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237. Etudiez la nature d’une conique (2/2)

Yannis TRIANTAPHYLIDES

,

Dans le prolongement d’un autre article, vous étudiez la conique dont une équation est $3x^2-y^2+\sqrt{3}x- y-4 = 0.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 236.

Vous allez utiliser un changement d’origine du repère afin d’éliminer de l’équation les termes de degré $1\comma$ à savoir $\sqrt{3}x- y.$

Effectuez un changement de variable

Soit $(h,k)\in\R^2$ un couple de deux réels qui sera choisi plus tard.

Considérez le changement de variable :

\left\{\begin{align*} X&=x+h\\ Y&=y+k. \end{align*}\right.

Vous déduisez la série d’équivalences suivante :

\left\{\begin{align*} 3x^2-y^2+\sqrt{3}x- y-4 = 0 &\Longleftrightarrow 3(X-h)^2-(Y-k)^2+\sqrt{3}(X-h)-(Y-k)-4=0 \\ &\Longleftrightarrow 3(X^2-2hX+h^2)-(Y^2-2kY+k^2)+\sqrt{3}X-Y-4-\sqrt{3}h+k=0\\ &\Longleftrightarrow 3X^2-Y^2+(-6h+\sqrt{3})X+(2k-1)Y+3h^2-k^2-4-\sqrt{3}h+k=0. \end{align*}\right.

Vous choisissez $h$ et $k$ pour obtenir :

\left\{\begin{align*} -6h+\sqrt{3}&=0\\ 2k-1&=0. \end{align*}\right.

Ainsi vous posez $h = \frac{\sqrt{3}}{6}$ et $k=\frac{1}{2}.$

Vous calculez alors le terme constant :

\begin{align*} 3h^2-k^2-4-\sqrt{3}h+k &= 3\times \frac{3}{36} – \frac{1}{4}-4-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ &=-4. \end{align*}

Vous avez obtenu l’équivalence suivante :

\boxed{3x^2-y^2+\sqrt{3}x- y-4 = 0 \Longleftrightarrow 3X^2-Y^2-4=0.}

Construisez la forme réduite et déterminez les éléments caractéristiques

Vous allez écrire l’équation obtenue sous la forme $\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2} = 1.$

\begin{align*} 3X^2-Y^2-4=0 &\Longleftrightarrow \frac{3}{4}X^2-\frac{1}{4}Y^2 = 1\\ &\Longleftrightarrow \frac{X^2}{4/3}-\frac{Y^2}{4} = 1\\ &\Longleftrightarrow \frac{X^2}{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2}-\frac{Y^2}{2^2} = 1. \end{align*}

Il s’agit donc d’une hyperbole $\mathscr{H}$ avec $a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ et $b = 2.$

Dans ce cas vous calculez le nombre $c$ en calculant d’abord $c^2$ comme suit :

\begin{align*} c^2 &= a^2+b^2 \\ &= \frac{4}{3}+4\\ &=\frac{16}{3}. \end{align*}

Ainsi, $c = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$ Ce nombre servira à placer les deux foyers de l’hyperbole $\mathscr{H}.$

Tracez l’hyperbole $\mathscr{H}$ d’équation $3X^2-Y^2-4 = 0$

Les asymptotes s’obtiennent en remplaçant $4$ par $0$ dans l’équation ci-dessus, ce qui fournit :

3X^2-Y^2 = 0\comma

puis :

(\sqrt{3}X+Y)(\sqrt{3}X-Y)=0.

Les deux asymptotes de l’hyperbole $\mathscr{H}$ ont pour équations respectives :

\left\{\begin{align*} Y &= \sqrt{3}X\\ Y &= -\sqrt{3}X. \end{align*}\right.

Reprenez l’équation $3X^2-Y^2-4 = 0.$

Si vous imposez $X=0$ il n’y a pas de solution puisqu’alors $Y^2$ serait strictement négatif. Donc l’hyperbole $\mathscr{H}$ n’a pas de point d’intersection avec l’axe des ordonnées.

Si vous imposez $Y=0$ vous trouvez $X = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$ L’hyperbole $\mathscr{H}$ possède deux points d’intersection avec l’axe des abscisses : $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}, 0\right)$ et $\left(\frac{-2\sqrt{3}}{3}, 0\right).$

Les deux foyers de l’hyperbole $\mathscr{H}$ ont pour coordonnées respectives $F_1(c,0)$ et $F_2(-c,0)$ où $c=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ a déjà été déterminé.

Note. Vous pourrez démontrer que l’hyperbole $\mathscr{H}$ est l’ensemble des points $M$ du plan tels que $\vert MF_1 – MF_2 \vert = 2a = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$

Tracez l’hyperbole $\mathscr{H}’$ admettant pour équation $3x^2-y^2+\sqrt{3}x- y-4 = 0$

Elle se déduit de l’hyperbole précédente en changeant l’origine du repère.

Quand $X=0$ et $Y=0\comma$ vous avez $x = X-h = -\frac{\sqrt{3}}{6}$ et $y = Y-k = -\frac{1}{2}.$

L’hyperbole d’équation $3x^2-y^2+\sqrt{3}x- y-4 = 0$ admet donc pour centre le point $C$ de coordonnées $\left( \frac{-\sqrt{3}}{6}, -\frac{1}{2}\right).$

Par translation de l’hyperbole $\mathscr{H}$ vous déduisez que ses foyers ont pour coordonnées :

$G_1 \left( \frac{7\sqrt{3}}{6}, -\frac{1}{2}\right)$ et $G_2\left( – \frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right).$

Tracez la conique $\mathscr{C}$ d’équation $x^2+\sqrt{3}xy+x-2=0$

D’après un autre article, vous cherchez à tracer la conique $\mathscr{C}$ d’équation $x^2+\sqrt{3}xy+x-2=0$ dans un repère orthonormé $(O,\vv{i}, \vv{j}).$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 236.

Le repère $(O,\vv{i}, \vv{j})$ subit une rotation de centre $O$ et d’angle $\pi/6$ ce qui produit le nouveau repère $(O,\vv{u}, \vv{v}).$ Pour tout point $M$ du plan, vous noterez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i}, \vv{j})$ et $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{u}, \vv{v}).$

Vous tracez donc l’hyperbole $\mathscr{H}’$ dans le repère $(O,\vv{u}, \vv{v})$ qui se confond avec la conique $\mathscr{C}$ dans le repère $(O,\vv{i}, \vv{j}).$