238. Caractérisez une conique dégénérée dans le cas où elle est l’union de deux droites sécantes (1/2)

Étant donnés six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ et un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})\comma$ vous étudiez l’ensemble $\mathscr{C}$ des points $M$ ayant pour coordonnées $(x,y)$ qui vérifient l’équation suivante :

ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.

Dans ce contenu, vous supposez que $\mathscr{C}$ est la réunion de deux droites sécantes, ce qui pourrait se produire en développant le produit de deux équations cartésiennes de droites.

Il existe deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sécantes en un point noté $\Omega$ telles que $\mathscr{C} = \mathscr{D}_1 \cup \mathscr{D}_2.$

Vous allez effectuer un changement d’origine du repère et constater une énorme simplification de l’équation obtenue.

Prenez comme nouvelle origine le point $\Omega \in \mathscr{D}_1 \cap \mathscr{D}_2.$

Notez $(u,v)$ les coordonnées du point $\Omega$ dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j}).$

Pour tout point $M$ du plan, notez $(x_M,y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$ et $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$

Alors vous avez :

\begin{align*} X_M = x_M – u\\ Y_M = y_M – v. \end{align*}

Vous obtenez la série d’équivalences suivante :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow ax_M^2+2hx_My_M+by_M^2+2gx_M+2fy_M+c=0\\ &\Longleftrightarrow a(X_M+u)^2+2h(X_M+u)(Y_M+v)+b(Y_M+v)^2+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\ &\Longleftrightarrow a(X_M^2+u^2+2uX_M)+2h(X_MY_M+vX_M+uY_M+uv)+b(Y_M^2+v^2+2vY_M)\\&\qquad+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\ &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2\\&\qquad+(2au+2hv+2g)X_M+(2hu+2bv+2f)Y_M\\&\qquad+(au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c)=0. \end{align*}

Comme $\Omega\in \mathscr{C}\comma$ vous avez :

au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c=0.

Ainsi :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2\\&\qquad+(2au+2hv+2g)X_M+(2hu+2bv+2f)Y_M = 0. \end{align*}

Soit maintenant un point $A$ de coordonnées $(\alpha,\beta)$ dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$ appartenant à la droite $\mathscr{D}_1$ privée du point $\Omega.$ Vous avez $(\alpha,\beta) \neq (0,0).$

Comme $A\in\mathscr{C}\comma$ vous déduisez :

a\alpha^2+2h\alpha\beta+b\beta^2+(2au+2hv+2g)\alpha+(2hu+2bv+2f)\beta = 0.

Soit $B$ le point de coordonnées $(-\alpha,-\beta)$ dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$ Le point $\Omega$ est le milieu du segment $[AB]$ donc $B$ appartient à la droite $(\Omega A)$ donc $B$ appartient à $\mathscr{C}.$ Vous déduisez :

\begin{align*} a(-\alpha)^2+2h(-\alpha)(-\beta)+b(-\beta)^2+(2au+2hv+2g)(-\alpha)+(2hu+2bv+2f)(-\beta) &= 0\\ a\alpha^2+2h\alpha\beta+b\beta^2+(2au+2hv+2g)(-\alpha)+(2hu+2bv+2f)(-\beta) &= 0. \end{align*}

Par soustraction, vous déduisez que :

\begin{align*} (4au+4hv+4g)\alpha+(4hu+4bv+4f)\beta &= 0\\ (au+hv+g)\alpha+(hu+bv+f)\beta &= 0. \end{align*}

Vous choisissez un point $C$ différent de $\Omega$ sur la droite $\mathscr{D}_2.$ Notez $(\alpha’,\beta’)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$

En reprenant le même raisonnement que celui effectué précédemment, vous déduisez que :

\begin{align*} (au+hv+g)\alpha'+(hu+bv+f)\beta' &= 0. \end{align*}

Comme les droites $(\Omega C)$ et $(\Omega A)$ sont sécantes, les vecteurs $\vv{\Omega C}$ et $\vv{\Omega A}$ ne sont pas colinéaires. Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles donc $\alpha\beta’ \neq \alpha’\beta.$

Pour plus de lisibilité, notez $r = au+hv+g$ et $s = hu+bv+f.$ Les nombres $r$ et $s$ vérifient le système suivant :

\begin{align*} \alpha r + \beta s &= 0\\ \alpha' r + \beta' s &= 0. \end{align*}

Multipliez la première ligne par $\beta’$ et la seconde par $\beta.$ Alors :

\begin{align*} \alpha \beta' r + \beta \beta' s &= 0\\ \alpha' \beta r + \beta' \beta s &= 0. \end{align*}

Par soustraction, il vient :

(\alpha\beta' – \alpha'\beta)r =0.

En divisant par $\alpha\beta’ – \alpha’\beta$ qui est non nul, vous déduisez $r = 0.$

Ainsi :

\beta s = \beta' s = 0.

