Etant donnés six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ et un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, vous étudiez l’ensemble $\mathscr{C}$ des points $M$ ayant pour coordonnées $(x,y)$ qui vérifient l’équation suivante :
ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.
Dans cette chronique, vous supposez que $\mathscr{C}$ est la réunion de deux droites sécantes, ce qui pourrait se produire en développant le produit de deux équations cartésiennes de droites.
Il existe deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sécantes en un point noté $\Omega$ telles que $\mathscr{C} = \mathscr{D}_1 \cup \mathscr{D}_2.$
Vous allez effectuer un changement d’origine du repère et constater une énorme simplification de l’équation obtenue.
Prenez comme nouvelle origine le point $\Omega \in \mathscr{D}_1 \cap \mathscr{D}_2.$
Notez $(u,v)$ les coordonnées du point $\Omega$ dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j}).$
Pour tout point $M$ du plan, notez $(x_M,y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$ et $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$
Alors vous avez :
\begin{align*}
X_M = x_M - u\\
Y_M = y_M - v.
\end{align*}Vous obtenez la série d’équivalence suivante :
\begin{align*}
M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow ax_M^2+2hx_My_M+by_M^2+2gx_M+2fy_M+c=0\\
&\Longleftrightarrow a(X_M+u)^2+2h(X_M+u)(Y_M+v)+b(Y_M+v)^2+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\
&\Longleftrightarrow a(X_M^2+u^2+2uX_M)+2h(X_MY_M+vX_M+uY_M+uv)+b(Y_M^2+v^2+2vY_M)\\&\qquad+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\
&\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2\\&\qquad+(2au+2hv+2g)X_M+(2hu+2bv+2f)Y_M\\&\qquad+(au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c)=0.
\end{align*}Comme $\Omega\in \mathscr{C}$ vous avez :
au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c=0.
Ainsi :
\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2\\&\qquad+(2au+2hv+2g)X_M+(2hu+2bv+2f)Y_M = 0.
\end{align*}Soit maintenant un point $A$ de coordonnées $(\alpha,\beta)$ dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$ appartenant à la droite $\mathscr{D}_1$ privée du point $\Omega.$ Vous avez $(\alpha,\beta) \neq (0,0).$
Comme $A\in\mathscr{C}$ vous déduisez :
a\alpha^2+2h\alpha\beta+b\beta^2+(2au+2hv+2g)\alpha+(2hu+2bv+2f)\beta = 0.
Soit $B$ le point de coordonnées $(-\alpha,-\beta)$ dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$ Le point $\Omega$ est le milieu du segment $[AB]$ donc $B$ appartient à la droite $(\Omega A)$ donc $B$ appartient à $\mathscr{C}.$ Vous déduisez :
\begin{align*}
a(-\alpha)^2+2h(-\alpha)(-\beta)+b(-\beta)^2+(2au+2hv+2g)(-\alpha)+(2hu+2bv+2f)(-\beta) &= 0\\
a\alpha^2+2h\alpha\beta+b\beta^2+(2au+2hv+2g)(-\alpha)+(2hu+2bv+2f)(-\beta) &= 0.
\end{align*}Par soustraction, vous déduisez que :
\begin{align*}
(4au+4hv+4g)\alpha+(4hu+4bv+4f)\beta &= 0\\
(au+hv+g)\alpha+(hu+bv+f)\beta &= 0.
\end{align*}Vous choisissez un point $C$ différent de $\Omega$ sur la droite $\mathscr{D}_2.$ Notez $(\alpha’,\beta’)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$
En reprenant le même raisonnement que celui effectué précédemment, vous déduisez que :
\begin{align*}
(au+hv+g)\alpha'+(hu+bv+f)\beta' &= 0.
\end{align*}Comme les droites $(\Omega C)$ et $(\Omega A)$ sont sécantes, les vecteurs $\vv{\Omega C}$ et $\vv{\Omega A}$ ne sont pas colinéaires. Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles donc $\alpha\beta’ \neq \alpha’\beta.$
Pour plus de lisibilité, notez $r = au+hv+g$ et $s = hu+bv+f.$ Les nombres $r$ et $s$ vérifient le système suivant :
\begin{align*}
\alpha r + \beta s &= 0\\
\alpha' r + \beta' s &= 0.
\end{align*}Multipliez la première ligne par $\beta’$ et la seconde par $\beta.$ Alors :
\begin{align*}
\alpha \beta' r + \beta \beta' s &= 0\\
\alpha' \beta r + \beta' \beta s &= 0.
\end{align*}Par soustraction, il vient :
(\alpha\beta' - \alpha'\beta)r =0.
En divisant par $\alpha\beta’ – \alpha’\beta$ qui est non nul, vous déduisez $r = 0.$
Ainsi :
\beta s = \beta' s = 0.
