Etant donnés six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ et un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, vous étudiez l’ensemble $\mathscr{C}$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :
ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.
Dans cette chronique vous supposez que l’ensemble $\mathscr{C}$ est une droite notée $\mathscr{D}.$
Supposez que cette droite est verticale
Il existe alors un nombre réel $k$ fixé tel que $\mathscr{D} = \{M(x,y), x=k\}.$
Soit maintenant $y$ un réel fixé. Le point de coordonnées $(k,y)$ appartient à $\mathscr{D}$ donc vous déduisez :
ak^2+2hky+by^2+2gk+2fy+c=0.
Vu comme un polynôme en $y$, vous obtenez :
by^2 +(2hk+2f)y+ak^2+2gk+c=0.
Ainsi le polynôme $bX^2+(2hk+2f)X+(ak^2+2gk+c)$ admet une infinité de racines, ce qui prouve que ses coefficients sont tous nuls. Du coup :
\begin{array}{lll}
b=0 \\
hk+f = 0\\
ak^2+2gk+c=0.
\end{array}Compte tenu des conditions précédentes, la droite $\mathscr{D}$ est l’ensemble des points $M(x,y)$ tels que :
ax^2+2hxy+2gx-2hky-ak^2-2gk=0.
Or, quels que soient les réels $x$ et $y :$
\begin{align*}
ax^2+2hxy+2gx-2hky-ak^2-2gk=0 &\Longleftrightarrow a(x^2-k^2)+2h(x-k)y+2g(x-k)=0 \\
&\Longleftrightarrow a(x-k)(x+k)+2h(x-k)y+2g(x-k)=0 \\
&\Longleftrightarrow (x-k)(a(x+k)+2hy+2g)=0 \\
&\Longleftrightarrow (x-k)(ax+2hy+ak+2g)=0.
\end{align*}Soit maintenant $x$ un réel différent de $k.$ Alors :
\forall y\in\R, M(x,y)\notin \mathscr{D}.Donc :
\forall y\in\R, 2hy+ak+2g+ax\neq 0.
Si $h$ était non nul, alors :
\forall y\in\R, y \neq \frac{-ak-2g-ax}{2h}.Ceci est absurde.
Vous obtenez : $h=0.$
Comme $b=h=0$ vous déduisez $\boxed{ab-h^2 = 0.}$
Il reste à s’occuper maintenant du dicriminant $\Delta.$
Dans la suite du contenu rédigé dans l'article 239 vous le définissez de la façon suivante :
\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix}.Or, $kh+f = 0$ donc $f=0$ et finalement :
\Delta =
\begin{vmatrix}
a & 0 & g \\
0 & 0 & 0 \\
g& 0 & c
\end{vmatrix}.Vous déduisez $\boxed{\Delta = 0.}$
Supposez que cette droite n’est pas verticale
Notez $\vv{v}$ un vecteur unitaire directeur de la droite $\mathscr{D}.$ Notez $\vv{u}$ le vecteur obtenu par rotation du vecteur $\vv{v}$ d’angle $-\pi/2.$
Notez $\theta$ une mesure de l’angle $(\vv{i},\vv{u}).$
Pour tout point $M$ du plan, vous notez $(x_M,y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$ et $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{u},\vv{v}).$
Vous avez les relations en vertu du contenu écrit dans l'article 236 :
\left\{\begin{align*}
x_M &= X_M\cos\theta-Y_M\sin\theta\\
y_M &= X_M\sin\theta+Y_M\cos\theta.
\end{align*}\right.La série d’équivalences suivante va fournir successivement, pour tout point $M$ du plan :
\begin{align*}
M\in\mathscr{D} &\Longleftrightarrow ax_M^2+2hx_My_M+by_M^2+2gx_M+2fy_M+c=0\\
&\Longleftrightarrow a(X_M^2\cos^2\theta-2X_MY_M\sin\theta\cos\theta+Y_M^2\sin^2\theta)\\
&\qquad+2h(X_M^2\sin\theta\cos\theta + X_MY_M(\cos^2\theta - \sin^2\theta)-Y_M^2\sin\theta\cos\theta)\\
&\qquad+b(X_M^2\sin^2\theta + 2X_MY_M\sin\theta\cos\theta+Y_M^2\cos^2\theta)\\
&\qquad+2g(X_M\cos\theta-Y_M\sin\theta)+2f(X_M\sin\theta+Y_M\cos\theta)+c=0\\
&\Longleftrightarrow (a\cos^2\theta+2h\sin\theta\cos\theta+b\sin^2\theta)X_M^2\\
&\qquad +2((b-a)\sin\theta\cos\theta+h(\cos^2\theta-\sin^2\theta))X_MY_M\\
&\qquad +(a\sin^2\theta-2h\sin\theta\cos\theta+b\cos^2\theta)Y_M^2\\
&\qquad +2(g\cos\theta+f\sin\theta)X_M+2(-g\sin\theta+f\cos\theta)Y_M+c=0.
\end{align*}Dans le repère $(O,\vv{u},\vv{v})$ la droite $\mathscr{D}$ est verticale.
