234. Interpolation de Hermite par différences divisées

Dans ce contenu vous supposerez que les différences divisées généralisées permettent de calculer un polynôme interpolateur de Hermite dans le cas où le nombre de conditions est égal à $3.$

Rappelez-vous que les différences divisées généralisées d’une fonction $f\comma$ dans le cas où les paramètres sont identiques, fournissent : $f[x] = f(x)\comma$ $f[x,x] = f'(x)$ et $f[x,x,x] = \frac{f »(x)}{2}.$ Dans le cas où $x$ serait répété $n+1$ fois, $n$ désignant un nombre entier naturel, vous auriez $f[x,\dots,x] = \frac{f^{(n)}(x)}{n!}.$

Ce rapprochement est à mettre en rapport avec la formule de Taylor.

Cela étant posé, le but de ce contenu est de construire un polynôme $P$ vérifiant les conditions suivantes :

\left\{\begin{align*} P(1) &= 2\\ P'(1) &= 7\\ P''(1)&=1\\ P(2)&=3. \end{align*}\right.

Scindez les conditions en deux parties

Supposez que vous avez déjà à votre disposition un polynôme $R$ tel que :

\left\{\begin{align*} R(1) &= 2\\ R'(1) &= 7\\ R''(1)&=1. \end{align*}\right.

Supposez de plus que vous avez déjà à votre disposition un polynôme $S$ tel que :

\left\{\begin{align*} S(1) &= 2\\ S'(1) &= 7\\ S(2)&=3. \end{align*}\right.

Alors, dans l’esprit du contenu se trouvant dans un autre article, il suffit de poser :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 233.

P(X)=\frac{R(X)(X-2)-S(X)(X-1)}{1-2}.

Le polynôme $P$ va alors convenir.

Vérifiez les premières conditions sans dérivation :

\begin{align*} P(1)&=\frac{R(1)(1-2)-S(1)(1-1)}{1-2}\\ &=\frac{R(1)(1-2)}{1-2}\\ &=R(1)\\ &=2. \end{align*}

Ensuite :

\begin{align*} P(2)&=\frac{R(2)(2-2)-S(2)(2-1)}{1-2}\\ &=\frac{-S(2)(2-1)}{1-2}\\ &=S(2)\\ &=3. \end{align*}

Pour vérifier la condition avec la dérivée première, vous dérivez une fois puis vous substituez :

\begin{align*} P'(X) &= \frac{R'(X)(X-2)+R(X)-S'(X)(X-1)-S(X)}{1-2}\\ P'(1) &= \frac{R'(1)(1-2)+R(1)-S(1)}{1-2}\\ &= \frac{R'(1)(1-2)}{1-2}\\ &= R'(1)\\ &= 7. \end{align*}

Pour la condition avec la dérivée seconde, vous utilisez la formule de Leibniz sur les deux produits.

\begin{align*} P''(X) &=\frac{R''(X)(X-2)+2R'(X)-S''(X)(X-1)-2S'(X)}{1-2}\\ P''(1) &=\frac{R''(1)(1-2)+2R'(1)-2S'(1)}{1-2}\\ &=\frac{R''(1)(1-2)}{1-2}\\ &=R''(1)\\ &=1. \end{align*}

Reconstruisez le polynôme $P$

Il s’agit de comprendre pourquoi le polynôme $P$ se calcule lui aussi avec des différences divisées.

