Partez d’un exemple : le nombre $119$ est-il premier ? Autrement dit, existe-t-il un nombre entier $n$ compris entre $2$ et $118$ de sorte que $119$ soit un multiple de $n$ ?
Les premiers tests de divisibilité échouent :
- $119$ est impair et n’est pas divisible par $2$ ;
- la somme des chiffres de $119$ est égale à $11$ qui n’est pas dans la table de $3$, donc $119$ n’est pas un multiple de $3$ ;
- $119$ ne finit ni par $0$ ni par $5$ et n’est pas divisible par $5$ ;
- Il existe un critère de divisibilité par $7$, mais il est peu diffusé et donc, à moins de diviser $119$ par $7$, vous ne savez pas s’il est divisible par $7$…
Il va falloir changer de méthode.
Utilisez une idée attribuée à Fermat
L’objectif est d’utiliser l’identité remarquable suivante :
a^2-b^2 = (a+b)(a-b).
Vous allez d’abord déterminer le plus petit entier possible $k$ tel que $k^2>119.$
Déjà, pourquoi un tel entier existe ? Comment le déterminer ?
Considérez l’ensemble $A$ suivant, formé par les entiers positifs ayant un carré strictement supérieur à $119$ :
A = \{m\in\N, m^2>119\}.Comme :
\begin{align*}
10^2 &= 100\\
11^2 &= 121
\end{align*}
Vous déduisez que $11$ est un élément de $A.$ Cela s’écrit $11\in A.$
$A$ est donc une partie de $\N$ qui est non vide. Donc elle admet un plus petit élément noté $k.$
De ce qui précède, $k\leq 11$ : en effet, $k$ et $11$ sont deux éléments de $A$ et $k$ est le plus petit élément de $A.$
Si $k<11$, vous auriez $0\leq k\leq 10$ et en élevant au carré, $k^2 \leq 100.$ $k$ est un entier vérifiant $k^2\leq 119$ donc $k\notin A$, ce qui est absurde.
Vous déduisez ainsi que $k = 11.$ Autrement dit :
\mathrm{Min}\ \{m\in\N, m^2>119\} = 11.Commencez à calculer, quand $\ell \geq k$ les différences $\ell^2-119$
Vous commencez avec $\ell = 11$ :
\begin{align*}
11^2 - 119 &= 121-119
\\
&=2.
\end{align*}Comme $2$ n’est pas un carré, l’identité remarquable $a^2-b^2$ n’est pas applicable et vous poursuivez.
Avec $\ell = 12$ :
\begin{align*}
12^2 - 119 &= 144-119
\\
&=25.
\end{align*}Comme $25$ est un carré, l’identité remarquable est applicable. En effet :
\begin{align*}
12^2 - 119 &= 5^2
\\
12^2-5^2&=119\\
(12-5)(12+5)&=119.
\end{align*}Vous obtenez :
\boxed{119 = 7\times 17.}Concluez
Le nombre $119$ n’est pas premier puisqu’il est divisible par $7.$
L’intérêt de cette démarche est d’avoir une factorisation explicite.
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