Partez d’un exemple : le nombre $119$ est-il premier ? Autrement dit, existe-t-il un nombre entier $n$ compris entre $2$ et $118$ de sorte que $119$ soit un multiple de $n$ ?

Les premiers tests de divisibilité échouent :

• $119$ est impair et n’est pas divisible par $2$ ;
• la somme des chiffres de $119$ est égale à $11\comma$ qui n’est pas dans la table de $3\comma$ donc $119$ n’est pas un multiple de $3$ ;
• $119$ ne finit ni par $0$ ni par $5$ et n’est pas divisible par $5$ ;
• il existe un critère de divisibilité par $7\comma$ mais il est peu diffusé et donc, à moins de diviser $119$ par $7\comma$ vous ne savez pas s’il est divisible par $7$…

Il va falloir changer de méthode.

Utilisez une idée attribuée à Fermat

L’objectif est d’utiliser l’identité remarquable suivante :

Vous allez d’abord déterminer le plus petit entier possible $k$ tel que $k^2\gt119.$

Déjà, pourquoi un tel entier existe-t-il ? Comment le déterminer ?

Considérez l’ensemble $A$ suivant, formé par les entiers positifs ayant un carré strictement supérieur à $119$ :

Comme :

Vous déduisez que $11$ est un élément de $A.$ Cela s’écrit $11\in A.$

L’ensemble $A$ est donc une partie de $\N$ qui est non vide. Donc elle admet un plus petit élément noté $k.$

De ce qui précède, $k\leq 11$ : en effet, $k$ et $11$ sont deux éléments de $A$ et $k$ est le plus petit élément de $A.$

Si $k\lt11\comma$ vous auriez $0\leq k\leq 10$ et en élevant au carré, $k^2 \leq 100.$ Le nombre $k$ serait alors un entier vérifiant $k^2\leq 119\comma$ donc $k\notin A\comma$ ce qui est absurde.

Vous déduisez ainsi que $k = 11.$ Autrement dit :

Commencez à calculer, quand $\ell \geq k\comma$ les différences $\ell^2-119$

Vous commencez avec $\ell = 11$ :

Comme $2$ n’est pas un carré, l’identité remarquable $a^2-b^2$ n’est pas applicable et vous poursuivez.

Avec $\ell = 12$ :

Comme $25$ est un carré, l’identité remarquable est applicable. En effet :

Vous obtenez :

Concluez

Le nombre $119$ n’est pas premier puisqu’il est divisible par $7.$
L’intérêt de cette démarche est d’avoir une factorisation explicite.