=y_1(x_1-x_3)\\
\mathscr{(R-S)}(x_2)&=y_2(x_1-x_3)\\
\mathscr{(R-S)}(x_3)&=y_3(x_1-x_3).
\end{align*}Comme $x_1\neq x_3$, en divisant, vous obtenez le polynôme cherché :
P(X) = \frac{R(X)(X-x_3)-S(X)(X-x_1)}{x_1-x_3}.Le coefficient dominant du polynôme $P$ est alors égal à $\frac{P[x_1,x_2]-P[x_2,x_3]}{x_1-x_3}.$
De part l’importance de ce résultat, appelé différence divisée, vous posez :
\boxed{P[x_1,x_2,x_3] = \frac{P[x_1,x_2]-P[x_2,x_3]}{x_1-x_3}.}Etape 4 : déterminez une expression plus agréable du polynôme $P$
Comme $R$ et $S$ sont de degré $1$, le polynôme $P$ appartient à $\R_2[X].$
Par soustraction, le polynôme $Q = P-R$ appartient aussi à $\R_2[X].$
Or $Q(x_1) = P(x_1)-R(x_1) = y_1-y_1 = 0$ et $Q(x_2) = P(x_2)-R(x_2) = y_2-y_2 = 0$ donc $Q$ admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$, donc il est factorisable par $(X-x_1)(X-x_2).$ Il existe donc un polynôme $T$ tel que $Q(X)=(X-x_1)(X-x_2)T(X).$ Pour une question de degré, $T$ est constant, sinon $Q$ n’appartiendrait pas à $R_2[X].$
Notez $C = T(X).$ En développant $C(X-x_1)(X-x_2)$ vous déduisez que $C$ est le coefficient dominant de $Q.$
Or il a été vu que ce dernier est $P[x_1,x_2,x_3].$
Donc $Q(X) = P[x_1,x_2,x_3](X-x_1)(X-x_2).$
Comme $P = R+Q$ vous déduisez :
\boxed{P(X) = P[x_1]+P[x_1,x_2](X-x_1)+P[x_1,x_2,x_3](X-x_1)(X-x_2).}Cette expression est attribuée à Newton.
Prolongement
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$ Considérez $n$ réels deux à deux distincts notés $x_1,\dots,x_n$. Soient $n$ réels $y_1,\dots y_n$ quelconques. Pourriez-vous généraliser en justifiant non seulement de l’existence mais d’un procédé de calcul permettant de déterminer l’expression d’un polynôme $P$ de degré $n+1$ vérifiant $\forall j\in\llbracket 1, n\rrbracket, P(x_j)=y_j$ ?
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