Soient deux réels $a$ et $b$ fixés et un réel $h$ tel que $ab-h^2\neq 0.$
Dans un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})\comma$ vous étudiez la conique $\mathscr{C}$ formée par l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :
ax^2+2hxy+by^2=1.
Dans ce contenu, vous supposez que l’équation caractéristique $\boxed{\left(a-\frac{1}{r^2}\right)\left(b-\frac{1}{r^2}\right) = h^2}$ d’inconnue $r\in\C^{*}$ admet deux solutions réelles opposées et deux solutions imaginaires pures opposées.
Vous allez démontrer que $\mathscr{C}$ est une hyperbole, en déterminant ses sommets, son axe transversal (celui qui contient ses sommets) et son axe conjugué qui lui est perpendiculaire.
Le cas où $h$ est nul
Le traitement de ce paragraphe vous est laissé.
Traitez le cas où $h$ est non nul
Soit $\theta$ un nombre réel, il sera choisi plus tard. Considérez la base $(\vv{u}, \vv{v})$ obtenue en faisant subir à la base $(\vv{i}, \vv{j})$ une rotation d’angle $\theta.$
Vous notez $(x,y)$ les coordonnées d’un point $M$ du plan dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$ et $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{u},\vv{v}).$
Dès lors :
\begin{align*}
x&=X\cos\theta-Y\sin\theta \\
y&=X\sin\theta+Y\cos\theta.
\end{align*}
Vous obtenez :
\begin{align*}
ax^2+2hxy+by^2 = 1 &\Longleftrightarrow a(X\cos\theta-Y\sin\theta)^2\\
&\qquad + 2h(X\cos\theta – Y\sin\theta)(X\sin\theta+Y\cos\theta)\\
&\qquad +b(X\sin\theta + Y\cos\theta)^2=1\\
&\Longleftrightarrow a(X^2\cos^2\theta+Y^2\sin^2\theta-2XY\sin\theta\cos\theta)^2\\
&\qquad +2h(X^2\sin\theta\cos\theta +XY(\cos^2\theta – \sin^2\theta)-Y^2\sin\theta\cos\theta)\\
&\qquad +b(X^2\sin^2\theta+Y^2\cos^2\theta+2XY\sin\theta\cos\theta) = 1\\
&\Longleftrightarrow (a\cos^2\theta +2h\sin\theta\cos\theta + b\sin^2\theta)X^2\\
&\qquad +2((b-a)\sin\theta \cos\theta + h(\cos^2\theta-\sin^2\theta))XY\\
&\qquad +(a\sin^2\theta -2h\sin\theta\cos\theta + b\cos^2\theta)Y^2 = 1.
\end{align*}
Explicitez les nombres obtenus avec l’angle $2\theta$
Posez :
A = a\cos^2\theta +2h\sin\theta\cos\theta + b\sin^2\theta.
Vous utilisez les formules de l’angle double :
\begin{align*}
\cos^2\theta &= \frac{1+\cos 2\theta}{2}\\
2\sin\theta \cos\theta &= \sin 2\theta\\
\sin^2\theta &=\frac{1-\cos 2\theta}{2}.
\end{align*}
Par suite :
\begin{align*}
A &= a\frac{1+\cos 2\theta}{2} +h\sin 2\theta + b\frac{1-\cos 2\theta}{2}\\
&=\frac{a+b+(a-b)\cos 2\theta + 2h\sin 2\theta}{2}.
\end{align*}
Posez :
H =(b-a)\sin\theta \cos\theta + h(\cos^2\theta-\sin^2\theta).
Alors :
\begin{align*}
H &= \frac{1}{2}(b-a)\sin 2\theta + h\cos 2\theta\\
&=\frac{(b-a)\sin2\theta + 2h\cos2\theta}{2}.
\end{align*}
Posez :
B = a\sin^2\theta -2h\sin\theta\cos\theta + b\cos^2\theta.
Alors :
\begin{align*}
B &=a\frac{1-\cos2\theta}{2}-h\sin2\theta+b\frac{1+\cos2\theta}{2}\\
&=\frac{a+b+(b-a)\cos 2\theta-2h\sin2\theta}{2}.
