239. Caractérisez une conique dégénérée dans le cas où elle est l’union de deux droites sécantes (2/2)

Dans ce contenu, vous établissez la réciproque du résultat établi dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 238.

Étant donnés six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ et un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})\comma$ vous étudiez l’ensemble $\mathscr{C}$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :

ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.

Vous considérez le discriminant noté $\Delta$ en posant :

\Delta = \begin{vmatrix}a & h & g \\ h & b & f \\ g& f & c \end{vmatrix}.

Vous supposez de plus :

\boxed{\begin{array}{ll} ab-h^2 \lt 0\\ \Delta = 0. \end{array}}

Vous allez démontrer que la conique $\mathscr{C}$ est l’union de deux droites sécantes. C’est un cas où elle est qualifiée de dégénérée.

Construisez un point appartenant à la conique $\mathscr{C}$

Comme $ab-h^2$ est non nul, le système suivant d’inconnues $(u,v)\in\R^2$ admet une solution :

\left\{\begin{align*} au+hv+g&=0\\ hu+bv+f&=0. \end{align*}\right.

Dès lors, la nullité du discriminant fournit :

\begin{align*} 0 &= \begin{vmatrix}a & h & g \\ h & b & f \\ g& f & c \end{vmatrix} \\ 0 &= \begin{vmatrix}a & h & au+hv+g \\ h & b & hu+bv+f \\ g& f & gu+fv+c \end{vmatrix}\\ 0 &= \begin{vmatrix}a & h & 0 \\ h & b & 0 \\ g& f & gu+fv+c \end{vmatrix} \\ 0 &= \begin{vmatrix}a & h \\ h & b \end{vmatrix} \times (gu+fv+c) \\ 0 &= (ab-h^2)(gu+fv+c) \\ 0 &= gu+fv+c. \end{align*}

Vous allez maintenant prouver que le point $\Omega(u,v)$ appartient à la conique $\mathscr{C}\comma$ grâce au calcul suivant :

\begin{align*} au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c &= au^2+2huv+bv^2+gu+fv+(gu+fv+c) \\ &= au^2+2huv+bv^2+gu+fv \\ &= u(au+hv+g) +huv+bv^2+fv \\ &=huv+bv^2+fv \\ &=v(hu+bv+f) \\ &=0. \end{align*}

Déterminez les équations des deux droites recherchées

Pour tout point $M$ de coordonnées $(x_M,y_M)$ dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})\comma$ vous notez $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$ de sorte que :

\begin{align*} X_M = x_M – u\\ Y_M = y_M – v. \end{align*}

Alors la série d’équivalences suivante fournit :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow ax_M^2+2hx_My_M+by_M^2+2gx_M+2fy_M+c=0\\ &\Longleftrightarrow a(X_M+u)^2+2h(X_M+u)(Y_M+v)+b(Y_M+v)^2+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\ &\Longleftrightarrow a(X_M^2+u^2+2uX_M)+2h(X_MY_M+vX_M+uY_M+uv)+b(Y_M^2+v^2+2vY_M)\\&\qquad+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\ &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2\\&\qquad+2(au+hv+g)X_M+2(hu+bv+f)Y_M\\&\qquad+(au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c)=0\\ &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2 = 0. \end{align*}

Si $a$ est nul

Vous obtenez :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow 2hX_MY_M+bY_M^2 = 0 \\ &\Longleftrightarrow Y_M(2hX_M+bY_M) = 0\\ &\Longleftrightarrow (Y_M = 0) \text{ ou } (2hX_M+bY_M = 0). \end{align*}

Notez que $ab-h^2\lt 0$ s’écrit $-h^2 \lt 0$ ce qui force la non nullité de $h.$ Donc le vecteur $\vv{d}_1\begin{pmatrix}-b \\ 2h\end{pmatrix}$ est non nul. Ainsi $2hX_M+bY_M = 0$ est bien l’équation d’une droite $\mathscr{D}_1$ qui admet $\vv{d}_1$ pour vecteur directeur.

La droite $\mathscr{D}_2$ d’équation $Y_M = 0\comma$ qui désigne la droite horizontale passant par $\Omega$ admet pour vecteur directeur $\vv{d}_2 \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}.$

Le déterminant $\mathrm{det}({\vv{d}_1, \vv{d}_2})$ est non nul :

\begin{align*} \mathrm{det}({\vv{d}_1, \vv{d}_2}) &= \begin{vmatrix} -b & 1\\ 2h & 0\end{vmatrix}\\ &=-2h. \end{align*}

Les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont bien deux droites sécantes, le point $\Omega$ est leur point d’intersection et vous avez :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow M\in\mathscr{D}_1 \cup \mathscr{D}_2. \end{align*}

Si $a$ est non nul

Comme $ab-h^2\lt0$ vous pouvez considérer $\delta = \sqrt{h^2-ab}$ qui est bien défini et est non nul. Alors :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2 = 0\\ & \Longleftrightarrow a^2X_M^2+2ahX_MY_M+abY_M^2 = 0 \\ & \Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2+(ab-h^2)Y_M^2=0 \\ & \Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2-\delta^2Y_M^2=0 \\ & \Longleftrightarrow (aX_M+hY_M)^2-(\delta Y_M)^2=0 \\ & \Longleftrightarrow (aX_M+hY_M + \delta Y_M)(aX_M+hY_M – \delta Y_M)=0 \\ & \Longleftrightarrow (aX_M+(h+\delta)Y_M)(aX_M+(h- \delta) Y_M)=0\\ & \Longleftrightarrow (aX_M+(h+\delta)Y_M=0)\text{ ou }(aX_M+(h- \delta) Y_M=0). \end{align*}

Comme $a$ est non nul, aucun des vecteurs parmi $\vv{d}_1\begin{pmatrix}-h-\delta \\ a\end{pmatrix}$ et $\vv{d}_2\begin{pmatrix}-h+\delta \\ a\end{pmatrix}$ n’est nul.

L’ensemble des points $M$ tels que $aX_M+(h+\delta)Y_M=0$ est donc une droite $\mathscr{D}_1$ qui passe par le point $\Omega$ et qui est dirigée par le vecteur $\vv{d}_1.$

L’ensemble des points $M$ tels que $aX_M+(h-\delta)Y_M=0$ est une droite $\mathscr{D}_2$ qui passe par le point $\Omega$ et qui est dirigée par le vecteur $\vv{d}_2.$

Le déterminant $\mathrm{det}({\vv{d}_1, \vv{d}_2})$ est non nul :

\begin{align*} \mathrm{det}({\vv{d}_1, \vv{d}_2}) &= \begin{vmatrix} -h-\delta & -h+\delta\\ a & a\end{vmatrix}\\ &= a \begin{vmatrix} -h-\delta & -h+\delta\\ 1 & 1\end{vmatrix}\\ &= a \begin{vmatrix} -2\delta & -h+\delta\\ 0 & 1\end{vmatrix}\\ &= -2a \delta. \end{align*}

Ainsi les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont bien deux droites sécantes, encore au point $\Omega.$

Compte tenu de la série d’équivalences ci-dessus, vous avez encore :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow M\in\mathscr{D}_1 \cup \mathscr{D}_2. \end{align*}

Concluez

Vous avez démontré qu’il existe deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sécantes en un point $\Omega(u,v)$ satisfaisant les conditions suivantes :

\boxed{\begin{array}{lll} au+hv+g=0\\ hu+bv+f=0\\ \mathscr{C} = \mathscr{D}_1 \cup \mathscr{D}_2. \end{array}}