Etant donnés six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ et un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, vous étudiez l’ensemble $\mathscr{C}$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :
ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.
Dans cette chronique vous supposez que l’ensemble $\mathscr{C}$ est une droite notée $\mathscr{D}.$
Supposez que cette droite est verticale
Il existe alors un nombre réel $k$ fixé tel que $\mathscr{D} = \{M(x,y), x=k\}.$
Soit maintenant $y$ un réel fixé. Le point de coordonnées $(k,y)$ appartient à $\mathscr{D}$ donc vous déduisez :
ak^2+2hky+by^2+2gk+2fy+c=0.
Vu comme un polynôme en $y$, vous obtenez :
by^2 +(2hk+2f)y+ak^2+2gk+c=0.
Ainsi le polynôme $bX^2+(2hk+2f)X+(ak^2+2gk+c)$ admet une infinité de racines, ce qui prouve que ses coefficients sont tous nuls. Du coup :
\begin{array}{lll} b=0 \\ hk+f = 0\\ ak^2+2gk+c=0. \end{array}
Compte tenu des conditions précédentes, la droite $\mathscr{D}$ est l’ensemble des points $M(x,y)$ tels que :
ax^2+2hxy+2gx-2hky-ak^2-2gk=0.
Or, quels que soient les réels $x$ et $y :$
\begin{align*} ax^2+2hxy+2gx-2hky-ak^2-2gk=0 &\Longleftrightarrow a(x^2-k^2)+2h(x-k)y+2g(x-k)=0 \\ &\Longleftrightarrow a(x-k)(x+k)+2h(x-k)y+2g(x-k)=0 \\ &\Longleftrightarrow (x-k)(a(x+k)+2hy+2g)=0 \\ &\Longleftrightarrow (x-k)(ax+2hy+ak+2g)=0. \end{align*}
Soit maintenant $x$ un réel différent de $k.$ Alors :
\forall y\in\R, M(x,y)\notin \mathscr{D}.
Donc :
\forall y\in\R, 2hy+ak+2g+ax\neq 0.
Si $h$ était non nul, alors :
\forall y\in\R, y \neq \frac{-ak-2g-ax}{2h}.
Ceci est absurde.
Vous obtenez : $h=0.$
Comme $b=h=0$ vous déduisez $\boxed{ab-h^2 = 0.}$
Il reste à s’occuper maintenant du dicriminant $\Delta.$
Dans la suite du contenu rédigé dans l'article 239 vous le définissez de la façon suivante :
\Delta = \begin{vmatrix}a & h & g \\ h & b & f \\ g& f & c \end{vmatrix}.
Or, $kh+f = 0$ donc $f=0$ et finalement :
\Delta = \begin{vmatrix} a & 0 & g \\ 0 & 0 & 0 \\ g& 0 & c \end{vmatrix}.
Vous déduisez $\boxed{\Delta = 0.}$
Supposez que cette droite n’est pas verticale
Notez $\vv{v}$ un vecteur unitaire directeur de la droite $\mathscr{D}.$ Notez $\vv{u}$ le vecteur obtenu par rotation du vecteur $\vv{v}$ d’angle $-\pi/2.$
Notez $\theta$ une mesure de l’angle $(\vv{i},\vv{u}).$
Pour tout point $M$ du plan, vous notez $(x_M,y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$ et $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{u},\vv{v}).$
Vous avez les relations en vertu du contenu écrit dans l'article 236 :
\left\{\begin{align*} x_M &= X_M\cos\theta-Y_M\sin\theta\\ y_M &= X_M\sin\theta+Y_M\cos\theta. \end{align*}\right.
La série d’équivalences suivante va fournir successivement, pour tout point $M$ du plan :
\begin{align*} M\in\mathscr{D} &\Longleftrightarrow ax_M^2+2hx_My_M+by_M^2+2gx_M+2fy_M+c=0\\ &\Longleftrightarrow a(X_M^2\cos^2\theta-2X_MY_M\sin\theta\cos\theta+Y_M^2\sin^2\theta)\\ &\qquad+2h(X_M^2\sin\theta\cos\theta + X_MY_M(\cos^2\theta - \sin^2\theta)-Y_M^2\sin\theta\cos\theta)\\ &\qquad+b(X_M^2\sin^2\theta + 2X_MY_M\sin\theta\cos\theta+Y_M^2\cos^2\theta)\\ &\qquad+2g(X_M\cos\theta-Y_M\sin\theta)+2f(X_M\sin\theta+Y_M\cos\theta)+c=0\\ &\Longleftrightarrow (a\cos^2\theta+2h\sin\theta\cos\theta+b\sin^2\theta)X_M^2\\ &\qquad +2((b-a)\sin\theta\cos\theta+h(\cos^2\theta-\sin^2\theta))X_MY_M\\ &\qquad +(a\sin^2\theta-2h\sin\theta\cos\theta+b\cos^2\theta)Y_M^2\\ &\qquad +2(g\cos\theta+f\sin\theta)X_M+2(-g\sin\theta+f\cos\theta)Y_M+c=0. \end{align*}
Dans le repère $(O,\vv{u},\vv{v})$ la droite $\mathscr{D}$ est verticale.
