Soit $p$ un nombre réel strictement positif.
Vous vous intéressez à la représentation graphique de la courbe d’équation $\boxed{y = \frac{x^2}{4p}}$ dans un repère orthonormé.
Il s’agit d’une parabole admettant l’origine du repère pour sommet.
Déterminez l’équation réduite d’une tangente
Soit $a$ un nombre réel non nul, de sorte que le point de coordonnées $A\left(a,\frac{a^2}{4p}\right)$ soit situé sur la parabole et soit distinct du sommet.
La parabole précitée est la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $\forall x\in\R, f(x) = \frac{x^2}{4p}.$
Cette fonction est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, $f'(x) = \frac{x}{2p}.$
Le coefficient directeur de la tangente à la parabole en $A$ est $f'(a)=\frac{a}{2p}$ et l’équation réduite de celle-ci est :
y=\frac{a}{2p}(x-a)+\frac{a^2}{4p}.En développant vous obtenez :
y=\frac{2ax-a^2}{4p}.Notez $B$ le point d’intersection de cette tangente avec l’axe des ordonnées. Vous avez $B\left(0,\frac{-a^2}{4p}\right).$
En appelant $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur l’axe des ordonnées, il apparaît que le sommet de la parabole est le milieu de $[BH].$
Déterminez l’équation réduite de la médiatrice du segment $[AB]$
Pour tout point $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$ vous avez la série d’équivalences :
\begin{align*}
MA = MB & \Longleftrightarrow MA^2=MB^2\\
& \Longleftrightarrow \left(x-a\right)^2+\left(y-\frac{a^2}{4p}\right)^2=x^2+\left(y+\frac{a^2}{4p}\right)^2\\
& \Longleftrightarrow x^2-2ax+a^2+y^2+\frac{a^4}{16p^2}-\frac{a^2y}{2p} = x^2+y^2+\frac{a^4}{16p^2}+\frac{a^2y}{2p}\\
& \Longleftrightarrow a^2-2ax= \frac{a^2}{p}y\\
& \Longleftrightarrow p-\frac{2p}{a}x=y.
\end{align*}Vous constatez que la médiatrice du segment $[AB]$ passe par un point fixe $F$ de coordonnées $\boxed{(0,p)}$ qui s’appelle le foyer de la parabole.
Note. Partant d’un point $A$ distinct du sommet de la parabole, vous construisez le point $H,$ projeté orthogonal du point $A$ sur l’axe de symétrie de la parabole, puis vous construisez le point $B$ symétrique de $H$ rapport au sommet de la parabole. Le foyer $F$ apparaît comme étant le point de l’axe de symétrie de la parabole équidistant des points $A$ et $B.$ Le triangle $FAB$ est alors isocèle en $F.$
Prolongement
A partir du sommet d’une parabole et de son tracé, sauriez-vous construire géométriquement l’axe de symétrie de celle-ci ?
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