Considérez l’équation suivante :
x^2+\sqrt{3}xy+x-2=0.
En effectuant une rotation du repère, vous allez supprimer le terme en $xy$ où les variables sont croisées.
Construisez la formule de changement de repère
Partant d’une base $(\vv{i}, \vv{j})$ orthonormée directe, que vous faites tourner d’un angle $\theta$ dans le sens direct, vous obtenez une nouvelle base orthonormée $(\vv{u}, \vv{v}).$
D’après les coordonnées indiquées ci-dessus, vous obtenez :
\left\{
\begin{align*}
\vv{u} &= \cos \theta \vv{i} + \sin \theta \vv{j}\\
\vv{v} &= -\sin \theta \vv{i} + \cos \theta \vv{j}.
\end{align*}\right.
Soit maintenant $M$ un point du plan. Notez $(x,y)$ les coordonnées de $M$ dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$ et $(X,Y)$ celles de $M$ dans le repère $(O,\vv{u},\vv{v}).$
Les calculs fournissent successivement :
\begin{align*}
\vv{OM} &= X \vv{u} + Y \vv{v}\\
&=X( \cos \theta \vv{i} + \sin \theta \vv{j})+Y(-\sin \theta \vv{i} + \cos \theta \vv{j})\\
&=(X\cos \theta – Y\sin \theta)\vv{i}+(X\sin \theta+Y\cos \theta)\vv{j}.
\end{align*}
Le point $M$ a donc pour coordonnées $(X\cos \theta – Y\sin \theta,X\sin \theta+Y\cos \theta)$ dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j}).$
L’unicité des coordonnées dans un repère fournit le changement suivant :
\boxed{\begin{align*}
x&=X\cos \theta – Y\sin \theta \\
y&=X\sin \theta+Y\cos \theta.
\end{align*}}
Note . Si vous faites tourner la base $(\vv{u},\vv{v})$ d’un angle de rotation égal à $-\theta$ vous vous attendez à retomber sur la base de départ $(\vv{i},\vv{j}).$ Compte tenu des relations $\cos(-\theta) = \cos (\theta)$ et $\sin(-\theta) = -\sin (\theta)$ vous vous attendez à trouver :
\begin{align*}
X&=x\cos \theta + y\sin \theta \\
Y&=-x\sin \theta+y\cos \theta.
\end{align*}
Ce résultat peut être trouvé directement grâce à l’identité fondamentale $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.$
En effet :
\begin{align*}
x\cos \theta + y\sin\theta &= (X\cos \theta- Y\sin\theta)\cos \theta + (X\sin\theta+Y\cos\theta)\sin\theta\\
&= X\cos^2 \theta+ X\sin^2\theta\\
&=X(\cos^2 \theta+ \sin^2\theta)\\
&=X.
\end{align*}
De même :
\begin{align*}
-x\sin \theta + y\cos\theta &= (-X\cos\theta +Y\sin\theta)\sin\theta + (X\sin \theta+Y\cos \theta)\cos\theta\\
&= Y\sin^2\theta + Y\cos^2\theta\\
&=Y(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\\
&=Y.
\end{align*}
Construisez une équation équivalente à celle de départ
Soit $\theta$ un réel tel que $\forall k\in\Z, \theta \neq \frac{\pi}{2}+k\pi.$
Pour tout point $M$ de coordonnées $(x,y)\comma$ vous avez :
\begin{align*}
x^2+\sqrt{3}xy+x-2=0 &\Longleftrightarrow (X\cos \theta – Y\sin \theta)^2+ \sqrt{3}(X\cos \theta – Y\sin \theta)(X\sin \theta+Y\cos \theta)+X\cos \theta – Y\sin \theta – 2 = 0\\
&\Longleftrightarrow X^2\cos^2\theta+Y^2\sin^2\theta-2XY\sin\theta \cos\theta+ \sqrt{3}\bigl(X^2\sin\theta \cos\theta-Y^2\sin\theta\cos\theta + XY(\cos^2\theta – \sin^2\theta)\bigr)+X\cos \theta – Y\sin \theta – 2 = 0\\
&\Longleftrightarrow (\cos^2\theta+\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta)X^2+(\sin^2\theta-\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta)Y^2+\bigl(\sqrt{3}(\cos^2\theta – \sin^2\theta)-2\sin\theta\cos\theta\bigr)XY+X\cos \theta – Y\sin \theta – 2 = 0.
\end{align*}
Vous allez maintenant poser $u = \tan\theta$ qui est bien défini compte tenu de la définition de $\theta.$
Les identités trigonométriques vont permettre de simplifier les calculs. Dans un souci de complétude, elles sont détaillées ici. Tout d’abord :
\begin{align*}
\cos^2\theta &=\frac{\cos^2\theta}{1}\\
&=\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta + \cos^2\theta}\\
&=\frac{1}{u^2 + 1}
\end{align*}
\begin{align*}
\sin^2\theta &=1 – \cos^2\theta\\
&=1-\frac{1}{1+u^2}\\
&=\frac{u^2}{1+u^2}.
