Dans un repère orthonormé $(O, \vv{i}, \vv{j})$ considérez la droite $\mathscr{D}_1$ d’équation $y =x+2$ et la droite $\mathscr{D}_2$ d’équation $y=-2x+4.$
Soit $A(4,3)$ un point du plan n’appartenant ni à la droite $\mathscr{D}_1$, ni à la droite $\mathscr{D}_2.$
Vous obtenez le schéma suivant :
{{INSERT_ARTICLE_IMAGE}}Déterminez une équation de la réunion des deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$
Pour tout point $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j}):$
\begin{align*}
M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow (x-y+2)(2x+y-4)=0\\
&\Longleftrightarrow 2x^2+xy-4x-2xy-y^2+4y+4x+2y-8=0\\
&\Longleftrightarrow 2x^2-xy-y^2+6y-8=0.
\end{align*}Déterminez une équation du second degré satisfaite par les coordonnées du point $A$
Quand vous choisissez $A$, vous avez $x=4$ et $y=3.$
Comme $A$ n’appartient ni à la droite $\mathscr{D}_1$, ni à la droite $\mathscr{D}_2$ en remplaçant dans l’équation obtenue précédemment, vous ne trouverez pas $0.$ Calculez précisément ce que vous obtenez :
\begin{align*}
2x^2-xy-y^2+6y-8 &= 2\times 16-12-9 + 18-8\\
&= 32-21+10\\
&=21.
\end{align*}Proposez une équation du second degré
Soit $\mathscr{H}$ l’ensemble des points $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ satisfaisant l’équation :
\boxed{2x^2-xy-y^2+6y-29=0.}Les calculs précédents montrent que $A\in\mathscr{H}.$
Vous allez prouver que $\mathscr{H}$ est une hyperbole qui admet les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ pour asymptotes.
Changez d’origine
Cherchez le point d’intersection des droites $\mathscr{D}_1$ et des droites $\mathscr{D}_2.$ Cela conduit à la résolution du système :
\begin{align*}
x-y &=-2\\
2x+y&=4.
\end{align*}La somme des deux lignes fournit $3x = 2$ donc $x = \frac{2}{3}.$
Puis $y=x+2$ donc $y=\frac{2}{3}+2$ d’où $y=\frac{8}{3}.$
Ainsi le point $\Omega\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right)$ est bien le point d’intersection des droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2.$
Pour tout point $M$ du plan vous notez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ et $(x’,y’)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega, \vv{i}, \vv{j}).$
Les relations suivantes traduisent ce changement :
\begin{align*}
x' &= x-\frac{2}{3}\\
y' &= y-\frac{8}{3}.
\end{align*}De là vous déduisez une équation de la réunion $\mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2:$
\begin{align*}
M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow 2\left(x'+\frac{2}{3}\right)^2-\left(x'+\frac{2}{3}\right)\left(y'+\frac{8}{3}\right)-\left(y'+\frac{8}{3}\right)^2+6\left(y'+\frac{8}{3}\right)-8=0\\
&\Longleftrightarrow 2\left(x'^2+\frac{4}{9}+\frac{4}{3}x'\right)-\left(x'y'+\frac{8}{3}x'+\frac{2}{3}y'+\frac{16}{9}\right)\\
&\qquad -\left(y'^2+\frac{64}{9}+\frac{16}{3}y'\right)+6y'+16-8=0\\
&\Longleftrightarrow 2x'^2+\frac{8}{9}+\frac{8}{3}x'-x'y'-\frac{8}{3}x'-\frac{2}{3}y'-\frac{16}{9}\\
&\qquad -y'^2-\frac{64}{9}-\frac{16}{3}y'+6y'+8=0\\
&\Longleftrightarrow 18x'^2+8-9x'y'-6y'-16-9y'^2-64-48y'+54y'+72=0\\
&\Longleftrightarrow 18x'^2-9x'y'-9y'^2=0\\
&\Longleftrightarrow 2x'^2-x'y'-y'^2=0.
