Soient deux réels $a$ et $b$ fixés et ainsi qu’un réel $h$ non nul. Dans un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, vous étudiez la conique $\mathscr{C}$ formée par l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :
ax^2+2hxy+by^2=1.
Vous constatez déjà que pour tout point $M(x,y)$ appartenant à $\mathscr{C}$, le point $M'(-x,-y)$ appartient aussi à $\mathscr{C}.$ L’origine du repère est centre de symétrie de $\mathscr{C}.$
Découvrez l’origine de l’équation caractéristique
Dans le cas où la conique $\mathscr{C}$ est une ellipse, vous trouvez ses deux sommets du grand axe comme étant les points d’intersection de la conique $\mathscr{C}$ et d’un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ strictement positif bien choisi, pour que ce cercle soit tangent à la conique au niveau des sommets recherchés. Vous changez le rayon et trouverez les deux sommets du petit axe.
Soit $r$ un réel strictement positif. Notez $C$ le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ qui a pour équation $\frac{x^2+y^2}{r^2}=1.$
Les points d’intersection de $\mathscr{C}$ et de $C$ vérifient l’équation :
\begin{array}{l}
\displaystyle ax^2+2hxy+by^2=\frac{x^2+y^2}{r^2}\\
\displaystyle \left(a-\frac{1}{r^2}\right)x^2+2hxy+\left(b-\frac{1}{r^2}\right)y^2 = 0.
\end{array}Notez alors $\mathscr{C’}$ la conique dégénérée représentée par l’équation :
\left(a-\frac{1}{r^2}\right)x^2+2hxy+\left(b-\frac{1}{r^2}\right)y^2 = 0.Ecartez la possibilité du déterminant strictement positif
Supposez un instant que $r$ soit choisi pour obtenir $\left(a-\frac{1}{r^2}\right)\left(b-\frac{1}{r^2}\right) – h^2 > 0.$
Alors une rotation de centre $O$ du repère amène à l’équation $AX^2+BY^2=0$ avec $A$ et $B$ de même signe et non nuls. Cela conduit à avoir $X=Y=0$, et donc $x=y=0$, cas à rejeter, puisque l’intersection de la conique $\mathscr{C}’$ et de la conique $\mathscr{C}$ serait vide et ne permettrait pas d’arriver sur les sommets de l’ellipse.
Ecartez la possibilité du déterminant strictement négatif
Supposez un instant que $r$ soit choisi pour obtenir $\left(a-\frac{1}{r^2}\right)\left(b-\frac{1}{r^2}\right) – h^2 < 0.$
Alors une rotation de centre $O$ du repère amène à l’équation $AX^2+BY^2=0$ avec $A$ et $B$ de signes contraires et non nuls. Cela conduit à avoir la réunion de deux droites sécantes à l’origine qui formeront 4 points d’intersection avec la conique $\mathscr{C}$ ce que vous souhaitez éviter.
Concluez
De ce qui précède, vous choisissez $r>0$ pour annuler le déterminant $2\times 2$ ce qui fournit :
\left(a-\frac{1}{r^2}\right)\left(b-\frac{1}{r^2}\right) = h^2.Vous vous attendez, dans le cas de l’ellipse, à ce que cette conique soit celle du grand axe ou celle du petit axe lorsque $r$ vérifie cette équation. Cela n’est à ce stade qu’une conjecture.
Cela semble suffisamment important pour suggérer la définition suivante :
L’équation $\boxed{\left(a-\frac{1}{r^2}\right)\left(b-\frac{1}{r^2}\right) = h^2}$ d’inconnue $r\in\R$ est appelée équation caractéristique de la conique $\mathscr{C}.$
Prolongement
Vous souhaitez savoir ce qu’il advient lorsque l’équation caractéristique susmentionnée n’admet aucune solution réelle ? Allez jeter un coup d’oeil dans l'article 246.
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