Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O, \vv{i}, \vv{j})$ vous considérez l’ensemble $\mathscr{P}$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ qui satisfont l’équation suivante :
x^2-4xy+4y^2-12x-6y-39=0.
Dans ce qui suit vous allez justifier que l’ensemble $\mathscr{P}$ est une parabole dont vous préciserez les coordonnées de son sommet et celles de son foyer.
Eliminez le fait que l’ensemble $\mathscr{P}$ ne soit pas à centre
Le début de l’équation formé par les termes de degré $2$ à savoir :
x^2-4xy+4y^2
est de la forme :
ax^2+2hxy+by^2.
Comme :
\left\{\begin{align*}
a&=1\\
h&=-2\\
b&=4
\end{align*}\right.Vous déduisez $ab-h^2 = 0.$
Cela exclut le fait d’avoir une conique à centre.
Pour s’en convaincre, fixez un couple de réels $(u,v)$ et essayez de poser :
\left\{\begin{align*}
x'&=x-u\\
y'&=y-v.
\end{align*}\right.Vous déduisez la série d’équivalences suivante :
\begin{align*}
x^2-4xy+4y^2-12x-6y-39=0 &\Longleftrightarrow (x'+u)^2-4(x'+u)(y'+v)+4(y'+v)^2\\
&\qquad -12(x'+u)-6(y'+v)-39=0\\
&\Longleftrightarrow x'^2+u^2+2ux' -4(x'y'+vx'+uy'+uv)+4(y'^2+v^2+2vy')\\
&\qquad -12(x'+u)-6(y'+v)-39=0\\
&\Longleftrightarrow x'^2-4x'y'+4y'^2+(2u-4v-12)x'+(-4u+8v-6)y'\\
&\qquad u^2-4uv+4v^2-12u-6v-39=0.
\end{align*}L’annulation des deux termes en $x’$ et en $y’$ conduirait à ceci :
\left\{\begin{align*}
2u-4v-12&=0\quad (L_1)\\
-4u+8v-6&=0\quad (L_2)
\end{align*}\right.L’opération élémentaire $L_2\leftarrow L_2+2L_1$ fournit une impossibilité :
\begin{align*}
-4u+8v-6 + 2(2u-4v-12) &= 0 \\
-6-24 &=0.
\end{align*}Le changement d’origine du repère ne semble pas adapté en première intention.
Vous allez donc continuer mais en effectuant une rotation du repère.
Effectuez une rotation
Soit $\theta$ un nombre réel qui sera choisi plus tard. Appliquez une rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ vis-à-vis du repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ vous obtenez un nouveau repère orthonormé $(O, \vv{u}, \vv{v}).$
Pour tout point $M$ du plan, notez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ et $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v}).$ Vous avez les relations suivantes :
\begin{align*}
x&=X\cos\theta -Y\sin\theta\\
y&=X\sin\theta + Y\cos\theta.
\end{align*}La série d’équivalences suivante fournit :
\begin{align*}
M\in\mathscr{P} &\Longleftrightarrow x^2-4xy+4y^2-12x-6y-39=0\\
&\Longleftrightarrow (X\cos\theta -Y\sin\theta)^2-4(X\cos\theta -Y\sin\theta)(X\sin\theta + Y\cos\theta)\\
&\qquad+4(X\sin\theta + Y\cos\theta)^2\\
&\qquad-12(X\cos\theta -Y\sin\theta)-6(X\sin\theta + Y\cos\theta)-39=0\\
&\Longleftrightarrow (\cos^2\theta-4\sin\theta\cos\theta+4\sin^2\theta)X^2\\
&\qquad +(-2\sin\theta\cos\theta-4\cos^2\theta+4\sin^2\theta+8\sin\theta\cos\theta)XY\\
&\qquad +(\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta+4\cos^2\theta)Y^2\\
&\qquad + (-12\cos\theta-6\sin\theta)X+(12\sin\theta-6\cos\theta)Y-39=0\\
&\Longleftrightarrow (\cos^2\theta-4\sin\theta\cos\theta+4\sin^2\theta)X^2\\
&\qquad +(-4\cos^2\theta+4\sin^2\theta+6\sin\theta\cos\theta)XY\\
&\qquad +(\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta+4\cos^2\theta)Y^2\\
&\qquad + (-12\cos\theta-6\sin\theta)X+(12\sin\theta-6\cos\theta)Y-39=0.
