Soient deux réels $a$ et $b$ fixés et un réel $h$ tel que $ab-h^2\neq 0.$

Dans un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, vous étudiez la conique $\mathscr{C}$ formée par l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :

ax^2+2hxy+by^2=1.

Dans cette chronique vous supposez que l’équation caractéristique $\boxed{\left(a-\frac{1}{r^2}\right)\left(b-\frac{1}{r^2}\right) = h^2}$ d’inconnue $r\in\R$ n’a pas de solution réelle.

Traitez le cas où $h$ est nul

Si $h$ est nul, alors l’équation caractéristique devient :

\left(a-\frac{1}{r^2}\right)\left(b-\frac{1}{r^2}\right) = 0.

Du coup, il est impossible d’avoir $a>0$ (sinon vous choisissez $r = \frac{1}{\sqrt{a}}$ qui est solution.) De même il est impossible d’avoir $b>0$.

Donc $a$ et $b$ sont négatifs.

D’autre part, $ab \neq h^2$ s’écrit $ab \neq 0$ donc $a<0$ et $b<0.$

Sous cette hypothèse, la conique admet pour équation :

ax^2+by^2=1.

Le membre de gauche est négatif et celui de droite est strictement positif donc la conique est vide.

Traitez le cas où $h$ est non nul

Pour tout réel $r$ non nul, l’équation caractéristique n’est pas vérifiée donc :

\begin{align*}
\left(a-\frac{1}{r^2}\right)\left(b-\frac{1}{r^2}\right)&\neq h^2 \\
(ar^2-1)(br^2-1) &\neq h^2r^4\\
abr^4-(a+b)r^2+1 &\neq h^2r^4\\
(ab-h^2)r^4-(a+b)r^2+1 &\neq 0.
\end{align*}

Cela suggère d’étudier le polynôme $(ab-h^2)X^2-(a+b)X+1$ qui est bien de degré $2$ puisque $ab-h^2$ est non nul.

Le discriminant de ce trinôme vaut :

\begin{align*}
(a+b)^2-4(ab-h)^2 &= a^2+b^2+2ab-4ab+4h^2\\
&=(a-b)^2+4h^2. 
\end{align*}

Comme $h$ est non nul, $h^2$ est strictement positif et par somme le discriminant est strictement positif.

Le trinôme $(ab-h^2)X^2-(a+b)X+1$ admet ainsi deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2.$

Utilisant les relations entre les coefficients et les racines, vous avez :

\begin{align*}
x_1+x_2 &= \frac{a+b}{ab-h^2}\\
x_1 x_2 &= \frac{1}{ab-h^2}.
\end{align*}

Si $x_1$ est strictement positif, vous posez $r = \sqrt{x_1}$ et déduisez que $r^2 = x_1$ et $(ab-h^2)r^4-(a+b)r^2+1 = 0.$ En divisant par $r^4$ qui est non nul vous déduisez $\left(a-\frac{1}{r^2}\right)\left(b-\frac{1}{r^2}\right) = h^2$ donc l’équation caractéristique n’est pas sans solution, ce qui est absurde.

Le même raisonnement tient pour $x_2.$

Vous déduisez que $x_1$ et $x_2$ sont négatifs.

Leur produit est égal à $\frac{1}{ab-h^2}$ qui est non nul. Donc $x_1<0$, $x_2<0$ et $ab-h^2 > 0.$

Comme $ab > h^2 > 0$ les réels $a$ et $b$ ont le même signe.

Comme $x_1<0$ et $x_2<0$, vous avez par somme $x_1+x_2< 0.$ Comme $x_1+x_2 = \frac{a+b}{ab-h^2}$ vous déduisez $a+b < 0$ et du coup $a<0$ et $b<0.$

Quels que soient les réels $x$ et $y:$

\begin{align*}
ax^2+2hxy+by^2=1 &\Longleftrightarrow a^2x^2+2ahxy+aby^2=a \\
 &\Longleftrightarrow  (ax+hy)^2+(ab-h^2)y^2=a.
\end{align*}

Le membre de gauche est positif comme somme de deux nombres positifs et celui de droite est strictement négatif donc la conique est vide.

Concluez

Vous déduisez de cette étude que lorsque l’équation caractéristique $\boxed{\left(a-\frac{1}{r^2}\right)\left(b-\frac{1}{r^2}\right) = h^2}$ d’inconnue $r\in\R$ n’a pas de solution réelle, alors la conique à centre $\mathscr{C}$ est vide.