Dans le prolongement du contenu qui a été écrit dans l'article 236, vous étudiez la conique dont une équation est $3x^2-y^2+\sqrt{3}x- y-4 = 0.$
Vous allez utiliser un changement d’origine du repère afin d’éliminer de l’équation les termes de degré $1$, à savoir $\sqrt{3}x- y.$
Effectuez un changement de variable
Soit $(h,k)\in\R^2$ un couple de deux réels qui sera choisi plus tard.
Considérez le changement de variable :
\left\{\begin{align*}
X&=x+h\\
Y&=y+k.
\end{align*}\right.Vous déduisez la série d’équivalence suivante :
\left\{\begin{align*}
3x^2-y^2+\sqrt{3}x- y-4 = 0 &\Longleftrightarrow 3(X-h)^2-(Y-k)^2+\sqrt{3}(X-h)-(Y-k)-4=0 \\
&\Longleftrightarrow 3(X^2-2hX+h^2)-(Y^2-2kY+k^2)+\sqrt{3}X-Y-4-\sqrt{3}h+k=0\\
&\Longleftrightarrow 3X^2-Y^2+(-6h+\sqrt{3})X+(2k-1)Y+3h^2-k^2-4-\sqrt{3}h+k=0.
\end{align*}\right.Vous choisissez $h$ et $k$ pour obtenir :
\left\{\begin{align*}
-6h+\sqrt{3}&=0\\
2k-1&=0.
\end{align*}\right.Ainsi vous posez $h = \frac{\sqrt{3}}{6}$ et $k=\frac{1}{2}.$
Vous calculez alors le terme constant :
\begin{align*}
3h^2-k^2-4-\sqrt{3}h+k &= 3\times \frac{3}{36} - \frac{1}{4}-4-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\
&=-4.
\end{align*}
Vous avez obtenu l’équivalence suivante :
\boxed{3x^2-y^2+\sqrt{3}x- y-4 = 0 \Longleftrightarrow 3X^2-Y^2-4=0.}Construisez la forme réduite et déterminez les éléments caractéristiques
Vous allez écrire l’équation obtenue sous la forme $\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2} = 1.$
\begin{align*}
3X^2-Y^2-4=0 &\Longleftrightarrow \frac{3}{4}X^2-\frac{1}{4}Y^2 = 1\\
&\Longleftrightarrow \frac{X^2}{4/3}-\frac{Y^2}{4} = 1\\
&\Longleftrightarrow \frac{X^2}{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2}-\frac{Y^2}{2^2} = 1.
\end{align*}Il s’agit donc d’une hyperbole $\mathscr{H}$ avec $a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ et $b = 2.$
Dans ce cas vous calculez le nombre $c$ en calculant d’abord $c^2$ comme suit :
\begin{align*}
c^2 &= a^2+b^2 \\
&= \frac{4}{3}+4\\
&=\frac{16}{3}.
\end{align*}Ainsi, $c = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$ Ce nombre servira à placer les deux foyers de l’hyperbole $\mathscr{H}.$
Tracez l’hyperbole $\mathscr{H}$ d’équation $3X^2-Y^2-4 = 0$
Les asymptotes s’obtiennent en remplacant $4$ par $0$ dans l’équation ci-dessus, ce qui fournit :
3X^2-Y^2 = 0
puis :
(\sqrt{3}X+Y)(\sqrt{3}X-Y)=0.Les deux asymptotes de l’hyperbole $\mathscr{H}$ ont pour équations respectives :
\left\{\begin{align*}
Y &= \sqrt{3}X\\
Y &= -\sqrt{3}X.
\end{align*}\right.Reprenez l’équation $3X^2-Y^2-4 = 0.$
Si vous imposez $X=0$ il n’y a pas de solution puisqu’alors $Y^2$ serait strictement négatif. Donc l’hyperbole $\mathscr{H}$ n’a pas de point d’intersection avec l’axe des ordonnées.
Si vous imposez $Y=0$ vous trouvez $X = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$ L’hyperbole $\mathscr{H}$ possède deux points d’intersection avec l’axe des abscisses : $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}, 0\right)$ et $\left(\frac{-2\sqrt{3}}{3}, 0\right).$
Les deux foyers de l’hyperbole $\mathscr{H}$ ont pour coordonnées respectives $F_1(c,0)$ et $F_2(-c,0)$ où $c=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ a déjà été déterminé.
Note. Le lecteur pourra démontrer que l’hyperbole $\mathscr{H}$ est l’ensemble des points $M$ du plan tels que $\vert MF_1 – MF_2 \vert = 2a = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$
Tracez l’hyperbole $\mathscr{H}’$ admettant pour équation $3x^2-y^2+\sqrt{3}x- y-4 = 0$
Elle se déduit de l’hyperbole précédente en changeant l’origine du repère.
Quand $X=0$ et $Y=0$, vous avez $x = X-h = -\sqrt{3}}{6}$ et $y = Y-k = -\frac{1}{2}.$
L’hyperbole d’équation $3x^2-y^2+\sqrt{3}x- y-4 = 0$ admet donc pour centre le point $C$ de coordonnées $\left( -\sqrt{3}}{6}, -\frac{1}{2}\right).$
Par translation de l’hyperbole $\mathscr{H}$ vous déduisez que ses foyers ont pour coordonnées :
$G_1 \left( \frac{7\sqrt{3}}{6}, -\frac{1}{2}\right)$ et $G_2\left( – \frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right).$
Tracez la conique $\mathscr{C}$ d’équation $x^2+\sqrt{3}xy+x-2=0$
D’après le contenu qui a été écrit dans l'article 236, vous cherchez à tracer la conique $\mathscr{C}$ d’équation $x^2+\sqrt{3}xy+x-2=0$ dans un repère orthonormé $(O,\vv{i}, \vv{j}).$
Le repère $(O,\vv{i}, \vv{j})$ subit une rotation de centre $O$ et d’angle $\pi/6$ ce qui produit le nouveau repère $(O,\vv{u}, \vv{v}).$ Pour tout point $M$ du plan, vous noterez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i}, \vv{j})$ et $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{u}, \vv{v}).$
Vous tracez donc l’hyperbole $\mathscr{H}’$ dans le repère $(O,\vv{u}, \vv{v})$ qui se confond avec la conique $\mathscr{C}$ dans le repère $(O,\vv{i}, \vv{j}).$
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