\end{align*}
Choisissez $\theta$ pour annuler le nombre $H$
Vous posez $\boxed{\delta = \sqrt{(b-a)^2+4h^2}.}$ Remarquez que $\delta \gt 0$ vu que $h\neq 0.$
Le point de coordonnées $\left(\frac{b-a}{\delta}, \frac{-2h}{\delta}\right)$ est situé sur le cercle trigonométrique puisque :
\begin{align*}
\left(\frac{b-a}{\delta}\right)^2 + \left(\frac{-2h}{\delta}\right)^2 &= \frac{(b-a)^2+4h^2}{\delta^2}\\
&=1.
\end{align*}
Donc il existe un réel $\varphi$ tel que :
\begin{align*}
\sin \varphi &= \frac{-2h}{\delta}\\
\cos \varphi &= \frac{b-a}{\delta}.
\end{align*}
Pour annuler le nombre $H$ il suffit de choisir $\theta$ pour avoir :
(b-a)\sin2\theta + 2h\cos2\theta = 0.
En divisant par $\delta$ cela s’écrit :
\cos\varphi\sin2\theta – \sin\varphi \cos2\theta = 0.
En vertu de la formule de soustraction du sinus, vous obtenez :
\sin(2\theta – \varphi) = 0.
En définitive, vous choisissez $\boxed{\theta = \frac{\varphi}{2}}$ où $\varphi$ est un réel appartenant à la réunion d’intervalles $]-\pi, 0[\cup ]0, \pi[$ satisfaisant les conditions :
\boxed{\begin{align*}
\sin \varphi &= \frac{-2h}{\delta}\\
\cos \varphi &= \frac{b-a}{\delta}.
\end{align*}}
En effet, $\varphi$ peut être choisi dans l’intervalle $[-\pi,\pi]$ mais il convient d’exclure les valeurs $\pi\comma$ $-\pi$ et $0$ étant donné que $h\neq 0$ implique $\sin\varphi \neq 0.$
Ainsi le réel $\theta$ appartient à la réunion d’intervalles $]-\pi/2, 0[\cup ]0, \pi/2[.$ Cette précision sera importante dans la recherche des axes de la conique $\mathscr{C}.$ En effet, $\sin \theta$ et $\cos \theta$ sont non nuls.
Explicitez les nombres $A$ et $B$ en fonction des données de départ
Vous avez :
\begin{align*}
A &= \frac{a+b+(a-b)\cos 2\theta + 2h\sin 2\theta}{2}\\
&=\frac{a+b+(a-b)\cos \varphi + 2h\sin \varphi}{2}\\
&=\frac{a+b+(a-b)\displaystyle \frac{b-a}{\delta} + 2h\frac{-2h}{\delta}}{2}\\
&=\frac{\delta(a+b)-(a-b)^2-4h^2 }{2\delta}\\
&=\frac{\delta(a+b)-\delta^2 }{2\delta}\\
&=\frac{a+b- \delta}{2}.
\end{align*}
D’autre part :
\begin{align*}
B &= \frac{a+b+(b-a)\cos 2\theta-2h\sin2\theta}{2} \\
&= \frac{a+b+(b-a)\cos \varphi-2h\sin \varphi}{2} \\
&= \frac{a+b+(b-a)\frac{b-a}{\delta}-2h\frac{-2h}{\delta}}{2} \\
&= \frac{\delta(a+b)+(b-a)^2+4h^2}{2\delta} \\
&= \frac{\delta(a+b)+\delta^2}{2\delta} \\
&= \frac{a+b+\delta}{2}.
\end{align*}
Remarque. Le produit $AB$ fournit :
\begin{align*}
AB &= \frac{a+b-\delta}{2} \times \frac{a+b+\delta}{2}\\
&= \frac{(a+b)^2-\delta^2}{4}\\
&=\frac{a^2+b^2+2ab-(a-b)^2-4h^2}{4}\\
&=\frac{a^2+b^2+2ab-a^2-b^2+2ab-4h^2}{4}\\
&=\frac{4ab-4h^2}{4}\\
&=ab-h^2.
\end{align*}
Comme $ab-h^2\neq 0\comma$ vous déduisez $A\neq 0$ et $B\neq 0.$
Revenez à l’équation caractéristique
Pour tout nombre complexe $r$ non nul :
\begin{align*}
\left(a-\frac{1}{r^2}\right)\left(b-\frac{1}{r^2}\right) = h^2 &\Longleftrightarrow (r^2a-1)(br^2-1)=h^2r^4\\
&\Longleftrightarrow abr^4-(a+b)r^2+1=h^2r^4\\
&\Longleftrightarrow (ab-h^2)r^4-(a+b)r^2+1=0.