Le polynôme $R$ s’obtient directement par la formule de Taylor :

\begin{align*} R(X) = R(1)+R'(1)(X-1)+\frac{R''(1)}{2}(X-1)^2. \end{align*}

Vous déduisez immédiatement que :

\begin{align*} R(X) = P[1]+P[1,1](X-1)+P[1,1,1](X-1)^2. \end{align*}

Admettant la possibilité de construire les polynômes de Hermite par différences divisées pour trois conditions, le polynôme $S$ est égal à :

\begin{align*} S(X) = S[1]+S[1,1](X-1)+S[1,1,2](X-1)^2. \end{align*}

Le tableau des différences divisées de $S$ est alors le suivant, compte tenu des égalités $S(1)=2, S(2)=3$ et $S'(1)=7.$

\begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 7 & \times \\ 1 & 2 & \times \\ 2 & 3 \end{array}

Vous le complétez au fur et à mesure :

\begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 7 & \times \\ 1 & 2 & \frac{3-2}{2-1}\\ 2 & 3 \end{array}

\begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 7 & \times \\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 3 \end{array}

\begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 7 & \frac{1-7}{2-1}\\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 3 \end{array}

\begin{array}{c|cc} 1 & 2 & 7 & -6\\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 3 \end{array}

Vous déduisez de ces calculs que $S(X) = 2 + 7(X-1)-6(X-1)^2.$

De l’expression de $P$ suivante :

P(X)=\frac{R(X)(X-2)-S(X)(X-1)}{1-2}.

Vous déduisez que le coefficient dominant de $P$ n’est autre que :

\frac{P[1,1,1] – S[1,1,2]}{1-2}

Le tableau des différences divisées de $P$ fournit :

\begin{array}{c|ccc} 1 & 2 & 7 & 1/2 & P[1,1,1,2]\\ 1 & 2 & 7 & -6 & \\ 1 & 2 & 1 & \\ 2 & 3 \end{array}

Il s’agit du tableau des différences divisées de $S$ avec une ligne en plus, si bien que :

\begin{align*} \frac{P[1,1,1] – S[1,1,2]}{1-2} &= \frac{ S[1,1,2] – P[1,1,1]}{2-1}\\ &= \frac{-6-1/2}{2-1}\\ &=\frac{-13}{2}\\ &=P[1,1,1,2]. \end{align*}

Maintenant que vous savez que le coefficient dominant de $P$ est $P[1,1,1,2] = \frac{-13}{2}\comma$ il reste à trouver une expression plus agréable pour $P$ que celle donnée avec $R$ et $S.$ Les polynômes $P$ et $R$ sont égaux en $1\comma$ ainsi que leurs dérivées première et seconde.

Posez alors :

\begin{align*} Q(X) &= P(X)- P[1]- P[1,1](X-1)- P[1,1,1](X-1)^2\\ &= P(X)-R(X). \end{align*}

Comme $Q(1) = Q'(1) = Q »(1) = 0$ le nombre $1$ est racine triple de $Q$ donc $Q$ est factorisable par $(X-1)^3.$

Comme $R\in\R_2[X]\comma$ l’expression $P(X)=\frac{R(X)(X-2)-S(X)(X-1)}{1-2}$ montre que $P\in\R_3[X].$ Pour des raisons de degré, $Q$ est donc égal à une constante $C$ multipliée par $(X-1)^3.$ Comme $R\in\R_2[X]\comma$ le coefficient de $X^3$ est le même dans $Q$ et dans $P.$ Donc la constante $C$ est nécessairement le coefficient dominant de $P.$

De cette analyse, vous déduisez :

P(X)=P[1]+P[1,1](X-1)+P[1,1,1](X-1)^2+P[1,1,1,2](X-1)^3.

Concrètement, le polynôme $P$ cherché est :

P(X)=2+7(X-1)+\frac{1}{2}(X-1)^2-\frac{13}{2}(X-1)^3.

En développant, il est égal à :

\boxed{P(X) = -\frac{13 X^3}{2}+20 X^2-\frac{27 X}{2}+2.}

La représentation graphique de ce polynôme est présentée ci-dessous.

Prolongement

À vous de trouver l’expression développée d’un polynôme de Hermite $H$ tel que :

\left\{\begin{align*} H(1) &= 1\\ H'(1) &= 0\\ H(2) &= 3\\ H'(2) &= 0\\ H(3) &=2\\ H'(3)&=0. \end{align*}\right.

Ci-dessous, vous trouverez la représentation graphique d’un tel polynôme.