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250. Construisez la fonction exponentielle (1/3)

L’objectif de cette série d’articles est de démontrer l’existence de la fonction exponentielle réelle.

Plus précisément, vous démontrerez qu’il existe une fonction notée $e : \R\to\R$ résolvant le problème dit de Cauchy :

\begin{array}{l}
e(0)=1\\
e\text{ est dérivable sur }\R\\
\forall x\in\R, e'(x) = e(x).
\end{array}

De plus, elle vérifie les propriétés suivantes :

\begin{array}{l}
\forall (x,y)\in\R^2, e(x+y) = e(x)e(y)\\
\forall x\in\R, \forall n\in\N, e(nx)=[e(x)]^n.
\end{array}

Trouvez l’idée d’une suite qui réalise l’approximation d’une telle fonction

Supposez un instant que la fonction $e$ existe.

Comme elle est dérivable, elle vérifie, quand $x$ est proche de $0$ : $e(x)\approx e(0)+e'(0)x$ et donc $e(x) \approx 1+x.$

Soit maintenant $x$ un réel fixé.

Choisissez un entier $n$ suffisamment grand de sorte que $\frac{x}{n}$ soit proche de $0.$

Alors $e\left(\frac{x}{n}\right)\approx 1+\frac{x}{n}$ et en élevant à la puissance $n$, il vient :

\begin{align*}
e(x) &= e\left(\frac{x}{n}\times n\right)\\
&= \left[e\left(\frac{x}{n}\right)\right]^n\\
&\approx \left(1+\frac{x}{n}\right)^n.
\end{align*}

Dans la suite, vous poserez :

\boxed{\forall x\in\R, \forall n\in\NN, e_n(x) = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n.}

Vous noterez alors $E$ l’ensemble des réels $x$ pour lesquels la suite $\left(e_n(x)\right)_{n\geq 1}$ converge vers un nombre réel non nul.
Pour tout $x\in E$ vous posez $e(x) = \lim_{n\to +\infty} e_n(x).$

Etudiez la croissance de la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ lorsque $x$ est positif

Soit $x$ un nombre réel positif ou nul.

Emettez une conjecture en calculant les valeurs approchées des coefficients de $e_4(x)$, $e_5(x)$ et $e_6(x)$

\begin{align*}
e_4(x) &= \left(1+\frac{x}{4}\right)^4\\ 
&=0,00390625 x^4+0,0625 x^3+0,375 x^2+x+1.
\end{align*}
\begin{align*}
e_5(x) &= \left(1+\frac{x}{5}\right)^5\\ 
&=0,00032 x^5+0,008 x^4+0,08 x^3+0,4 x^2+x+1.
\end{align*}

Comme $0,00032x^5 \geq 0$, $0,008>0,00390625$, $0,08>0,0625$, $0,4 > 0,375$ vous déduisez :

\forall x\geq 0, e_5(x)\geq e_4(x).

Pour confirmer, vous calculez une valeur approchée pour $e_6(x) :$

\begin{align*}
e_6(x) &= \left(1+\frac{x}{6}\right)^6\\ 
&\approx 0,0000214335 x^6+0,000771605 x^5+0,0115741 x^4+0,0925926 x^3+0,416667 x^2+x+1.
\end{align*}

Comme $0,0000214335 x^6$ est positif, et comme $0,000771605 > 0,00032$, $0,0115741>0,008$, $0,0925926>0,08$, $0,416667 >0,4$ vous pouvez émettre la conjecture suivante : pour tout réel $x$ positif, il semble que la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ soit croissante.

Démontrez que pour tout réel $x$ positif, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ est croissante

Soit $x$ un réel positif fixé.

Fixez un nombre entier $n$ supérieur ou égal à $1.$

En utilisant la formule du binôme :

\begin{align*}
e_n(x) &= \left(1+\frac{x}{n}\right)^n \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{x^k}{n^k}
\end{align*}

Compte tenu de la positivité de $x :$

\begin{align*}
e_{n+1}(x) &\geq \left(1+\frac{x}{n+1}\right)^{n+1} \\
&\geq \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}\frac{x^k}{(n+1)^k}\\
&\geq \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k}\frac{x^k}{(n+1)^k} + \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\\
&\geq \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k}\frac{x^k}{(n+1)^k}.
\end{align*}

L’inégalité $e_{n+1}(x) \geq e_n(x)$ sera acquise si la condition suffisante $\forall k\in\llbracket 0,n \rrbracket, \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \leq \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}$ est vérifiée.

Pour déterminer une condition équivalente à celle ci-dessus, vous remarquez que :

\begin{align*}
\forall n\geq 1, \forall k\in\llbracket 0, n\rrbracket, \binom{n+1}{k} &= \frac{(n+1) !}{k !(n+1-k) !}\\
&= \frac{(n+1)\times n !}{k ! (n-k) ! \times (n+1-k)}\\
&= \frac{n+1}{n+1-k} \binom{n}{k}.
\end{align*}

Dès lors :

\begin{align*}
\forall n\geq 1, \forall k\in\llbracket 0, n\rrbracket, \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \leq \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k} &\Longleftrightarrow \frac{1}{n^k}\leq \frac{n+1}{n+1-k}\frac{1}{(n+1)^k}\\
&\Longleftrightarrow \frac{n+1-k}{n+1} \leq \left(\frac{n}{n+1}\right)^k\\
&\Longleftrightarrow 1-\frac{k}{n+1} \leq \left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^k\\
&\Longleftrightarrow 1-\frac{k}{n+1} \leq \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^k.
\end{align*}

Or, l’inégalité $\forall n\geq 1, \forall k\in\llbracket 0, n\rrbracket, 1-\frac{k}{n+1} \leq \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^k$ est vérifiée comme étant une conséquence du lemme de Bernoulli que vous trouverez dans l'article 186.

Démontrez que pour tout $x\in[0,1[$, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ est majorée

Montrez d’abord que $\binom{n}{k} \leq n^k$

Soit $x$ un réel appartenant à l’intervalle $[0,1[.$

Vous partez de $n ! = $

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