L’objectif de cette série d’articles est de démontrer l’existence de la fonction exponentielle réelle et d’établir ses principales propriétés.
Plus précisément, vous démontrerez qu’il existe une fonction notée $e : \R\to\R$ résolvant le problème dit de Cauchy :
\begin{array}{l}
e(0)=1\\
e\text{ est dérivable sur }\R\\
\forall x\in\R, e'(x) = e(x).
\end{array}De plus, elle vérifie les propriétés suivantes :
\begin{array}{l}
\forall x\in\R, e(x) > 0.\\
\forall (x,y)\in\R^2, e(x+y) = e(x)e(y)\\
\forall x\in\R, \forall n\in\N, e(nx)=[e(x)]^n.
\end{array}Trouvez l’idée d’une suite qui réalise l’approximation d’une telle fonction
Supposez un instant que la fonction $e$ existe.
Comme elle est dérivable, elle vérifie, quand $x$ est proche de $0$ : $e(x)\approx e(0)+e'(0)x$ et donc $e(x) \approx 1+x.$
Soit maintenant $x$ un réel fixé.
Choisissez un entier $n$ suffisamment grand de sorte que $\frac{x}{n}$ soit proche de $0.$
Alors $e\left(\frac{x}{n}\right)\approx 1+\frac{x}{n}$ et en élevant à la puissance $n$, il vient :
\begin{align*}
e(x) &= e\left(\frac{x}{n}\times n\right)\\
&= \left[e\left(\frac{x}{n}\right)\right]^n\\
&\approx \left(1+\frac{x}{n}\right)^n.
\end{align*}Dans la suite, vous poserez :
\boxed{\forall x\in\R, \forall n\in\NN, e_n(x) = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n.}Vous noterez alors $E$ l’ensemble des réels $x$ pour lesquels la suite $\left(e_n(x)\right)_{n\geq 1}$ converge vers un nombre réel strictement positif.
Pour tout $x\in E$ vous posez $e(x) = \lim_{n\to +\infty} e_n(x).$
Etudiez la croissance de la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ lorsque $x$ est positif
Soit $x$ un nombre réel positif ou nul.
Emettez une conjecture en calculant les valeurs approchées des coefficients de $e_4(x)$, $e_5(x)$ et $e_6(x)$
\begin{align*}
e_4(x) &= \left(1+\frac{x}{4}\right)^4\\
&=0,00390625 x^4+0,0625 x^3+0,375 x^2+x+1.
\end{align*}\begin{align*}
e_5(x) &= \left(1+\frac{x}{5}\right)^5\\
&=0,00032 x^5+0,008 x^4+0,08 x^3+0,4 x^2+x+1.
\end{align*}Comme $0,00032x^5 \geq 0$, $0,008>0,00390625$, $0,08>0,0625$, $0,4 > 0,375$ vous déduisez :
\forall x\geq 0, e_5(x)\geq e_4(x).
Pour confirmer, vous calculez une valeur approchée pour $e_6(x) :$
\begin{align*}
e_6(x) &= \left(1+\frac{x}{6}\right)^6\\
&\approx 0,0000214335 x^6+0,000771605 x^5+0,0115741 x^4+0,0925926 x^3+0,416667 x^2+x+1.
\end{align*}Comme $0,0000214335 x^6$ est positif, et comme $0,000771605 > 0,00032$, $0,0115741>0,008$, $0,0925926>0,08$, $0,416667 >0,4$ vous pouvez émettre la conjecture suivante : pour tout réel $x$ positif, il semble que la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ soit croissante.
Démontrez que pour tout réel $x$ positif, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ est croissante
Soit $x$ un réel positif fixé.
Fixez un nombre entier $n$ supérieur ou égal à $1.$
En utilisant la formule du binôme :
\begin{align*}
e_n(x) &= \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{x^k}{n^k}
\end{align*}Compte tenu de la positivité de $x :$
\begin{align*}
e_{n+1}(x) &\geq \left(1+\frac{x}{n+1}\right)^{n+1} \\
&\geq \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}\frac{x^k}{(n+1)^k}\\
&\geq \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k}\frac{x^k}{(n+1)^k} + \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\\
&\geq \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k}\frac{x^k}{(n+1)^k}.
\end{align*}L’inégalité $e_{n+1}(x) \geq e_n(x)$ sera acquise si la condition suffisante $\forall k\in\llbracket 0,n \rrbracket, \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \leq \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}$ est vérifiée.