\end{align*}
Le trinôme $(ab-h^2)X^2-(a+b)X+1$ a un discriminant égal à :
(a+b)^2-4(ab-h^2).
En développant, vous trouvez :
\begin{align*}
(a+b)^2-4(ab-h^2) &= a^2+b^2+2ab-4ab+4h^2\\
&= a^2+b^2-2ab+4h^2\\
&= (a-b)^2+4h^2\\
&= \delta^2.
\end{align*}
Le trinôme $(ab-h^2)X^2-(a+b)X+1$ admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ vu que son discriminant est strictement positif ce qui donne :
\begin{align*}
x_1 &= \frac{a+b-\delta}{2(ab-h^2)} = \frac{A}{ab-h^2} = \frac{A}{AB} = \frac{1}{B}\\
x_2 &= \frac{a+b+\delta}{2(ab-h^2)} = \frac{B}{ab-h^2} = \frac{B}{AB} = \frac{1}{A}.
\end{align*}
Ainsi les nombres $x_1$ et $x_2$ sont non nuls.
S’ils étaient tous les deux négatifs, vous auriez $-x_1\gt0$ et $-x_2\gt0\comma$ et l’équation caractéristique admettrait quatre racines complexes imaginaires pures et donc aucune racine réelle : $i\sqrt{-x_1}\comma$ $-i\sqrt{-x_1}\comma$ $i\sqrt{-x_2}$ et $-i\sqrt{-x_2}\comma$ ce qui est contradictoire.
S’ils étaient tous les deux positifs, l’équation caractéristique admettrait quatre racines réelles deux à deux distinctes : $\sqrt{x_1}\comma$ $-\sqrt{x_1}\comma$ $\sqrt{x_2}$ et $-\sqrt{x_2}\comma$ ce qui est contradictoire.
Donc les nombres $x_1$ et $x_2$ ne peuvent avoir le même signe. Leur produit étant égal à $\frac{1}{ab-h^2}$ vous déduisez que le nombre $ab-h^2$ est strictement négatif.
Explicitez les signes des nombres $A$ et $B$
Les calculs suivants montrent que $\delta^2$ est strictement supérieur à $\vert a+b\vert ^2\comma$ sachant que $h^2-ab\gt0$ :
\begin{align*}
\delta^2 &= (a-b)^2+4h^2\\
&= a^2+b^2-2ab+4h^2\\
&= a^2+b^2+2ab-4ab+4h^2\\
&= a^2+b^2+2ab + 4 (h^2-ab)\\
&\gt a^2+b^2+2ab\\
&\geq (a+b)^2\\
&\geq \vert a+b \vert^2.
\end{align*}
En prenant la racine carrée qui est une fonction strictement croissante, vous obtenez :
\delta \gt \vert a+b \vert \geq a+b.
Donc $a+b-\delta \lt 0$ et par suite $A\lt0$ et $x_2\lt0.$
Comme $AB \lt 0$ il vient $B \gt 0$ et $x_1\gt0.$
Déterminez la nature de cette conique
\begin{align*}
ax^2+2hxy+by^2 = 1
&\Longleftrightarrow AX^2+2HXY+BY^2=1\\
&\Longleftrightarrow AX^2+BY^2=1.
\end{align*}
Comme $B$ est strictement positif et $A$ est strictement négatif, vous obtenez :
\begin{align*}
ax^2+2hxy+by^2 = 1
&\Longleftrightarrow (\sqrt{B})^2Y^2 – (\sqrt{-A})^2X^2=1\\
&\Longleftrightarrow \frac{Y^2}{(1/\sqrt{B})^2} – \frac{X^2}{(1/\sqrt{-A})^2}=1.
\end{align*}
Posez :
\begin{align*}
k = \frac{1}{\sqrt{B}} = \sqrt{x_1}\\
\ell = \frac{1}{\sqrt{-A}} = \sqrt{-x_2}.
\end{align*}
Il s’agit d’une hyperbole. Son axe transversal a pour équation $X=0$ dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v}).$ Son axe conjugué a pour équation $Y=0$ dans ce même repère.