\end{align*}
Pour annuler le terme croisé $XY$ il faut et il suffit de choisir $\theta$ pour avoir :
\begin{align*}
-4\cos^2\theta+4\sin^2\theta+6\sin\theta\cos\theta &= 0\\
-4\frac{1+\cos 2\theta}{2}+4\frac{1-\cos 2\theta}{2}+3\sin 2\theta &= 0\\
-2(1+\cos 2\theta)+2(1-\cos 2\theta)+3\sin 2\theta &= 0\\
-4\cos 2\theta+3\sin 2\theta &= 0\\
\frac{-4}{5}\cos 2\theta +\frac{3}{5}\sin 2\theta &=0.
\end{align*}Soit maintenant $\varphi$ l’unique réel appartenant à l’intervalle $\boxed{]0, \pi/2[}$ tel que:
\boxed{\begin{align*}
\cos \varphi &= \frac{3}{5}\\
\sin \varphi &= \frac{4}{5}.
\end{align*}}Vous pouvez choisir $\theta \in\left\{ \frac{\varphi}{2} , \frac{\varphi+\pi}{2}\right\}.$
Dans tous les cas vous aurez $2\theta \in \left\{ \varphi, \varphi+\pi\right\}$ donc $2\theta – \varphi \in \{0,\pi\}.$
Cela conduit à avoir:
\begin{align*}
\sin (2\theta - \varphi) &= 0\\
\sin 2\theta \cos \varphi - \cos 2\theta \sin \varphi &= 0\\
\frac{3}{5}\sin 2\theta - \frac{4}{5}\cos 2\theta &= 0.
\end{align*}
Et par suite le terme croisé est nul:
4\cos^2\theta+4\sin^2\theta+6\sin\theta\cos\theta = 0.
Testez le choix $\theta = \varphi/2$
Pour la suite des calculs, remarquez que:
\begin{align*}
\cos 2\theta = \cos \varphi &= \frac{3}{5}\\
\sin 2\theta = \sin \varphi &= \frac{4}{5}.
\end{align*}Calculez le terme en $X^2:$
\begin{align*}
\cos^2\theta-4\sin\theta\cos\theta+4\sin^2\theta &= \frac{1+\cos 2\theta}{2}-2\sin 2\theta + 2(1-\cos 2\theta)\\
&= \frac{1+\frac{3}{5}}{2}-\frac{8}{5}+2\times\frac{2}{5}\\
&= \frac{4}{5}-\frac{8}{5}+\frac{4}{5}\\
&=0.
\end{align*}
Le calcul du terme en $Y^2$ est rapide puisque:
\begin{align*}
\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta+4\cos^2\theta &= 5-(\cos^2\theta-4\sin\theta\cos\theta+4\sin^2\theta)\\
&=5.
\end{align*}Ce choix de $\theta$ conduirait à une équation qui commencerait par $5Y^2+\dots X +\dots Y – 39=0$ ce qui est possible à étudier, mais vous préférerez avoir plutôt une équation de la forme $Y=f(X)$ ce qui conduit à chercher à annuler le terme en $Y^2.$
Pour y parvenir, vous prenez l’autre possibilité pour l’angle $\theta.$
Effectuez le choix $\theta = \frac{\varphi+\pi}{2}$
Alors:
\begin{align*}
\cos 2\theta = \cos (\varphi+\pi) &= -\frac{3}{5}\\
\sin 2\theta = \sin (\varphi+\pi) &= -\frac{4}{5}.
