251. Construisez la fonction exponentielle (2/3)

\begin{array}{l}
e(0)=1\\
e\text{ est dérivable sur }\R\\
\forall x\in\R, e'(x) = e(x).
\end{array}

\begin{array}{l}
\forall x\in\R, e(x) > 0.\\
\forall (x,y)\in\R^2, e(x+y) = e(x)e(y)\\
\forall x\in\R, \forall n\in\N, e(nx)=[e(x)]^n.
\end{array}

Pour arriver à ce but, vous posez :

\boxed{\forall x\in\R, \forall n\in\NN, e_n(x) = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n.}

Vous noterez alors $E$ l’ensemble des réels $x$ pour lesquels la suite $\left(e_n(x)\right)_{n\geq 1}$ converge vers un nombre réel strictement positif.
Pour tout $x\in E$ vous posez $e(x) = \lim_{n\to +\infty} e_n(x).$

Dans le contenu écrit dans l'article 250 il a été démontré que l’intervalle $[0,1[$ est inclus dans l’ensemble $E$ et que $e(0)=1.$

Il sera établi dans cet article que $E = \R$ en établissant que $E$ est stable par passage à l’opposé et stable par addition.

Des propriétés algébriques seront démontrées à partir d’un lemme important.

Lemme : pour toute suite $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ qui converge vers $0$, la suite $\left(\left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n\right)_{n\geq 1}$ converge vers $1$

Soit $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ une suite qui converge vers $0.$

Il existe donc un entier $N\geq 1$ tel que, pour tout $n\geq N$, $\varepsilon_n \in [-1/2, 1/2].$

Fixez un entier $n$ supérieur ou égal à $N$ et utilisez la formule du binôme :

\begin{align*}
\left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{\varepsilon_n^k}{n^k}\\
&= 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\frac{\varepsilon_n^k}{n^k}\\
&= 1 + \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k+1}\frac{\varepsilon_n^{k+1}}{n^{k+1}}\\
&= 1 + \varepsilon_n\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k+1}\frac{\varepsilon_n^{k}}{n^{k+1}}.
\end{align*}

Vous déduisez alors :

\begin{align*}
\left\vert\left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n -1 \right\vert &\leq \left\vert \varepsilon_n \right\vert \times \left\vert \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k+1}\frac{\varepsilon_n^{k}}{n^{k+1}}\right\vert \\
&\leq \left\vert \varepsilon_n \right\vert \times  \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k+1}\frac{\left\vert \varepsilon_n\right\vert^{k}}{n^{k+1}}.
\end{align*}

Or, d’après le contenu écrit dans l'article 250 :

\forall k\in\llbracket 0, n-1\rrbracket, \binom{n}{k+1}\leq n^{k+1}.

Comme $\varepsilon_n \in [-1/2, 1/2]$ vous déduisez que $\left\vert \varepsilon_n \right\vert \neq 1.$

Il en résulte que :

\begin{align*}
\left\vert\left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n -1 \right\vert 
&\leq \left\vert \varepsilon_n \right\vert \times  \sum_{k=0}^{n-1} \left\vert \varepsilon_n\right\vert^{k}\\
&\leq  \left\vert \varepsilon_n \right\vert \times \frac{1-\left\vert \varepsilon_n \right\vert^n}{1-\left\vert \varepsilon_n \right\vert} \\
&\leq  \left\vert \varepsilon_n \right\vert \times \frac{1}{1-\left\vert \varepsilon_n \right\vert} \\
\end{align*}

Comme $\varepsilon_n \in [-1/2, 1/2]$ il vient $\left\vert \varepsilon_n \right\vert \leq 1/2$ et par suite $1-\left\vert \varepsilon_n \right\vert \geq 1/2$ et donc $\frac{1}{1-\left\vert \varepsilon_n \right\vert } \leq 2.$

Vous avez donc démontré qu’il existe un entier $N\geq 1$ tel que, pour tout entier $n\geq N$ :

\left\vert\left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n -1 \right\vert  \leq 2 \left\vert \varepsilon_n\right\vert.

Comme la suite $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ converge vers $0$, il en est de même de la suite $(\left\vert \varepsilon_n \right\vert)_{n\geq 1}.$

Il résulte de tout ceci que, quand $n\to +\infty$, $\left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n \to 1$ autrement dit :

\boxed{\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n = 1.}

Pour tout $x\in E$, $-x \in E$ et $e(-x)e(x)=1$

Soit $x\in E$ un réel fixé : autrement dit, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ converge vers un nombre noté $e(x)$ strictement positif.

