248. Trouvez une équation cartésienne d’hyperbole connaissant ses asymptotes et un de ses points

Dans un repère orthonormé $(O, \vv{i}, \vv{j})$ considérez la droite $\mathscr{D}_1$ d’équation $y =x+2$ et la droite $\mathscr{D}_2$ d’équation $y=-2x+4.$

Soit $A(4,3)$ un point du plan n’appartenant ni à la droite $\mathscr{D}_1\comma$ ni à la droite $\mathscr{D}_2.$

Vous obtenez le schéma suivant :

Déterminez une équation de la réunion des deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$

Pour tout point $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})\comma$ vous avez :

\begin{align*} M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow (x-y+2)(2x+y-4)=0\\ &\Longleftrightarrow 2x^2+xy-4x-2xy-y^2+4y+4x+2y-8=0\\ &\Longleftrightarrow 2x^2-xy-y^2+6y-8=0. \end{align*}

Déterminez une équation du second degré satisfaite par les coordonnées du point $A$

Quand vous choisissez $A\comma$ vous avez $x=4$ et $y=3.$

Comme $A$ n’appartient ni à la droite $\mathscr{D}_1\comma$ ni à la droite $\mathscr{D}_2$ en remplaçant dans l’équation obtenue précédemment, vous ne trouverez pas $0.$ Calculez précisément ce que vous obtenez :

\begin{align*} 2x^2-xy-y^2+6y-8 &= 2\times 16-12-9 + 18-8\\ &= 32-21+10\\ &=21. \end{align*}

Proposez une équation du second degré

Soit $\mathscr{H}$ l’ensemble des points $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ satisfaisant l’équation :

\boxed{2x^2-xy-y^2+6y-29=0.}

Les calculs précédents montrent que $A\in\mathscr{H}.$

Vous allez prouver que $\mathscr{H}$ est une hyperbole qui admet les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ pour asymptotes.

Changez d’origine

Cherchez le point d’intersection des droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2.$ Cela conduit à la résolution du système :

\begin{align*} x-y &=-2\\ 2x+y&=4. \end{align*}

La somme des deux lignes fournit $3x = 2$ donc $x = \frac{2}{3}.$

Puis $y=x+2$ donc $y=\frac{2}{3}+2$ d’où $y=\frac{8}{3}.$

Ainsi le point $\Omega\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right)$ est bien le point d’intersection des droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2.$

Pour tout point $M$ du plan vous notez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ et $(x’,y’)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega, \vv{i}, \vv{j}).$

Les relations suivantes traduisent ce changement :

\begin{align*} x' &= x-\frac{2}{3}\\ y' &= y-\frac{8}{3}. \end{align*}

De là vous déduisez une équation de la réunion $\mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2$ :

\begin{align*} M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow 2\left(x'+\frac{2}{3}\right)^2-\left(x'+\frac{2}{3}\right)\left(y'+\frac{8}{3}\right)-\left(y'+\frac{8}{3}\right)^2+6\left(y'+\frac{8}{3}\right)-8=0\\ &\Longleftrightarrow 2\left(x'^2+\frac{4}{9}+\frac{4}{3}x'\right)-\left(x'y'+\frac{8}{3}x'+\frac{2}{3}y'+\frac{16}{9}\right)\\ &\qquad -\left(y'^2+\frac{64}{9}+\frac{16}{3}y'\right)+6y'+16-8=0\\ &\Longleftrightarrow 2x'^2+\frac{8}{9}+\frac{8}{3}x'-x'y'-\frac{8}{3}x'-\frac{2}{3}y'-\frac{16}{9}\\ &\qquad -y'^2-\frac{64}{9}-\frac{16}{3}y'+6y'+8=0\\ &\Longleftrightarrow 18x'^2+8-9x'y'-6y'-16-9y'^2-64-48y'+54y'+72=0\\ &\Longleftrightarrow 18x'^2-9x'y'-9y'^2=0\\ &\Longleftrightarrow 2x'^2-x'y'-y'^2=0. \end{align*}

Note. Vous constatez que vous obtenez une équation qui commence par les mêmes termes que l’équation initiale, sans les termes de degré $1.$