Si $\beta \neq 0$ il vient immédiatement après division par $\beta$ que $s = 0.$
Sinon, $\beta = 0.$ Alors $\alpha\beta’ – \alpha’\beta \neq 0$ s’écrit $\alpha\beta’ \neq 0$ donc $\beta’ \neq 0$ et en divisant par $\beta’$ vous déduisez encore $s = 0.$
Vous avez donc démontré que le point $\Omega$ de coordonnées $(u,v)$ dans le repère d’origine $(O,\vv{i},\vv{j})$ d’intersection des deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ et vérifie les équations suivantes :
\left\{\begin{array}{lll}
au+hv+g = 0 \\
hu+bv+f = 0 \\
au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c=0.
\end{array}\right.Pour tout point $M$ du plan, rappelez-vous que vous notez $(x_M,y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$ et $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$
De ce qui précède, vous avez obtenu le résultat important suivant :
\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2 = 0.
\end{align*}Ecartez la possibilité $ab-h^2 = 0$
Raisonnez par l’absurde et supposez que $ab = h^2.$
Eliminez la possibilité $a = 0$
Si $a$ est nul, alors $h$ l’est aussi. Alors :
\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow bY_M^2 = 0.
\end{align*}Si $b$ est nul, alors tous les points du plan appartiennent à $\mathscr{C}$ ce qui contredit le fait que $\mathscr{C}$ est la réunion de deux droites sécantes.
Donc $b$ est non nul. Alors :
\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow Y_M^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow Y_M = 0.
\end{align*}De cette équivalence il résulte que $\mathscr{C}$ est une droite et donc $\mathscr{C}$ ne peut être la réunion de deux droites sécantes.
Concluez
De ce qui précède, le réel $a$ est non nul.
\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow a^2X_M^2+2ahX_MY_M+abY_M^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2+(ab-h^2)Y_M^2=0\\
&\Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow aX_M+hY_M = 0.
\end{align*}Comme $(a,h)\neq (0,0)$ d’après l’équation précédente, $\mathscr{C}$ serait une droite et non la réunion de deux droites sécantes, ce qui est encore absurde.
Ecartez la possibilité $ab-h^2 > 0$
Supposez un instant que $ab-h^2>0$, alors $ab >h^2\geq 0$ donc $ab > 0.$ Cela oblige à avoir $a$ non nul. Alors :
\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow a^2X_M^2+2ahX_MY_M+abY_M^2 = 0\\
&\Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2+(ab-h^2)Y_M^2=0.
\end{align*}Comme $ab-h^2$ est positif vous êtes dans le cas où la somme de deux nombres positifs est nulle, si et seulement si, les termes de cette somme sont nuls.
\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2 = (ab-h^2)Y_M^2=0 \\
&\Longleftrightarrow aX_M+hY_M = (ab-h^2)Y_M^2=0 \\
&\Longleftrightarrow aX_M+hY_M =Y_M^2=0 \\
&\Longleftrightarrow aX_M+hY_M =Y_M=0 \\
&\Longleftrightarrow aX_M =Y_M=0 \\
&\Longleftrightarrow X_M =Y_M=0 \\
\end{align*}Ainsi l’ensemble $\mathscr{C}$ serait réduit à un point, ce qui est absurde.
Vous déduisez de cette étude l’important résultat :
\boxed{ab-h^2<0.}Démontrez la nullité d’un déterminant d’ordre $3$
A l’équation de départ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ vous associez le déterminant $\Delta$ défini par :
\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix}.Comme un déterminant ne change pas en ajoutant à une colonne un combinaison linéaire des autres, vous obtenez :
\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & au+hv+g \\
h & b & hu+bv+f \\
g& f & gu+fv+c
\end{vmatrix}.Compte tenu des égalités $au+hv+g = 0$ et $hu+bv+f = 0$ vous déduisez :
\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & 0 \\
h & b & 0 \\
g& f & gu+fv+c
\end{vmatrix}.En multipliant $au+hv+g = 0$ par $u$, puis en multipliant $hu+bv+f = 0$ par $v$ et en ajoutant le tout :
\begin{align*}
(au+hv+g)u + (hu+bv+f)v = 0\\
au^2+2huv+bv^2+gu+fv = 0.
\end{align*}Or, $au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c=0.$ Par soustraction, il vient :
gu+fv+c=0.
Il en résulte que :
\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & 0 \\
h & b & 0 \\
g& f & 0
\end{vmatrix} = 0.Epilogue
Lorsque l’ensemble des points $M(x,y)$ vérifiant l’équation :
ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0
est la réunion de deux droites sécantes, alors les deux conditions suivantes sont nécessairement vérifiées :
\boxed{\begin{array}{ll}
ab-h^2 < 0\\
\\
\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix} = 0.
\end{array}}