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $1.$ Alors :

\begin{align*}
e_n(x)e_n(-x) &= \left(1+\frac{x}{n}\right)^n  \left(1-\frac{x}{n}\right)^n\\
&= \left[ \left(1+\frac{x}{n}\right)  \left(1-\frac{x}{n}\right)\right]^n\\
&= \left[ \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\right]^n\\
&=  \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)^n.
\end{align*}

Pour tout entier $n\geq 1$ posez $\varepsilon_n = \frac{-x^2}{n}$ et de ce fait $\lim_{n\to +\infty} \varepsilon_n = 0.$

De ce qui précède :

\begin{align*}
e_n(x)e_n(-x) 
&= \left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)^n\\
&=  \left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n.
\end{align*}

Comme la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ converge vers $e(x)$ qui est non nul, il existe un entier $N\geq 1$ tel que :

\forall n\geq N, e_n(x) \neq 0.

Vous déduisez donc que :

\begin{align*}
\forall n\geq N, e_n(-x)  &=  \frac{\left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n}{e_n(x)}.
\end{align*}

En vertu du lemme de cet article, $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{\varepsilon_n}{n}\right)^n = 1.$

Comme $\lim_{n\to +\infty} e_n(x) = e(x)$ avec $e(x) \neq 0$, vous déduisez par quotient de limites que :

\lim_{n\to +\infty} e_n(-x) = \frac{1}{e(x)}.

La suite $(e_n(-x))_{n\geq 1}$ converge vers $\frac{1}{e(x)}.$ Comme $e(x)$ est strictement positif, il en est de même de $\frac{1}{e(x)}.$ La suite $(e_n(-x))_{n\geq 1}$ converge vers un réel strictement positif, donc $-x\in E.$

La limite de la suite $(e_n(-x))_{n\geq 1}$ est notée $e(-x)$ et par conséquent $e(-x) = \frac{1}{e(x)}.$

Vous déduisez de ce paragraphe que :

\boxed{\forall x\in E, -x\in E \text{ et } e(x)e(-x)=1.}

Quels que soient $x\in E$ et $y\in E$, le réel $x+y$ appartient à $E$ et $e(x+y)=e(x)e(y)$

Soit un couple $(x,y)\in E^2.$

Il existe donc deux réels strictement positifs, $e(x)$ et $e(y)$ tels que :

\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} e_n(x) &= e(x)\\
\lim_{n\to +\infty} e_n(y) &= e(y).
\end{align*}

Il existe donc deux entiers strictement positifs $N_1$ et $N_2$ tel que :

\begin{align*}
\forall n\geq N_1, e_n(x) &> 0\\
\forall n\geq N_2, e_n(y) &> 0.
\end{align*}

En posant $N = N_1+N_2$ vous déduisez :

\forall n\geq N, e_n(x)>0 \text{ et } e_n(y) >0.

Pour tout $n\geq N$ vous posez :

\begin{align*}
u_n &= \frac{e_n(x+y)}{e_n(x)e_n(y)}.
\end{align*}

Fixez maintenant un entier $n\geq N.$ Alors :

\begin{align*}
u_n &= \frac{\left(1+\frac{x+y}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\left(1+\frac{y}{n}\right)^n}\\
&= \left(\frac{1+\frac{x+y}{n}}{\left(1+\frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{y}{n}\right)}\right)^n\\
&= \left(\frac{1+\frac{x+y}{n}}{1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}}\right)^n\\
&= \left(\frac{1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}-\frac{xy}{n^2}}{1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}}\right)^n\\
&= \left(1+\frac{\frac{-xy}{n^2}}{1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}}\right)^n\\
&= \left(1+\frac{\frac{\frac{-xy}{n}}{1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}}}{n}\right)^n.
\end{align*}

Pour tout $n\geq N$ vous posez :

\varepsilon_n = \frac{\frac{-xy}{n}}{1+\frac{x+y}{n}+\frac{xy}{n^2}}.