Comme l’équation de l’ensemble $\mathscr{H}$ diffère d’un terme constant par rapport à l’équation proposée de $\mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2$ vous obtenez :

\begin{align*} M\in \mathscr{H} &\Longleftrightarrow 2\left(x'+\frac{2}{3}\right)^2-\left(x'+\frac{2}{3}\right)\left(y'+\frac{8}{3}\right)-\left(y'+\frac{8}{3}\right)^2+6\left(y'+\frac{8}{3}\right)-29=0\\ &\Longleftrightarrow 2x'^2-x'y'-y'^2=21. \end{align*}

Effectuez une rotation des axes du repère

Soit $\theta$ un nombre réel que vous choisirez plus tard. Faites subir à la base $(\vv{i}, \vv{j})$ une rotation d’angle $\theta\comma$ ce qui fournit une nouvelle base $(\vv{u},\vv{v}).$

Pour tout point $M$ du plan, notez $(x’,y’)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega, \vv{i}, \vv{j}).$ Notez $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega, \vv{u}, \vv{v}).$

Le lien entre $(x’,y’)$ et $(X,Y)$ est le suivant :

\begin{align*} x'&=X\cos\theta-Y\sin\theta \\ y'&=X\sin\theta+Y\cos\theta. \end{align*}

Alors, il vient :

\begin{align*} M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow 2x'^2-x'y'-y'^2=0 \\ &\Longleftrightarrow 2(X\cos\theta-Y\sin\theta)^2 – (X\cos\theta-Y\sin\theta)(X\sin\theta+Y\cos\theta)\\ &\qquad -(X\sin\theta+Y\cos\theta)^2=0\\ &\Longleftrightarrow 2(X^2\cos^2 \theta+Y^2\sin^2\theta – 2XY\sin\theta\cos\theta)\\ &\qquad -(X^2\sin\theta\cos\theta + XY(\cos^2\theta-\sin^2\theta) – Y^2\sin\theta\cos\theta)\\ &\qquad -(X^2\sin^2\theta+Y^2\cos^2\theta+2XY\sin\theta\cos\theta)=0\\ &\Longleftrightarrow (2\cos^2\theta – \sin\theta\cos\theta – \sin^2\theta)X^2\\ &\qquad +(-6\sin\theta\cos\theta +\sin^2\theta – \cos^2\theta )XY\\ &\qquad +(2\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta) Y^2=0\\ &\Longleftrightarrow (2\cos^2\theta – \sin\theta\cos\theta – \sin^2\theta)X^2\\ &\qquad +(-3\sin2\theta – \cos 2\theta )XY\\ &\qquad +(2\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta) Y^2=0. \end{align*}

Vous allez obtenir de même que :

\begin{align*} M\in \mathscr{H} &\Longleftrightarrow (2\cos^2\theta – \sin\theta\cos\theta – \sin^2\theta)X^2\\ &\qquad +(-3\sin2\theta – \cos 2\theta )XY\\ &\qquad +(2\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta) Y^2=21 \\ &\Longleftrightarrow (4\cos^2\theta – 2\sin\theta\cos\theta – 2\sin^2\theta)X^2\\ &\qquad +(-6\sin2\theta – 2\cos 2\theta )XY\\ &\qquad +(4\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta-2\cos^2\theta) Y^2=42 \\ &\Longleftrightarrow \left(4\frac{1+\cos 2\theta}{2} – \sin2\theta – 2\frac{1-\cos 2\theta}{2}\right)X^2\\ &\qquad +(-6\sin2\theta – 2\cos 2\theta )XY\\ &\qquad +\left(4\frac{1-\cos 2\theta}{2}+\sin2\theta-2\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right) Y^2=42 \\ &\Longleftrightarrow \left(2+2\cos 2\theta – \sin2\theta – 1+\cos 2\theta\right)X^2\\ &\qquad +(-6\sin2\theta – 2\cos 2\theta )XY\\ &\qquad +\left(2-2\cos 2\theta+\sin2\theta-1-\cos 2\theta\right) Y^2=42 \\ &\Longleftrightarrow \left(3\cos 2\theta – \sin2\theta + 1\right)X^2+(-6\sin2\theta – 2\cos 2\theta )XY\\ &\qquad +\left(-3\cos 2\theta+\sin2\theta+1\right) Y^2=42. \end{align*}