Si $\beta \neq 0$ il vient immédiatement après division par $\beta$ que $s = 0.$

Sinon, $\beta = 0.$ Alors $\alpha\beta’ – \alpha’\beta \neq 0$ s’écrit $\alpha\beta’ \neq 0$ donc $\beta’ \neq 0$ et en divisant par $\beta’$ vous déduisez encore $s = 0.$

Vous avez donc démontré que le point $\Omega$ de coordonnées $(u,v)$ dans le repère d’origine $(O,\vv{i},\vv{j})$ d’intersection des deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2\comma$ vérifie les équations suivantes :

\left\{\begin{array}{lll} au+hv+g = 0 \\ hu+bv+f = 0 \\ au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c=0. \end{array}\right.

Pour tout point $M$ du plan, rappelez-vous que vous notez $(x_M,y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$ et $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$

De ce qui précède, vous avez obtenu le résultat important suivant :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2 = 0. \end{align*}

Écartez la possibilité $ab-h^2 = 0$

Raisonnez par l’absurde et supposez que $ab = h^2.$

Éliminez la possibilité $a = 0$

Si $a$ est nul, alors $h$ l’est aussi. Alors :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow bY_M^2 = 0. \end{align*}

Si $b$ est nul, alors tous les points du plan appartiennent à $\mathscr{C}$ ce qui contredit le fait que $\mathscr{C}$ est la réunion de deux droites sécantes.

Donc $b$ est non nul. Alors :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow Y_M^2 = 0\\ &\Longleftrightarrow Y_M = 0. \end{align*}

De cette équivalence il résulte que $\mathscr{C}$ est une droite et donc $\mathscr{C}$ ne peut être la réunion de deux droites sécantes.

Concluez

De ce qui précède, le réel $a$ est non nul.

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2 = 0\\ &\Longleftrightarrow a^2X_M^2+2ahX_MY_M+abY_M^2 = 0\\ &\Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2+(ab-h^2)Y_M^2=0\\ &\Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2 = 0\\ &\Longleftrightarrow aX_M+hY_M = 0. \end{align*}

Comme $(a,h)\neq (0,0)$ d’après l’équation précédente, $\mathscr{C}$ serait une droite et non la réunion de deux droites sécantes, ce qui est encore absurde.

Écartez la possibilité $ab-h^2 \gt 0$

Supposez un instant que $ab-h^2\gt0\comma$ alors $ab \gt h^2\geq 0$ donc $ab \gt 0.$ Cela oblige à avoir $a$ non nul. Alors :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2 = 0\\ &\Longleftrightarrow a^2X_M^2+2ahX_MY_M+abY_M^2 = 0\\ &\Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2+(ab-h^2)Y_M^2=0. \end{align*}

Comme $ab-h^2$ est positif vous êtes dans le cas où la somme de deux nombres positifs est nulle, si et seulement si, les termes de cette somme sont nuls.

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2 = (ab-h^2)Y_M^2=0 \\ &\Longleftrightarrow aX_M+hY_M = (ab-h^2)Y_M^2=0 \\ &\Longleftrightarrow aX_M+hY_M =Y_M^2=0 \\ &\Longleftrightarrow aX_M+hY_M =Y_M=0 \\ &\Longleftrightarrow aX_M =Y_M=0 \\ &\Longleftrightarrow X_M =Y_M=0 \end{align*}

Ainsi l’ensemble $\mathscr{C}$ serait réduit à un point, ce qui est absurde.

Vous déduisez de cette étude l’important résultat :

\boxed{ab-h^2\lt0.}

Démontrez la nullité d’un déterminant d’ordre $3$

À l’équation de départ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ vous associez le déterminant $\Delta$ défini par :

\Delta = \begin{vmatrix}a & h & g \\ h & b & f \\ g& f & c \end{vmatrix}.

Comme un déterminant ne change pas en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres, vous obtenez :

\Delta = \begin{vmatrix}a & h & au+hv+g \\ h & b & hu+bv+f \\ g& f & gu+fv+c \end{vmatrix}.

Compte tenu des égalités $au+hv+g = 0$ et $hu+bv+f = 0$ vous déduisez :

\Delta = \begin{vmatrix}a & h & 0 \\ h & b & 0 \\ g& f & gu+fv+c \end{vmatrix}.

En multipliant $au+hv+g = 0$ par $u\comma$ puis en multipliant $hu+bv+f = 0$ par $v$ et en ajoutant le tout :

\begin{align*} (au+hv+g)u + (hu+bv+f)v = 0\\ au^2+2huv+bv^2+gu+fv = 0. \end{align*}

Or, $au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c=0.$ Par soustraction, il vient :

gu+fv+c=0.

Il en résulte que :

\Delta = \begin{vmatrix}a & h & 0 \\ h & b & 0 \\ g& f & 0 \end{vmatrix} = 0.

Épilogue

Lorsque l’ensemble des points $M(x,y)$ vérifiant l’équation :

ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0

est la réunion de deux droites sécantes, alors les deux conditions suivantes sont nécessairement vérifiées :

\boxed{\begin{array}{ll} ab-h^2 \lt 0\\ \\ \Delta = \begin{vmatrix}a & h & g \\ h & b & f \\ g& f & c \end{vmatrix} = 0. \end{array}}