\end{align*}Note. Vous constatez que vous obtenez une équation qui commence par les mêmes termes que l’équation initiale, sans les termes de degré $1.$
Comme l’équation de l’ensemble $\mathscr{H}$ diffère d’un terme constant par rapport à l’équation proposée de $\mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2$ vous obtenez :
\begin{align*}
M\in \mathscr{H} &\Longleftrightarrow 2\left(x'+\frac{2}{3}\right)^2-\left(x'+\frac{2}{3}\right)\left(y'+\frac{8}{3}\right)-\left(y'+\frac{8}{3}\right)^2+6\left(y'+\frac{8}{3}\right)-29=0\\
&\Longleftrightarrow 2x'^2-x'y'-y'^2=21.
\end{align*}Effectuez une rotation des axes du repère
Soit $\theta$ un nombre réel que vous choisirez plus tard. Faites subir à la base $(\vv{i}, \vv{j})$ une rotation de l’angle $\theta$ ce qui fournit une nouvelle base $(\vv{u},\vv{v}).$
Pour tout point $M$ du plan, notez $(x’,y’)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega, \vv{i}, \vv{j})$. Notez $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega, \vv{u}, \vv{v}).$
Le lien entre $(x’,y’)$ et $(X,Y)$ est le suivant :
\begin{align*}
x'&=X\cos\theta-Y\sin\theta \\
y'&=X\sin\theta+Y\cos\theta.
\end{align*}Alors, il vient :
\begin{align*}
M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow 2x'^2-x'y'-y'^2=0 \\
&\Longleftrightarrow 2(X\cos\theta-Y\sin\theta)^2 - (X\cos\theta-Y\sin\theta)(X\sin\theta+Y\cos\theta)\\
&\qquad -(X\sin\theta+Y\cos\theta)^2=0\\
&\Longleftrightarrow 2(X^2\cos^2 \theta+Y^2\sin^2\theta - 2XY\sin\theta\cos\theta)\\
&\qquad -(X^2\sin\theta\cos\theta + XY(\cos^2\theta-\sin^2\theta) - Y^2\sin\theta\cos\theta)\\
&\qquad -(X^2\sin^2\theta+Y^2\cos^2\theta+2XY\sin\theta\cos\theta)=0\\
&\Longleftrightarrow (2\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta - \sin^2\theta)X^2\\
&\qquad +(-6\sin\theta\cos\theta +\sin^2\theta - \cos^2\theta )XY\\
&\qquad +(2\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta) Y^2=0\\
&\Longleftrightarrow (2\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta - \sin^2\theta)X^2\\
&\qquad +(-3\sin2\theta - \cos 2\theta )XY\\
&\qquad +(2\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta) Y^2=0.
\end{align*}Vous allez obtenir de même que :
\begin{align*}
M\in \mathscr{H}
&\Longleftrightarrow (2\cos^2\theta - \sin\theta\cos\theta - \sin^2\theta)X^2\\
&\qquad +(-3\sin2\theta - \cos 2\theta )XY\\
&\qquad +(2\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta) Y^2=21 \\
&\Longleftrightarrow (4\cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta - 2\sin^2\theta)X^2\\
&\qquad +(-6\sin2\theta - 2\cos 2\theta )XY\\
&\qquad +(4\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta-2\cos^2\theta) Y^2=42 \\
&\Longleftrightarrow \left(4\frac{1+\cos 2\theta}{2} - \sin2\theta - 2\frac{1-\cos 2\theta}{2}\right)X^2\\
&\qquad +(-6\sin2\theta - 2\cos 2\theta )XY\\
&\qquad +\left(4\frac{1-\cos 2\theta}{2}+\sin2\theta-2\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right) Y^2=42 \\
&\Longleftrightarrow \left(2+2\cos 2\theta - \sin2\theta - 1+\cos 2\theta\right)X^2\\
&\qquad +(-6\sin2\theta - 2\cos 2\theta )XY\\
&\qquad +\left(2-2\cos 2\theta+\sin2\theta-1-\cos 2\theta\right) Y^2=42 \\
&\Longleftrightarrow \left(3\cos 2\theta - \sin2\theta + 1\right)X^2+(-6\sin2\theta - 2\cos 2\theta )XY\\
&\qquad +\left(-3\cos 2\theta+\sin2\theta+1\right) Y^2=42.