D’après la section précédente :
\begin{align*}
&(a\cos^2\theta+2h\sin\theta\cos\theta+b\sin^2\theta)(a\sin^2\theta-2h\sin\theta\cos\theta+b\cos^2\theta)&\\
&\qquad -((b-a)\sin\theta\cos\theta+h(\cos^2\theta-\sin^2\theta))^2 = 0\\
& a^2\sin^2\theta\cos^2\theta -2ah\sin\theta \cos^3\theta+ab\cos^4\theta\\
&\qquad +2ah\sin^3\theta\cos \theta-4h^2\sin^2\theta\cos^2\theta+2bh\sin\theta\cos^3\theta\\
&\qquad +ab\sin^4\theta-2bh\sin^3\theta\cos\theta+b^2\sin^2\theta\cos^2\theta\\
&\qquad -((b-a)^2\sin^2\theta\cos^2\theta+h^2(\cos^4\theta+\sin^4\theta-2\sin^2\theta\cos^2\theta)+2(b-a)h(\sin\theta\cos^3\theta-\sin^3\theta\cos\theta)) = 0\\
&(a^2-4h^2+b^2-(b-a)^2+2h^2)\sin^2\theta\cos^2\theta + (-2ah+2bh-2(b-a)h)\sin\theta\cos^3\theta\\
&\qquad +(ab-h^2)\cos^4\theta + (2ah-2bh+2(b-a)h)\sin^3\theta\cos\theta + (ab-h^2)\sin^4\theta = 0\\
&(-2h^2+2ab)\sin^2\theta\cos^2\theta + (ab-h^2)(\cos^4\theta+\sin^4\theta) = 0\\
&2(ab-h^2)\sin^2\theta\cos^2\theta + (ab-h^2)((\cos^2\theta+\sin^2\theta)^2-2\sin^2\theta\cos^2\theta) = 0\\
&2(ab-h^2)\sin^2\theta\cos^2\theta + (ab-h^2)(1-2\sin^2\theta\cos^2\theta) = 0\\
&ab-h^2=0.
\end{align*}Note. Il est possible de justifier ce résultat en utilisant les propriétés d’un déterminant $2\times 2.$
Pour démontrer la nullité de $\Delta$, vous allez toujours utiliser la section précédente :
\begin{align*}
0 &= \begin{vmatrix}
a\cos^2\theta+2h\sin\theta\cos\theta+b\sin^2\theta & (b-a)\sin\theta\cos\theta+h(\cos^2\theta-\sin^2\theta) & g\cos\theta+f\sin\theta \\
(b-a)\sin\theta\cos\theta+h(\cos^2\theta-\sin^2\theta) & a\sin^2\theta-2h\sin\theta\cos\theta+b\cos^2\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta \\
g\cos\theta+f\sin\theta& -g\sin\theta+f\cos\theta & c
\end{vmatrix}
\end{align*}Au lieu de développer l’ensemble vous allez effectuer deux produits matriciels.
Le premier fournit :
\begin{pmatrix}
a & h & g \\
h& b& f \\
g & f & c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta& \cos\theta& 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a\cos\theta +h \sin\theta& -a\sin\theta+h\cos\theta & g \\
h\cos\theta+b\sin\theta& -h\sin\theta+b\cos\theta& f \\
g\cos\theta+f\sin\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta & c
\end{pmatrix}.Puis :
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 \\
-\sin\theta& \cos\theta& 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a\cos\theta +h \sin\theta& -a\sin\theta+h\cos\theta & g \\
h\cos\theta+b\sin\theta& -h\sin\theta+b\cos\theta& f \\
g\cos\theta+f\sin\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta & c
\end{pmatrix}\\
&\qquad=\begin{pmatrix}
a\cos^2\theta+2ah\sin\theta \cos\theta + b\sin^2\theta & (b-a)\sin\theta\cos\theta+h\cos^2\theta-h\sin^2\theta & g\cos\theta+f\sin\theta \\
(b-a)\sin\theta\cos\theta-h\sin^2\theta+h\cos^2\theta & a\sin^2\theta-2h\sin\theta\cos\theta+b\cos^2\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta\\
g\cos\theta+f\sin\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta & c
\end{pmatrix}.
\end{align*}De ce qui précède :
\begin{align*}
0 &=\begin{vmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 \\
-\sin\theta& \cos\theta& 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
a\cos\theta +h \sin\theta& -a\sin\theta+h\cos\theta & g \\
h\cos\theta+b\sin\theta& -h\sin\theta+b\cos\theta& f \\
g\cos\theta+f\sin\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta & c
\end{vmatrix} \\
&=
\begin{vmatrix}
a\cos\theta +h \sin\theta& -a\sin\theta+h\cos\theta & g \\
h\cos\theta+b\sin\theta& -h\sin\theta+b\cos\theta& f \\
g\cos\theta+f\sin\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta & c
\end{vmatrix}\\
&=
\begin{vmatrix}
a & h & g \\
h& b& f \\
g & f & c
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta& \cos\theta& 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
a & h & g \\
h& b& f \\
g & f & c
\end{vmatrix}.
\end{align*}Concluez
Si l’ensemble des points $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$ satisfaisant l’équation :
ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0
est une droite, alors nécessairement :
\boxed{\begin{array}{ll}
ab-h^2 = 0\\
\\
\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix} = 0.
\end{array}}Remarque. Si l’ensemble précédent est composé de deux droites strictement parallèles, alors la même conclusion subsiste, d’après le contenu écrit dans l'article 241.
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