Dans cet article vous supposerez que les différences divisées généralisées permettent de calculer un polynôme interpolateur de Hermite dans le cas où le nombre de conditions est égal à $3.$

Rappelez-vous que les différences divisées généralisées d’une fonction $f$, dans le cas où les paramètres sont identiques, fournissent : $f[x] = f(x)$, $f[x,x] = f'(x)$ et $f[x,x,x] = \frac{f »(x)}{2}.$ Dans le cas où $x$ serait répété $n$ fois, $n$ désignant un nombre entier supérieur ou égal à $2$, vous auriez $f[x,\dots,x] = \frac{f^{(n)}(x)}{n!}.$

Ce rapprochement est à mettre en rapport avec la formule de Taylor.

Cela étant posé, le but de cet article est de construire un polynôme $P$ vérifiant les conditions suivantes :

\left\{\begin{align*}
P(1) &= 2\\
P'(1) &= 7\\
P''(1)&=1\\
P(2)&=3.
\end{align*}\right.

Scindez les conditions en deux parties

Supposez que vous avez déjà à votre disposition un polynôme $R$ tel que :

\left\{\begin{align*}
R(1) &= 2\\
R'(1) &= 7\\
R''(1)&=1.
\end{align*}\right.

Supposez de plus que vous avez déjà à votre disposition un polynôme $S$ tel que :

\left\{\begin{align*}
S(1) &= 2\\
S'(1) &= 7\\
S(2)&=3.
\end{align*}\right.

Alors, dans l’esprit du contenu se trouvant [yanniswp_article_link nb= »233″ desc= »dans l’article 233″], il suffit de poser :

P(X)=\frac{R(X)(X-2)-S(X)(X-1)}{1-2}.

Le polynôme $P$ va alors convenir.

Vérifiez les premières conditions sans dérivation :

\begin{align*}
P(1)&=\frac{R(1)(1-2)-S(1)(1-1)}{1-2}\\
&=\frac{R(1)(1-2)}{1-2}\\
&=R(1)\\
&=2.
\end{align*}

Ensuite :

\begin{align*}
P(2)&=\frac{R(2)(2-2)-S(2)(2-1)}{1-2}\\
&=\frac{-S(2)(2-1)}{1-2}\\
&=S(2)\\
&=3.
\end{align*}

Pour vérifier la condition avec la dérivée première, vous dérivez une fois puis vous substituez :

\begin{align*}
P'(X) &= \frac{R'(X)(X-2)+R(X)-S'(X)(X-1)-S(X)}{1-2}\\
P'(1) &= \frac{R'(1)(1-2)+R(1)-S(1)}{1-2}\\
 &= \frac{R'(1)(1-2)}{1-2}\\
 &= R'(1)\\
 &= 7.
\end{align*}

Pour la condition avec la dérivée seconde, vous utilisez la formule de Leibniz sur les deux produits.

\begin{align*}
P''(X) &=\frac{R''(X)(X-2)+2R'(X)-S''(X)(X-1)-2S'(X)}{1-2}\\
P''(1) &=\frac{R''(1)(1-2)+2R'(1)-2S'(1)}{1-2}\\
 &=\frac{R''(1)(1-2)}{1-2}\\
 &=R''(1)\\
&=1.
\end{align*}

Reconstruisez le polynôme $P$

Il s’agit de comprendre pourquoi le polynôme $P$ se calcule lui aussi avec des différences divisées.

Le polynôme $R$ s’obtient directement par la formule de Taylor :

\begin{align*}
R(X) = R(1)+R'(1)(X-1)+\frac{R''(1)}{2}(X-1)^2.
\end{align*}

Vous déduisez immédiatement que :

\begin{align*}
R(X) = P[1]+P[1,1](X-1)+P[1,1,1](X-1)^2.
\end{align*}

Admettant la possibilité de construire les polynômes de Hermite par différence divisée pour 3 conditions, le polynôme $S$ est égal à :

\begin{align*}
S(X) = S[1]+S[1,1](X-1)+S[1,1,2](X-1)^2.
\end{align*}

Le tableau des différences divisées de $S$ est alors le suivant, compte tenu des égalités $S(1)=2, S(2)=3$ et $S'(1)=7.$