Cette hyperbole a pour équation réduite, toujours dans ce même repère :
\begin{align*}
\frac{Y^2}{k^2} – \frac{X^2}{\ell^2}=1.
\end{align*}
Les deux sommets de cette hyperbole ont pour coordonnées $(0,k)$ et $(0,-k)$ dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v}).$
Trouvez une équation de l’axe transversal
Les nombres $k = \sqrt{x_1}$ et $-k$ sont les deux racines réelles opposées de l’équation caractéristique.
Par rotation d’angle $-\theta$ la relation :
\begin{align*}
x&=X\cos\theta-Y\sin\theta \\
y&=X\sin\theta+Y\cos\theta.
\end{align*}
fournit :
\begin{align*}
X&=x\cos\theta+y\sin\theta \\
Y&=-x\sin\theta+y\cos\theta.
\end{align*}
L’axe transversal a pour équation $X=0.$ Comme $\cos \theta \neq 0$ vous obtenez :
\begin{align*}
X = 0 &\Longleftrightarrow x\cos^2\theta + y\sin\theta\cos\theta = 0\\
&\Longleftrightarrow 2x\cos^2\theta + 2y\sin\theta\cos\theta = 0\\
&\Longleftrightarrow x(1+\cos 2\theta) + y\sin2\theta = 0\\
&\Longleftrightarrow x\left(1+\frac{b-a}{\delta}\right) + y\frac{-2h}{\delta} = 0\\
&\Longleftrightarrow x\left(\delta+b-a\right) -2h y = 0\\
&\Longleftrightarrow x\left(a-b-\delta\right) +2h y = 0\\
&\Longleftrightarrow x\left(2a-a-b-\delta\right) +2h y = 0\\
&\Longleftrightarrow \left(a-\frac{a+b+\delta}{2}\right)x +h y = 0\\
&\Longleftrightarrow \left(a-B\right)x +h y = 0\\
&\Longleftrightarrow \left(a-\frac{1}{x_1}\right)x +h y = 0\\
&\Longleftrightarrow \left(a-\frac{1}{k^2}\right)x +h y = 0.
\end{align*}
En définitive, si $k$ est l’unique solution positive de l’équation caractéristique, alors l’axe transversal de l’hyperbole admet pour équation :
\boxed{\left(a-\frac{1}{k^2}\right)x +h y = 0.}
Trouvez une équation de l’axe conjugué
Les nombres $i\ell = i\sqrt{-x_2}$ et $-i\ell$ sont les deux racines imaginaires pures opposées de l’équation caractéristique.
L’axe conjugué a pour équation $Y=0.$ Comme $\sin \theta \neq 0$ vous obtenez :
\begin{align*}
Y = 0 &\Longleftrightarrow -x\sin\theta+y\cos\theta = 0\\
&\Longleftrightarrow -x\sin^2\theta +y\sin\theta\cos\theta = 0\\
&\Longleftrightarrow -2x\sin^2\theta +2y\sin\theta\cos\theta = 0\\
&\Longleftrightarrow -x(1-\cos2\theta) +y\sin2\theta = 0\\
&\Longleftrightarrow -x\left(1-\frac{b-a}{\delta}\right) +y\frac{-2h}{\delta} = 0\\
&\Longleftrightarrow x\left(1-\frac{b-a}{\delta}\right) +y\frac{2h}{\delta} = 0\\
&\Longleftrightarrow x\left(\delta-b+a\right) +2hy = 0\\
&\Longleftrightarrow x\left(\delta-b-a+2a\right) +2hy = 0\\
&\Longleftrightarrow x\left(\frac{\delta-b-a}{2}+a\right) +hy = 0\\
&\Longleftrightarrow \left(a-\frac{a+b-\delta}{2}\right)x +hy = 0\\
&\Longleftrightarrow \left(a-A\right)x +hy = 0\\
&\Longleftrightarrow \left(a-\frac{1}{x_2}\right)x +hy = 0\\
&\Longleftrightarrow \left(a-\frac{1}{(i\ell)^2}\right)x +hy = 0
\end{align*}
En définitive, si $i\ell$ est l’unique solution imaginaire pure de partie imaginaire positive de l’équation caractéristique, alors l’axe conjugué, qui n’a aucun point d’intersection avec l’hyperbole, admet pour équation :
\boxed{\left(a-\frac{1}{(i\ell)^2}\right)x +h y = 0.}