Pour déterminer une condition équivalente à celle ci-dessus, vous remarquez que :
\begin{align*}
\forall n\geq 1, \forall k\in\llbracket 0, n\rrbracket, \binom{n+1}{k} &= \frac{(n+1) !}{k !(n+1-k) !}\\
&= \frac{(n+1)\times n !}{k ! (n-k) ! \times (n+1-k)}\\
&= \frac{n+1}{n+1-k} \binom{n}{k}.
\end{align*}Dès lors :
\begin{align*}
\forall n\geq 1, \forall k\in\llbracket 0, n\rrbracket, \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \leq \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k} &\Longleftrightarrow \frac{1}{n^k}\leq \frac{n+1}{n+1-k}\frac{1}{(n+1)^k}\\
&\Longleftrightarrow \frac{n+1-k}{n+1} \leq \left(\frac{n}{n+1}\right)^k\\
&\Longleftrightarrow 1-\frac{k}{n+1} \leq \left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^k\\
&\Longleftrightarrow 1-\frac{k}{n+1} \leq \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^k.
\end{align*}Or, l’inégalité $\forall n\geq 1, \forall k\in\llbracket 0, n\rrbracket, 1-\frac{k}{n+1} \leq \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^k$ est vérifiée comme étant une conséquence du lemme de Bernoulli que vous trouverez dans l'article 187.
Démontrez que pour tout $x\in[0,1[$, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ est majorée
Ramenez-vous à la somme d’une suite géométrique
Soit $x$ un réel appartenant à l’intervalle $[0,1[.$
Admettez un instant que :
\forall n\in\NN,\forall k\in\llbracket 0,n \rrbracket, \binom{n}{k} \leq n^k.Soit $n$ un entier naturel strictement positif. Alors vous obtenez :
\begin{align*}
e_n(x) &\leq \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \\
&\leq \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{x^k}{n^k}\\
&\leq \sum_{k=0}^n x^k \\
&\leq \frac{1-x^{n+1}}{1-x}\\
&\leq \frac{1}{1-x}.
\end{align*}La majoration de la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ est acquise.
Il reste cependant à montrer le résultat admis.
Montrez que $\forall n\in\NN, \forall k\in\llbracket 0,n \rrbracket, \binom{n}{k} \leq n^k$
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1.$
Comme $n^0 = 1$ et comme $\binom{n}{0}=1$ vous avez bien $\binom{n}{0} \leq n^0.$
Soit maintenant $k$ un entier compris entre $1$ et $n.$
Vous avez la suite de majorations :
\begin{align*}
\binom{n}{k} &\leq \frac{\frac{n !}{(n-k) !}}{k !}\\
&\leq \frac{n !}{(n-k) !}\\
&\leq \frac{\prod_{i=1}^n i}{\prod_{i=1}^{n-k} i}\\
&\leq \prod_{i=n-k+1}^{n} i\\
&\leq \prod_{j=1}^{k} (j+n-k)\\
&\leq \prod_{j=1}^{k}n\\
&\leq n^k.
\end{align*}Déduisez-en que $[0,1[\subset E$
Soit $x$ un réel appartenant à l’intervalle $[0,1[.$
Il a été montré que la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ est croissante et elle est majorée par $\frac{1}{1-x}.$
Il en résulte qu’elle converge vers un réel $\ell$ tel que $\ell \leq \frac{1}{1-x}.$
Il reste à comprendre pourquoi le réel $\ell$ est strictement positif.
La suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ étant croissante, vous avez $\forall n\in\NN, e_n(x) \geq e_1(x) \geq 1+x.$
Vous déduisez donc que $\ell \geq 1+x \geq 1 > 0$ ce qui prouve que $x\in E.$
Concluez
Pour tout réel $x\in[0,1[$ la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ converge vers un nombre réel $e(x)$ qui vérifie l’inégalité :
\boxed{0< 1+x\leq e(x)\leq \frac{1}{1-x}.}Il sera établi qu’en fait $E = \R$ c’est-à-dire que, pour tout réel $x$, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ converge vers un réel strictement positif.
Remarquez qu’en prenant $x=0$ dans l’inégalité ci-dessus, vous obtenez $1\leq e(0) \leq 1$ et donc $\boxed{e(0)=1.}$
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