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235. Théorème de Weierstrass par les polynômes de Hermite

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Soit $f : [-1,1]\to \R$ une fonction continue. Considérez un réel strictement positif $\varepsilon$ fixé.

Vous allez démontrer qu’il existe un polynôme $P\in\R[X]$ tel que :

\forall x\in[-1,1], \vert f(x)-P(x)\vert \leq \varepsilon.

Utilisez la continuité uniforme de la fonction $f$

Via le théorème de Heine qui a été démontré dans un autre article, la fonction $f$ est uniformément continue sur l’intervalle $[-1,1].$ Ainsi, il existe un réel $\delta$ strictement positif tel que :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 192.

\forall (x,y)\in[-1,1]^2, \vert x-y \vert \leq \delta \implies\vert f(x)-f(y)\vert \leq \frac{\varepsilon}{2}.

La continuité de $f$ implique aussi le caractère majoré de la fonction $\vert f\vert\comma$ ce qui s’écrit :

\exists M\gt0, \forall x\in[-1,1], \vert f(x) \vert \leq M.

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \gt2+\frac{8M}{\varepsilon \delta^2}$, afin d’obtenir $\frac{4M}{n\delta^2} \lt \frac{\varepsilon}{2}$ et pour avoir au moins deux points d’interpolation.

Réalisez une interpolation de la fonction $f$ aux points de Tchebychev

Pour tout $k\in\llbracket 1, n\rrbracket$ vous posez :

x_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}.

Vous réalisez une interpolation de la fonction $f$ aux points de Tchebychev par le polynôme de Hermite qui y possède des dérivées toutes nulles en ces points.

Pour tout $k\in\llbracket 1,n \rrbracket$ vous définissez le polynôme de Hermite $H_k$ qui vaut $1$ en $x_k$ et qui possède les propriétés décrites et démontrées dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 232.

Pour rappel, le polynôme $H_k$ est défini par l’expression suivante, à l’aide d’un polynôme $Q_k\comma$ comme suit :

\begin{align*} Q_k(X)&=\prod_{\substack{1\leq i \leq n \\i\neq k}} (X-x_i)^2\\ H_k(X) &= \frac{(Q_k(x_k) – Q_k'(x_k)(X-x_k))Q_k(X)}{Q_k(x_k)^2}. \end{align*}

Le polynôme $P$ suivant est un polynôme interpolateur de la fonction $f$ aux points $x_1,\dots,x_n$ :

P(X) = \sum_{k=1}^n f(x_k)H_k(X).

Majorez l’écart obtenu

Soit $x$ un nombre réel appartenant à l’intervalle $[-1,1].$ Utilisez d’abord la définition du polynôme $P\comma$ ce qui donne :

\lvert f(x)-P(x)\vert \leq \left\vert f(x) – \sum_{k=1}^n f(x_k)H_k(x) \right\vert.

Ensuite, vous utilisez le fait que la somme des $H_k$ est égale à $1\comma$ $\sum_{k=1}^n H_k(X) = 1\comma$ comme cela a été vu dans un autre article. Vous obtenez alors en combinaison avec l’inégalité triangulaire :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 230.

\begin{align*} \lvert f(x)-P(x)\vert &\leq \left\vert f(x) \sum_{k=1}^n H_k(x) – \sum_{k=1}^n f(x_k)H_k(x) \right\vert\\ &\leq \left\vert \sum_{k=1}^n (f(x)-f(x_k))H_k(x)\right\vert\\ &\leq \sum_{k=1}^n \left\vert (f(x)-f(x_k))H_k(x)\right\vert. \end{align*}

Dans le cas d’interpolation avec les points de Tchebychev, il a été établi dans un autre article que $\forall k\in\llbracket 1, n\rrbracket, H_k(x)\in[0,1]\comma$ d’où :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 232.

\begin{align*} \lvert f(x)-P(x)\vert &\leq \sum_{k=1}^n \left\vert f(x)-f(x_k)\right\vert H_k(x)\\ &\leq \sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\vert x-x_k\vert \leq \delta}} \left\vert f(x)-f(x_k)\right\vert H_k(x)+\sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\vert x-x_k\vert \gt\delta}} \left\vert f(x)-f(x_k)\right\vert H_k(x)\\ &\leq \sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\vert x-x_k\vert \leq \delta}} \frac{\varepsilon}{2} H_k(x)+\sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\vert x-x_k\vert \gt\delta}} (\vert f(x)\vert+\vert f(x_k)\vert) H_k(x)\\ &\leq \frac{\varepsilon}{2}\sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\vert x-x_k\vert \leq \delta}} H_k(x)+\sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\vert x-x_k\vert \gt\delta}} 2M H_k(x)\\ &\leq \frac{\varepsilon}{2}\sum_{k=1}^n H_k(x)+\sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\vert x-x_k\vert \gt\delta}} 2M H_k(x)\\ &\leq \frac{\varepsilon}{2}\sum_{k=1}^n H_k(x)+2M \sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\vert x-x_k\vert \gt\delta}} H_k(x)\\ &\leq \frac{\varepsilon}{2}+2M \sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\vert x-x_k\vert \gt\delta}} H_k(x). \end{align*}

Or, dans un autre article il a été vu que :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 232.

\forall k\in\llbracket 1,n\rrbracket, x_k\neq x\implies\lvert H_k(x)\vert \leq \frac{2}{n^2(x-x_k)^2}.

Vous déduisez finalement :

\begin{align*} \lvert f(x)-P(x)\vert &\leq \frac{\varepsilon}{2}+2M \sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\vert x-x_k\vert \gt\delta}} \frac{2}{n^2(x-x_k)^2}\\ &\leq \frac{\varepsilon}{2}+2M \sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\vert x-x_k\vert \gt\delta}} \frac{2}{n^2\delta^2}\\ &\leq \frac{\varepsilon}{2}+2M \sum_{k=1}^n \frac{2}{n^2\delta^2}\\ &\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{4M}{n\delta^2}\\ &\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &\leq \varepsilon. \end{align*}

Concluez

Il a été démontré dans ce contenu que toute fonction continue sur l’intervalle $[-1,1]$ est limite uniforme de polynômes.

Plus précisément, pour toute fonction continue $f$ sur l’intervalle $[-1,1]\comma$ vous avez :

\boxed{ \forall \varepsilon\gt0, \exists P\in\R[X], \forall x\in[-1,1], \vert f(x)-P(x)\vert \leq \varepsilon.}

Visualisations graphiques

La fonction $x\mapsto \frac{1}{1+25x^2}$ est représentée ci-dessous avec plusieurs approximations uniformes basées sur les polynômes de Hermite calculés précédemment.