Soit $p$ un nombre réel strictement positif.

Vous vous intéressez à la représentation graphique de la courbe d’équation $\boxed{y = \frac{x^2}{4p}}$ dans un repère orthonormé.

Il s’agit d’une parabole admettant l’origine du repère pour sommet.

Déterminez l’équation réduite d’une tangente

Soit $a$ un nombre réel non nul, de sorte que le point de coordonnées $A\left(a,\frac{a^2}{4p}\right)$ soit situé sur la parabole et soit distinct du sommet.

La parabole précitée est la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $\forall x\in\R, f(x) = \frac{x^2}{4p}.$

Cette fonction est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x\comma$ $f'(x) = \frac{x}{2p}.$

Le coefficient directeur de la tangente à la parabole en $A$ est $f'(a)=\frac{a}{2p}$ et l’équation réduite de celle-ci est :

En développant, vous obtenez :

Notez $B$ le point d’intersection de cette tangente avec l’axe des ordonnées. Vous avez $B\left(0,\frac{-a^2}{4p}\right).$

En appelant $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur l’axe des ordonnées, il apparaît que le sommet de la parabole est le milieu de $[BH].$

Déterminez l’équation réduite de la médiatrice du segment $[AB]$

Pour tout point $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$ vous avez la série d’équivalences :

Vous constatez que la médiatrice du segment $[AB]$ passe par un point fixe $F$ de coordonnées $\boxed{(0,p)}$ qui s’appelle le foyer de la parabole.

Note. Partant d’un point $A$ distinct du sommet de la parabole, vous construisez le point $H\comma$ projeté orthogonal du point $A$ sur l’axe de symétrie de la parabole, puis vous construisez le point $B$ symétrique de $H$ par rapport au sommet de la parabole. Le foyer $F$ apparaît comme étant le point de l’axe de symétrie de la parabole équidistant des points $A$ et $B.$ Le triangle $FAB$ est alors isocèle en $F.$

Prolongement

À partir du sommet d’une parabole et de son tracé, sauriez-vous construire géométriquement l’axe de symétrie de celle-ci ?