\end{align*}Calculez le terme en $X^2:$
\begin{align*}
\cos^2\theta-4\sin\theta\cos\theta+4\sin^2\theta &= \frac{1+\cos 2\theta}{2}-2\sin 2\theta + 2(1-\cos 2\theta)\\
&= \frac{1-\frac{3}{5}}{2}+\frac{8}{5}+2\times\frac{8}{5}\\
&= \frac{1}{5}+\frac{8}{5}+\frac{16}{5}\\
&=5.
\end{align*}
Le terme en $Y^2$ est donc égal à $0:$
\begin{align*}
\sin^2\theta+4\sin\theta\cos\theta+4\cos^2\theta &= 5-(\cos^2\theta-4\sin\theta\cos\theta+4\sin^2\theta)\\
&=5-5\\
&=0.
\end{align*}Pour calculer les deux termes restants, il vous manque $\cos\theta$ et $\sin\theta.$
\begin{align*}
\cos^2\theta &= \frac{1+\cos 2\theta}{2}\\
&= \frac{1-\frac{3}{5}}{2}\\
&=\frac{1}{5}.
\end{align*}Il a été vu plus haut que $ \varphi \in ]0, \pi/2[$ d’où $ \varphi +\pi \in ]\pi, 3\pi/2[$ et donc $ \frac{\varphi +\pi}{2} \in ]\pi/2, 3\pi/4[ \subset ]\pi /2 , \pi[.$ Ainsi $\theta \in ]\pi /2 , \pi[$ donc $\cos \theta < 0.$
Il vient ainsi:
\boxed{\begin{align*}
\cos \theta &=-\frac{1}{\sqrt{5}}\\
&= -\frac{\sqrt{5}}{5}.
\end{align*}}En procédant de même:
\begin{align*}
\sin^2\theta &= 1- \cos^2\theta\\
&=1-\frac{1}{5}\\
&=\frac{4}{5}.
\end{align*}Comme $\theta \in ]\pi /2 , \pi[$ il vient $\sin \theta > 0.$
Il vient ainsi:
\boxed{\begin{align*}
\sin \theta &=\frac{2}{\sqrt{5}}\\
&= \frac{2\sqrt{5}}{5}.
\end{align*}}Note. En degrés, l’angle $\theta$ admet pour mesure $116,57°$ au centième de degré.
Vous calculez maintenant le terme en $X:$
\begin{align*}
-12\cos\theta-6\sin\theta &= -12\times \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)-6\times \frac{2\sqrt{5}}{5}\\
&=\frac{12\sqrt{5}-12\sqrt{5}}{5}\\
&=0.
\end{align*}
Vous calculez maintenant le terme en $Y:$
\begin{align*}
12\sin\theta-6\cos\theta &= 12\times \frac{2\sqrt{5}}{5} - 6\times \left( -\frac{\sqrt{5}}{5}\right) \\
&=\frac{24\sqrt{5}+6\sqrt{5}}{5}\\
&=\frac{30\sqrt{5}}{5}\\
&=6\sqrt{5}.
\end{align*}Résumez la situation
Pour tout point $M$ du plan, notez $(x,y)$ ses coordonnées dans le repère original $(O, \vv{i}, \vv{j})$ puis notez $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v})$ obtenu en faisant subir à la base $(\vv{i}, \vv{j})$ une rotation d’angle $\theta\in ]\pi/2, \pi[$ tel que $\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ et $\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}.$
Vous avez alors obtenu les équivalences suivantes valables pour tout point $M$ du plan :
\begin{align*}
M\in \mathscr{P} & \Longleftrightarrow x^2-4xy+4y^2-12x-6y-39=0 \\
& \Longleftrightarrow 5X^2 + 6\sqrt{5}Y -39=0\\
& \Longleftrightarrow 5X^2 = -6\sqrt{5}Y +39\\
& \Longleftrightarrow 5\sqrt{5}X^2 = -30Y +39\sqrt{5}\\
& \Longleftrightarrow \frac{5\sqrt{5}}{30}X^2 = -Y +\frac{39\sqrt{5}}{30}\\
&\Longleftrightarrow \frac{\sqrt{5}}{6}X^2 = -Y +\frac{13\sqrt{5}}{10}\\
&\Longleftrightarrow -\frac{\sqrt{5}}{6}X^2 = Y -\frac{13\sqrt{5}}{10}.