\begin{array}{c|cc}
1 & 2 & 7 & \times \\
1 & 2 & \times \\
2 & 3
\end{array}

Vous le complétez au fur et à mesure :

\begin{array}{c|cc}
1 & 2 & 7 & \times \\
1 & 2 & \frac{3-2}{2-1}\\
2 & 3
\end{array}

\begin{array}{c|cc}
1 & 2 & 7 & \times \\
1 & 2 & 1\\
2 & 3
\end{array}

\begin{array}{c|cc}
1 & 2 & 7 & \frac{1-7}{2-1}\\
1 & 2 & 1\\
2 & 3
\end{array}

\begin{array}{c|cc}
1 & 2 & 7 & -6\\
1 & 2 & 1\\
2 & 3
\end{array}

Vous déduisez de ces calculs que $S(X) = 2 + 7(X-1)-6(X-1)^2.$

De l’expression de $P$ suivante :

P(X)=\frac{R(X)(X-2)-S(X)(X-1)}{1-2}.

Vous déduisez que le coefficient dominant de $P$ n’est autre que :

\frac{P[1,1,1] - S[1,1,2]}{1-2}

Le tableau des différences divisées de $P$ fournit :

\begin{array}{c|ccc}
1 & 2 & 7 & 1/2 & P[1,1,1,2]\\
1 & 2 & 7 & -6 &  \\
1 & 2  & 1 & \\
2 & 3
\end{array}

Il s’agit du tableau des différences divisées de $S$ avec une ligne en plus, si bien que :

\begin{align*}
\frac{P[1,1,1] - S[1,1,2]}{1-2} &= \frac{ S[1,1,2] - P[1,1,1]}{2-1}\\
&= \frac{-6-1/2}{2-1}\\
&=\frac{-13}{2}\\
&=P[1,1,1,2].
\end{align*}

Maintenant que vous savez que le coefficient dominant de $P$ est $P[1,1,1,2] = \frac{-13}{2}$ il reste à trouver une expression plus agréable pour $P$ que celle donnée avec $R$ et $S.$ Les polynômes $P$ et $R$ sont égaux en $1$, ainsi que leurs dérivées première et seconde.

Posez alors :

\begin{align*}
Q(X) &= P(X)- P[1]- P[1,1](X-1)- P[1,1,1](X-1)^2\\
&= P(X)-R(X).
\end{align*}

Comme $Q(1) = Q'(1) = Q »(1) = 0$ le nombre $1$ est racine triple de $Q$ donc $Q$ est factorisable par $(X-1)^3.$

Comme $R\in\R_2[X]$, l’expression $P(X)=\frac{R(X)(X-2)-S(X)(X-1)}{1-2}$ montre que $P\in\R_3[X].$ Pour des raisons de degré, $Q$ est donc égal à une constante $C$ multipliée par $(X-1)^3.$ Comme $R\in\R_2[X]$ le coefficient de $X^3$ est le même dans $Q$ et dans $P$. Donc la constante $C$ est nécessairement le coefficient dominant de $P.$

De cette analyse, vous déduisez :

P(X)=P[1]+P[1,1](X-1)+P[1,1,1](X-1)^2+P[1,1,1,2](X-1)^3.

Concrètement, le polynôme $P$ cherché est :

P(X)=2+7(X-1)+\frac{1}{2}(X-1)^2-\frac{13}{2}(X-1)^3.

En développant, il est égal à :

\boxed{P(X) = -\frac{13 X^3}{2}+20 X^2-\frac{27 X}{2}+2.}

La représentation graphique de ce polynôme est présentée ci-dessous.

Prolongement

A vous de trouver l’expression développée d’un polynôme de Hermite $H$ tel que

\left\{\begin{align*}
H(1) &= 1\\
H'(1) &= 0\\
H(2) &= 3\\
H'(2) &= 0\\
H(3) &=2\\
H'(3)&=0.
\end{align*}\right.

Ci-dessous, vous trouverez la représentation graphique d’un tel polynôme.