\end{align*}Vous obtenez donc :
\begin{align*}
M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow \left(3\cos 2\theta - \sin2\theta + 1\right)X^2+(-6\sin2\theta - 2\cos 2\theta )XY\\
&\qquad +\left(-3\cos 2\theta+\sin2\theta+1\right) Y^2=0.
\end{align*}Note. Excepté le membre de droite, vous constatez que l’ensemble $\mathscr{H}$ et la réunion $\mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2$ admettent des termes strictement identiques.
Choisissez convenablement l’angle de rotation
Le point clé est de choisir le réel $\theta$ afin d’annuler le terme croisé. Vous cherchez donc $\theta\in\R$ tel que :
\begin{align*}
-6\sin2\theta - 2\cos 2\theta&=0\\
-3\sin2\theta - \cos 2\theta&=0\\
3\sin2\theta + \cos 2\theta&=0\\
\frac{3}{\sqrt{10}}\sin2\theta +\frac{1}{\sqrt{10}} \cos 2\theta&=0.
\end{align*}Comme le point de coordonnées $\left(\frac{3}{\sqrt{10}}, -\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$ appartient au cercle trigonométrique, il existe un réel $\varphi \in]-\pi, \pi]$ tel que :
\left\{
\begin{align*}
\cos\varphi &= \frac{3}{\sqrt{10}}\\
\sin\varphi &= -\frac{1}{\sqrt{10}}.
\end{align*}\right.Note. Après conversion du réel $\varphi$ en degrés, vous obtenez $-18,43°$ environ.
En choisissant $\theta = \frac{\varphi}{2}$ (ce qui correspond à environ $-9,22°$) vous obtenez :
\begin{align*}
\cos 2\theta &= \cos \varphi = \frac{3}{\sqrt{10}}\\
\sin 2\theta &= \sin \varphi = -\frac{1}{\sqrt{10}}.
\end{align*}Du coup :
\begin{align*}
\frac{3}{\sqrt{10}}\sin2\theta +\frac{1}{\sqrt{10}} \cos 2\theta&= \cos 2\theta\sin2\theta - \sin2\theta\cos2\theta\\
&=0.
\end{align*}Le terme croisé est bien annulé.
Vous calculez maintenant le coefficient de $X^2:$
\begin{align*}
3\cos 2\theta - \sin2\theta + 1 &= \frac{9}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{10}}+1\\
&= \frac{10}{\sqrt{10}}+1\\
&= \sqrt{10}+1.
\end{align*}
Vous calculez maintenant le coefficient de $Y^2:$
\begin{align*}
-3\cos 2\theta+\sin2\theta+1 &= \frac{-9}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}}+1\\
&= \frac{-10}{\sqrt{10}}+1\\
&= 1-\sqrt{10}.
\end{align*}
Dans le repère $(\Omega, \vv{u}, \vv{v})$ vous obtenez :
\begin{align*}
M\in \mathscr{H}
&\Longleftrightarrow (1+\sqrt{10})X^2 +(1-\sqrt{10}) Y^2=42\\
M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow (1+\sqrt{10})X^2 +(1-\sqrt{10}) Y^2=0.
\end{align*}Vous posez $a = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{1+\sqrt{10}}}$ et $b = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{\sqrt{10}-1}.}$
Vous obtenez finalement :
\boxed{\begin{align*}
M\in \mathscr{H}
&\Longleftrightarrow \frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2}=1\\
M\in \mathscr{D}_1\cup \mathscr{D}_2 &\Longleftrightarrow \frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=0.
\end{align*}}Ainsi, l’ensemble $\mathscr{H}$ est bien une hyperbole, dont les asymptotes sont les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2.$
Tracez l’hyperbole $\mathscr{H}$ et ses asymptotes
Numériquement, $a\approx 3,18$ et $b\approx 4,41.$
L’égalité $c^2=a^2+b^2$ permet de placer les foyers $F$ et $F’$ sur l’axe transversal qui passe par le point $\Omega$ étant donné que $c = \Omega F = \Omega F’$ et que $\Omega$ est le milieu du segment $[FF’].$
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