\end{align*}
Vous déduisez :
\begin{align*}
\cos^2\theta – \sin^2\theta &=\frac{1-u^2}{1+u^2}.
\end{align*}
D’autre part :
\begin{align*}
\sin\theta\cos\theta&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cos^2\theta\\
&= u\cos^2\theta\\
&=\frac{u}{1+u^2}.
\end{align*}
Vous déduisez que :
\begin{align*}
x^2+\sqrt{3}xy+x-2=0 &\Longleftrightarrow \left(\frac{1}{1+u^2}+\frac{\sqrt{3}u}{1+u^2}\right)X^2+\left(\frac{u^2}{1+u^2}-\frac{\sqrt{3}u}{1+u^2}\right)Y^2+\left(\sqrt{3}\,\frac{1-u^2}{1+u^2}-2\,\frac{u}{1+u^2}\right)XY+X\cos \theta – Y\sin \theta – 2 = 0\\
&\Longleftrightarrow (1+\sqrt{3}u)X^2+(u^2-\sqrt{3}u)Y^2+\bigl(\sqrt{3}(1-u^2)-2u\bigr)XY+X\cos \theta\,(1+u^2)- Y\sin \theta\,(1+u^2)- 2(1+u^2) = 0.
\end{align*}
Pour éliminer le terme croisé $XY$ vous allez chercher un réel $u$ tel que :
\begin{align*}
\sqrt{3}(1-u^2)-2u &=0\\
3(1-u^2)-2\sqrt{3}u &=0\\
3-3u^2-2\sqrt{3}u &=0\\
3u^2+2\sqrt{3}u -3&=0\\
(\sqrt{3}u+1)^2-4&=0\\
(\sqrt{3}u+1)^2-2^2&=0\\
(\sqrt{3}u-1)(\sqrt{3}u+3)&=0\\
(3u-\sqrt{3})(3u+3\sqrt{3})&=0\\
(3u-\sqrt{3})(u+\sqrt{3})&=0
\end{align*}
Ainsi vous choisissez $\theta = \arctan \frac{\sqrt{3}}{3}.$ Vous obtenez immédiatement $u = \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}.$
Ainsi vous avez bien $\sqrt{3}(1-u^2)-2u =0$ et le terme en $XY$ a disparu.
Note. Vous aurez remarqué que dans ce cas précis, $\theta = \frac{\pi}{6}.$ Notez qu’il est possible de poursuivre sans calculer $\theta$ explicitement, c’est ce qui va être effectué.
Éliminez le terme croisé
Vu la positivité du nombre $\frac{\sqrt{3}}{3}\comma$ vous déduisez que $\theta$ appartient à $]0,\pi/2[$ et par conséquent $\sin\theta$ et $\cos\theta$ sont positifs.
Ainsi :
\begin{align*}
\cos\theta &= \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\\
&= \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}\\
&= \frac{1}{\sqrt{\frac{4}{3}}}\\
&= \frac{\sqrt{3}}{2}.
\end{align*}
Du coup :
\begin{align*}
\sin\theta &=u\cos\theta\\
&=\frac{\sqrt{3}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\\
&= \frac{1}{2}.
\end{align*}
Vous calculez les coefficients respectifs :
\begin{align*}
1+\sqrt{3}u &=1+\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3}\\
&=2.
\end{align*}
\begin{align*}
u^2-\sqrt{3}u &= \frac{1}{3}- 1\\
&=\frac{-2}{3}.
\end{align*}
\begin{align*}
1+u^2 &= 1+\frac{1}{3}\\
&=\frac{4}{3}.
\end{align*}
\begin{align*}
x^2+\sqrt{3}xy+x-2=0
&\Longleftrightarrow 2X^2-\frac{2}{3}Y^2+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{4}{3}X- \frac{1}{2}\times \frac{4}{3}Y-\frac{8}{3} = 0\\
&\Longleftrightarrow 2X^2-\frac{2}{3}Y^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}X- \frac{2}{3}Y-\frac{8}{3} = 0\\
&\Longleftrightarrow 6X^2-2Y^2+2\sqrt{3}X- 2Y-8 = 0\\
&\Longleftrightarrow 3X^2-Y^2+\sqrt{3}X- Y-4 = 0.
\end{align*}
Concluez
Via une rotation du repère vous avez obtenu :
\boxed{x^2+\sqrt{3}xy+x-2=0 \Longleftrightarrow 3X^2-Y^2+\sqrt{3}X- Y-4 = 0.}
Notez l’apparition du terme $Y^2.$
Prolongement
Malgré la disparition du terme $xy$ il vous faut encore effectuer une autre opération afin d’éliminer les termes en $X$ et en $Y.$ Cela va vous permettre de déduire les éléments de la conique étudiée.
Pour en savoir davantage, reportez-vous à un autre article.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 237 .