D’après la section précédente :
\begin{align*} &(a\cos^2\theta+2h\sin\theta\cos\theta+b\sin^2\theta)(a\sin^2\theta-2h\sin\theta\cos\theta+b\cos^2\theta)&\\ &\qquad -((b-a)\sin\theta\cos\theta+h(\cos^2\theta-\sin^2\theta))^2 = 0\\ & a^2\sin^2\theta\cos^2\theta -2ah\sin\theta \cos^3\theta+ab\cos^4\theta\\ &\qquad +2ah\sin^3\theta\cos \theta-4h^2\sin^2\theta\cos^2\theta+2bh\sin\theta\cos^3\theta\\ &\qquad +ab\sin^4\theta-2bh\sin^3\theta\cos\theta+b^2\sin^2\theta\cos^2\theta\\ &\qquad -((b-a)^2\sin^2\theta\cos^2\theta+h^2(\cos^4\theta+\sin^4\theta-2\sin^2\theta\cos^2\theta)+2(b-a)h(\sin\theta\cos^3\theta-\sin^3\theta\cos\theta)) = 0\\ &(a^2-4h^2+b^2-(b-a)^2+2h^2)\sin^2\theta\cos^2\theta + (-2ah+2bh-2(b-a)h)\sin\theta\cos^3\theta\\ &\qquad +(ab-h^2)\cos^4\theta + (2ah-2bh+2(b-a)h)\sin^3\theta\cos\theta + (ab-h^2)\sin^4\theta = 0\\ &(-2h^2+2ab)\sin^2\theta\cos^2\theta + (ab-h^2)(\cos^4\theta+\sin^4\theta) = 0\\ &2(ab-h^2)\sin^2\theta\cos^2\theta + (ab-h^2)((\cos^2\theta+\sin^2\theta)^2-2\sin^2\theta\cos^2\theta) = 0\\ &2(ab-h^2)\sin^2\theta\cos^2\theta + (ab-h^2)(1-2\sin^2\theta\cos^2\theta) = 0\\ &ab-h^2=0. \end{align*}
Note. Il est possible de justifier ce résultat en utilisant les propriétés d’un déterminant $2\times 2.$
Pour démontrer la nullité de $\Delta$, vous allez toujours utiliser la section précédente :
\begin{align*} 0 &= \begin{vmatrix} a\cos^2\theta+2h\sin\theta\cos\theta+b\sin^2\theta & (b-a)\sin\theta\cos\theta+h(\cos^2\theta-\sin^2\theta) & g\cos\theta+f\sin\theta \\ (b-a)\sin\theta\cos\theta+h(\cos^2\theta-\sin^2\theta) & a\sin^2\theta-2h\sin\theta\cos\theta+b\cos^2\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta \\ g\cos\theta+f\sin\theta& -g\sin\theta+f\cos\theta & c \end{vmatrix} \end{align*}
Au lieu de développer l’ensemble vous allez effectuer deux produits matriciels.
Le premier fournit :
\begin{pmatrix} a & h & g \\ h& b& f \\ g & f & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta& \cos\theta& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cos\theta +h \sin\theta& -a\sin\theta+h\cos\theta & g \\ h\cos\theta+b\sin\theta& -h\sin\theta+b\cos\theta& f \\ g\cos\theta+f\sin\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta & c \end{pmatrix}.
Puis :
\begin{align*} &\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta& \cos\theta& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\cos\theta +h \sin\theta& -a\sin\theta+h\cos\theta & g \\ h\cos\theta+b\sin\theta& -h\sin\theta+b\cos\theta& f \\ g\cos\theta+f\sin\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta & c \end{pmatrix}\\ &\qquad=\begin{pmatrix} a\cos^2\theta+2ah\sin\theta \cos\theta + b\sin^2\theta & (b-a)\sin\theta\cos\theta+h\cos^2\theta-h\sin^2\theta & g\cos\theta+f\sin\theta \\ (b-a)\sin\theta\cos\theta-h\sin^2\theta+h\cos^2\theta & a\sin^2\theta-2h\sin\theta\cos\theta+b\cos^2\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta\\ g\cos\theta+f\sin\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta & c \end{pmatrix}. \end{align*}
De ce qui précède :
\begin{align*} 0 &=\begin{vmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta& \cos\theta& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a\cos\theta +h \sin\theta& -a\sin\theta+h\cos\theta & g \\ h\cos\theta+b\sin\theta& -h\sin\theta+b\cos\theta& f \\ g\cos\theta+f\sin\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta & c \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a\cos\theta +h \sin\theta& -a\sin\theta+h\cos\theta & g \\ h\cos\theta+b\sin\theta& -h\sin\theta+b\cos\theta& f \\ g\cos\theta+f\sin\theta & -g\sin\theta+f\cos\theta & c \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} a & h & g \\ h& b& f \\ g & f & c \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta& \cos\theta& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a & h & g \\ h& b& f \\ g & f & c \end{vmatrix}. \end{align*}
Concluez
Si l’ensemble des points $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$ satisfaisant l’équation :
ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0
est une droite, alors nécessairement :
\boxed{\begin{array}{ll} ab-h^2 = 0\\ \\ \Delta = \begin{vmatrix}a & h & g \\ h & b & f \\ g& f & c \end{vmatrix} = 0. \end{array}}
Remarque. Si l’ensemble précédent est composé de deux droites strictement parallèles, alors la même conclusion subsiste, d’après le contenu écrit 241.
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