Vous obtenez donc :

\begin{align*} M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow \left(3\cos 2\theta – \sin2\theta + 1\right)X^2+(-6\sin2\theta – 2\cos 2\theta )XY\\ &\qquad +\left(-3\cos 2\theta+\sin2\theta+1\right) Y^2=0. \end{align*}

Note. Excepté le membre de droite, vous constatez que l’ensemble $\mathscr{H}$ et la réunion $\mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2$ admettent des termes strictement identiques.

Choisissez convenablement l’angle de rotation

Le point clé est de choisir le réel $\theta$ afin d’annuler le terme croisé. Vous cherchez donc $\theta\in\R$ tel que :

\begin{align*} -6\sin2\theta – 2\cos 2\theta&=0\\ -3\sin2\theta – \cos 2\theta&=0\\ 3\sin2\theta + \cos 2\theta&=0\\ \frac{3}{\sqrt{10}}\sin2\theta +\frac{1}{\sqrt{10}} \cos 2\theta&=0. \end{align*}

Comme le point de coordonnées $\left(\frac{3}{\sqrt{10}}, -\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$ appartient au cercle trigonométrique, il existe un réel $\varphi \in]-\pi, \pi]$ tel que :

\left\{ \begin{align*} \cos\varphi &= \frac{3}{\sqrt{10}}\\ \sin\varphi &= -\frac{1}{\sqrt{10}}. \end{align*}\right.

Note. Après conversion du réel $\varphi$ en degrés, vous obtenez $-18{,}43°$ environ.

En choisissant $\theta = \frac{\varphi}{2}$ (ce qui correspond à environ $-9{,}22°$), vous obtenez :

\begin{align*} \cos 2\theta &= \cos \varphi = \frac{3}{\sqrt{10}}\\ \sin 2\theta &= \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{10}}. \end{align*}

Du coup :

\begin{align*} \frac{3}{\sqrt{10}}\sin2\theta +\frac{1}{\sqrt{10}} \cos 2\theta&= \cos 2\theta\sin2\theta – \sin2\theta\cos2\theta\\ &=0. \end{align*}

Le terme croisé est bien annulé.

Vous calculez maintenant le coefficient de $X^2$ :

\begin{align*} 3\cos 2\theta – \sin2\theta + 1 &= \frac{9}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{10}}+1\\ &= \frac{10}{\sqrt{10}}+1\\ &= \sqrt{10}+1. \end{align*}

Vous calculez maintenant le coefficient de $Y^2$ :

\begin{align*} -3\cos 2\theta+\sin2\theta+1 &= \frac{-9}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}}+1\\ &= \frac{-10}{\sqrt{10}}+1\\ &= 1-\sqrt{10}. \end{align*}

Dans le repère $(\Omega, \vv{u}, \vv{v})$ vous obtenez :

\begin{align*} M\in \mathscr{H} &\Longleftrightarrow (1+\sqrt{10})X^2 +(1-\sqrt{10}) Y^2=42\\ M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow (1+\sqrt{10})X^2 +(1-\sqrt{10}) Y^2=0. \end{align*}

Vous posez $a = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{1+\sqrt{10}}}$ et $b = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{\sqrt{10}-1}}.$

Vous obtenez finalement :

\boxed{\begin{align*} M\in \mathscr{H} &\Longleftrightarrow \frac{X^2}{a^2} – \frac{Y^2}{b^2}=1\\ M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow \frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=0. \end{align*}}

Ainsi, l’ensemble $\mathscr{H}$ est bien une hyperbole, dont les asymptotes sont les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2.$

Tracez l’hyperbole $\mathscr{H}$ et ses asymptotes

Numériquement, $a\approx 3{,}18$ et $b\approx 4{,}41.$

L’égalité $c^2=a^2+b^2$ permet de placer les foyers $F$ et $F’$ sur l’axe transversal qui passe par le point $\Omega$ étant donné que $c = \Omega F = \Omega F’$ et que $\Omega$ est le milieu du segment $[FF’].$