\end{align*}
Vous considérez alors le point $S$ ayant pour coordonnées $S\left(0, \frac{13\sqrt{5}}{10}\right)$ dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v}).$
Pour tout point $M$ du plan, notez $(X’,Y’)$ ses coordonnées dans le repère $(S, \vv{u}, \vv{v})$ vous avez :
\begin{align*}
M\in \mathscr{P} &
&\Longleftrightarrow -\frac{\sqrt{5}}{6}X'^2 = Y'.
\end{align*}
Cette équation est de la forme $Y’ = \frac{X’^2}{4p}$ où :
\begin{align*}
4p &= \frac{-6}{\sqrt{5}}\\
2p &=\frac{-3}{\sqrt{5}}\\
p &=\frac{-3\sqrt{5}}{10}.
\end{align*}Ainsi l’ensemble $\mathscr{P}$ est la parabole de sommet $S$ et de foyer $F$, où $F$ est le point de coordonnées $\left(0, \frac{-3\sqrt{5}}{10}\right)$ dans le repère $(S, \vv{u}, \vv{v}).$
Déterminez les coordonnées du sommet $S$ dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$
Quand vous choisissez le point $S$, vous avez obtenu comme coordonnées dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v})$ :
\begin{align*}
X&=0\\
Y&=\frac{13\sqrt{5}}{10}.
\end{align*}Or, vous avez la relation :
\begin{align*}
x&=X\cos\theta -Y\sin\theta\\
y&=X\sin\theta + Y\cos\theta.
\end{align*}Celle-ci s’écrit :
\begin{align*}
x&= -\frac{13\sqrt{5}}{10} \times \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{-13\times 2}{10} = \frac{-13}{5}\\
y&= \frac{13\sqrt{5}}{10}\times\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{-13}{10}.
\end{align*}Le sommet $S$ de la parabole $\mathscr{P}$ a pour coordonnées $(-2,6; -1,3)$ dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j}).$
Déterminez les coordonnées du foyer $F$ dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$
Dans le repère $(S, \vv{u}, \vv{v})$ le foyer $F$ admet pour coordonnées $\left(0, \frac{-3\sqrt{5}}{10}\right).$
Donc :
\vv{SF} = \frac{-3\sqrt{5}}{10} \vv{v}.Dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v})$ le sommet $S$ admet pour coordonnées $\left(0, \frac{13\sqrt{5}}{10}\right).$
Autrement dit :
\vv{OS} = \frac{13\sqrt{5}}{10} \vv{v}.Grâce à la relation de Chasles :
\begin{align*}
\vv{OF} &= \vv{OS}+\vv{SF}\\
&=\frac{13\sqrt{5}}{10} \vv{v} + \frac{-3\sqrt{5}}{10} \vv{v}\\
&=\sqrt{5}\vv{v}.
\end{align*}Donc dans le repère $(O, \vv{u}, \vv{v})$ les coordonnées du sommet $S$ sont :
\begin{align*}
X &= 0 \\
Y &=\sqrt{5}.
\end{align*}
Du coup, dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ le sommet $S$ admet pour coordonnées :
\begin{align*}
x&=X\cos\theta -Y\sin\theta\\
y&=X\sin\theta + Y\cos\theta.
\end{align*}Soit :
\begin{align*}
x&= -\sqrt{5}\times \frac{2\sqrt{5}}{5} = -2\\
y&= \sqrt{5}\times \frac{-\sqrt{5}}{5} = -1.
\end{align*}Dans le repère $(O, \vv{i}, \vv{j})$ le foyer $F$ admet pour coordonnées $(-2,-1).$
Visualisez la parabole $\mathscr{P}$
L’étude effectuée permet de confirmer la représentation graphique ci-dessous :
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