Dans cette chronique vous établissez la réciproque du résultat établi [yanniswp_article_link nb= »238″ desc= »dans l’article 238″].

Etant donnés six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ et un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, vous étudiez l’ensemble $\mathscr{C}$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :

ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.

Vous considérez le discriminant noté $\Delta$ en posant :

\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix}.

Vous supposez de plus :

\boxed{\begin{array}{ll}
ab-h^2 < 0\\
\Delta = 0.
\end{array}}

Vous allez démontrer que la conique $\mathscr{C}$ est l’union de deux droites sécantes. C’est un cas où elle est qualifiée de dégénérée.

Construisez un point appartenant à la conique $\mathscr{C}$

Comme $ab-h^2$ est non nul, le système suivant d’inconnues $(u,v)\in\R^2$ admet une solution :

\left\{\begin{align*}
au+hv+g&=0\\
hu+bv+f&=0.
\end{align*}\right.

Dès lors, la nullité du discriminant fournit :

\begin{align*}
0 &=
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix} \\
0 &=
\begin{vmatrix}a & h & au+hv+g \\
h & b & hu+bv+f \\
g& f & gu+fv+c
\end{vmatrix}\\
0 &=
\begin{vmatrix}a & h & 0 \\
h & b & 0 \\
g& f & gu+fv+c
\end{vmatrix} \\
0 &= \begin{vmatrix}a & h \\
h & b 
\end{vmatrix}  \times (gu+fv+c) \\
0 &= (ab-h^2)(gu+fv+c) \\
0 &= gu+fv+c.
\end{align*}

Vous allez maintenant prouver que le point de coordonnées $\Omega(u,v)$ dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$ appartient à la conique $\mathscr{C}:$

\begin{align*}
au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c &= au^2+2huv+bv^2+gu+fv+(gu+fv+c) \\
 &= au^2+2huv+bv^2+gu+fv \\
&= u(au+hv+g) +huv+bv^2+fv \\
&=huv+bv^2+fv \\
&=v(hu+bv+f) \\
&=0.
\end{align*}

Déterminez les équations des deux droites recherchées

Pour tout point $M$ de coordonnées $(x_M,y_M)$ dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, vous notez $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$ de sorte que :

\begin{align*}
X_M = x_M - u\\
Y_M = y_M - v.
\end{align*}

Alors la série d’équivalences suivantes fournit :

\begin{align*}
M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow ax_M^2+2hx_My_M+by_M^2+2gx_M+2fy_M+c=0\\
&\Longleftrightarrow a(X_M+u)^2+2h(X_M+u)(Y_M+v)+b(Y_M+v)^2+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\
&\Longleftrightarrow a(X_M^2+u^2+2uX_M)+2h(X_MY_M+vX_M+uY_M+uv)+b(Y_M^2+v^2+2vY_M)\\&\qquad+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\
&\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2\\&\qquad+2(au+hv+g)X_M+2(hu+bv+f)Y_M\\&\qquad+(au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c)=0\\
&\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2 = 0.
\end{align*}

Si $a$ est nul

Vous obtenez :

\begin{align*}
M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow 2hX_MY_M+bY_M^2 = 0 \\
 &\Longleftrightarrow Y_M(2hX_M+bY_M) = 0\\
&\Longleftrightarrow (Y_M = 0) \text{ ou } (2hX_M+bY_M = 0).
\end{align*}

Notez que $ab-h^2< 0$ s’écrit $-h^2 < 0$ ce qui force la non nullité de $h.$ Donc le vecteur $\vv{d}_1\begin{pmatrix}-b \\ 2h\end{pmatrix}$ est non nul. Ainsi $2hX_M+bY_M = 0$ est bien l’équation d’une droite $\mathscr{D}_1$ qui admet $\vv{d}_1$ pour vecteur directeur.

La droite $\mathscr{D}_2$ d’équation $Y_M = 0$, qui désigne la droite horizontale passant par $\Omega$ admet pour vecteur directeur $\vv{d}_2 \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}.$

Le déterminant $\mathrm{det}({\vv{d}_1, \vv{d}_2})$ est non nul :

\begin{align*}
\mathrm{det}({\vv{d}_1, \vv{d}_2}) &= \begin{vmatrix} -b & 1\\ 2h  & 0\end{vmatrix}\\
&=-2h.
\end{align*}

Les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont bien deux droites sécantes, le point $\Omega$ est leur point d’intersection et vous avez :

\begin{align*}
M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow M\in\mathscr{D}_1 \cup \mathscr{D}_2.
\end{align*}

Si $a$ est non nul

Comme $ab-h^2<0$ vous pouvez considérer $\delta = \sqrt{h^2-ab}$ qui est bien défini et est non nul. Alors :

\begin{align*}
M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2 = 0\\
& \Longleftrightarrow a^2X_M^2+2ahX_MY_M+abY_M^2 = 0 \\
& \Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2+(ab-h^2)Y_M^2=0 \\
& \Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2-\delta^2Y_M^2=0 \\
& \Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2-(\delta Y_M)^2=0 \\
& \Longleftrightarrow (aX_M+hY_M + \delta Y_M)(aX_M+hY_M - \delta Y_M)=0 \\
& \Longleftrightarrow (aX_M+(h+\delta)Y_M)(aX_M+(h- \delta) Y_M)=0\\
& \Longleftrightarrow (aX_M+(h+\delta)Y_M=0)\text{ ou }(aX_M+(h- \delta) Y_M=0).
\end{align*}

Comme $a$ est non nul, aucun des vecteurs parmi $\vv{d}_1\begin{pmatrix}-h-\delta \\ a\end{pmatrix}$ et $\vv{d}_2\begin{pmatrix}-h+\delta \\ a\end{pmatrix}$ n’est nul.

L’ensemble des points $M$ tels que $aX_M+(h+\delta)Y_M=0$ est donc une droite $\mathscr{D}_1$ qui passe par le point $\Omega$ et qui est dirigée par le vecteur $\vv{d}_1.$

L’ensemble des points $M$ tels que $aX_M+(h-\delta)Y_M=0$ est une droite $\mathscr{D}_2$ qui passe par le point $\Omega$ et qui est dirigée par le vecteur $\vv{d}_2.$

Le déterminant $\mathrm{det}({\vv{d}_1, \vv{d}_2})$ est non nul :

\begin{align*}
\mathrm{det}({\vv{d}_1, \vv{d}_2}) &= \begin{vmatrix} -h-\delta & -h+\delta\\ a  & a\end{vmatrix}\\
&= a \begin{vmatrix} -h-\delta & -h+\delta\\ 1  & 1\end{vmatrix}\\
&= a  \begin{vmatrix} -2\delta & -h+\delta\\ 0  & 1\end{vmatrix}\\
&= -2a \delta.
\end{align*}

Ainsi les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont bien deux droites sécantes, encore au point $\Omega.$

Compte tenu de la série d’équivalences ci-dessus, vous avez encore :

\begin{align*}
M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow M\in\mathscr{D}_1 \cup \mathscr{D}_2.
\end{align*}

Concluez

Vous avez démontré qu’il existe deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sécantes en un point $\Omega(u,v)$ satisfaisant les conditions suivantes :

\boxed{\begin{array}{lll}
au+hv+g=0\\
hu+bv+f=0\\
\mathscr{C} = \mathscr{D}_1 \cup \mathscr{D}_2.
\end{array}}