Comme $\lim_{n\to +\infty}\varepsilon_n = 0$ il vient d’après le lemme que $\lim_{n\to +\infty} u_n = 1.$

Fixez encore un entier $n$ supérieur ou égal à $N.$ Il vient :

\begin{align*}
e_n(x+y) &= \frac{e_n(x+y)}{e_n(x)e_n(y)}\times e_n(x)\times e_n(y)\\
&=u_n \times e_n(x)\times e_n(y).
\end{align*}

Par produit de limites, vous obtenez la convergence des suites $(e_n(x+y))_{n\geq N}$ et $(e_n(x+y))_{n\geq 1}.$

Vous obtenez :

\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} e_n(x+y) &= \left(\lim_{n\to+\infty }u_n\right)\times  \left(\lim_{n\to+\infty }e_n(x)\right)\times  \left(\lim_{n\to+\infty }e_n(y)\right)\\
&=1 \times  e(x)\times e(y)\\
&=e(x)e(y).
\end{align*}

Comme $e(x)$ et $e(y)$ sont strictement positifs, il en est de même de $e(x)e(y).$ La suite $(e_n(x+y))_{n\geq 1}$ converge vers un réel strictement positif qui est égal à $e(x)e(y).$

De ce qui précède, vous déduisez que :

\boxed{\forall (x,y)\in E^2, x+y\in E\text{ et } e(x+y)=e(x)e(y).}

Montrez que $\forall x\in\R, x\in E$

Dans le contenu écrit dans l'article 250 il a été démontré que l’intervalle $[0,1[$ est inclus dans l’ensemble $E.$ Dans l’article courant, il a été montré que l’ensemble $E$ est stable par addition et par passage à l’opposé.

Montrez d’abord que $\forall n\in\N, n\in E$

Pour tout entier naturel $n$, notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $n\in E.$ »

Initialisation. Comme $0\in [0,1[$ et comme $[0,1[\subset E$ il vient $0\in E$ donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $n\in E.$

Remarquez que $1/2 \in [0,1[.$ Comme $[0,1[\subset E$ il vient $1/2\in E.$

$E$ étant stable par addition, $1/2 + 1/2 \in E$ donc $1\in E.$

Comme $n\in E$ et comme $1\in E$, la stabilité par addition de $E$ permet d’obtenir $n+1\in E$ donc $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifiée.

Conclusion. Vous avez établi par récurrence que $\forall n\in\N, n\in E.$

Montrez ensuite que $\forall n\in\Z, n\in E$

Soit $n\in \Z.$ Si $n\in\N$ alors vous avez déjà $n\in E.$

Si $n\notin \N$ vous déduisez $-n\in \N$, or $\N \subset E$ donc $-n \in E.$

Comme $E$ est stable par passage à l’opposé, vous déduisez $-(-n)\in E$ d’où $n\in E.$

Ainsi $\forall n\in\Z, n\in E.$

Montrez enfin que $\forall x\in\R, n\in E$

Soit $x$ un nombre réel. Notez $n$ la partie entière de $x$, à savoir le plus grand entier qui est inférieur ou égal à $x.$

Alors $n\leq x < n+1$ donc $x-n\in[0,1[.$ Comme $[0,1[\subset E$ vous déduisez $x-n\in E.$

Comme $n$ est un entier, l’inclusion $\Z\subset E$ permet d’en déduire que $n\in E.$

$E$ étant stable par addition, $(x-n)+n\in E$ c’est-à-dire $x\in E.$

Concluez

Quel que soit le réel $x$, $x$ appartient à $E$ donc pour tout réel $x$, la suite $(e_n(x))_{n\geq 1}$ converge vers un réel strictement positif qui est noté $e(x).$

La fonction $e$ suivante est bien définie:

\begin{array}{lll}
e: &\R &\to \R\\
 &x &\mapsto \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n.
\end{array}

Remarque. D’après ce qui précède, la suite $\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n\geq 1}$ converge vers un nombre strictement positif qui est $e(1).$ Par convention, on note $\e$ le nombre égal à $e(1).$ Cela permet d’écrire que:

\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \e.

Numériquement, on peut établir que le nombre $\e$ satisfait l’encadrement suivant : $2,7182<\e<2,7183.$

De plus:

\begin{array}{l}
e(0)=1\\
\forall x\in\R, e(x) > 0\\
\forall x\in\R, e(x)e(-x) = 1\\
\forall (x,y)\in \R^2, e(x+y) = e(x)e(y).
\end{array}

Dans le contenu écrit dans l'article 252 il sera établi que la fonction $e$ est dérivable sur $\R$ et que $\forall x\in\R, e'(x) = e(x).$

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