Motivation

La suite $(c_k)_{k\geq 0}$ est strictement croissante et converge vers $1.$ D’autre part, pour tout entier naturel $k\comma$ $c_k\neq 1.$

Note. La démonstration de ces résultats est laissée au lecteur et ne sera pas traitée dans ce contenu.

Soit $\sum_{k\geq 1} a_k$ une série réelle convergente.

Vous notez sa somme ainsi :

Notez que la suite $(a_k)_{k\geq 1}$ converge alors vers $0.$ Il en est de même de la suite $(\vert a_k \vert)_{k\geq 1}$. En tant que suite convergente, elle est majorée.

Il existe un réel $\boxed{M\gt0}$ tel que $\boxed{\forall k\geq 1, \vert a_k \vert \leq M.}$

À cette série, vous associez la fonction $h : [0,1]\to \R$ définie de la façon suivante :

Remarquez que $\lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^{n} a_k = A$ si bien que $\lim_{n\to +\infty} \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k =0.$

Soit $k\geq 1.$ La longueur de l’intervalle $[c_{k-1},c_k]$ est égale à :

D’autre part, la fonction $h$ est constante sur l’intervalle $[c_{k-1},c_k[$ et prend pour valeur $2^k a_k.$ Le graphique ci-dessous illustre une représentation possible de la fonction $h$ sur l’intervalle $[0,15/16[.$ Par contre la représentation de $h$ sur l’intervalle $[15/16, 1[$ a été omise, compte tenu du nombre infini d’intervalles qu’il faudrait représenter.

Graphiquement, il semble légitime de considérer que l’aire algébrique du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe de la fonction $h\comma$ l’axe des ordonnées et la droite verticale d’équation $x=1$ est égale à :

Avant d’affirmer la validité de cette égalité, il convient de procéder aux démonstrations requises.

Objectif principal

Quelques définitions : notion de subdivision étiquetée

Une subdivision étiquetée de l’intervalle $[0,1]$ est un ensemble fini $P$ tel que :

• il existe un entier $n\geq 1\comma$
• et il existe $(x_0,\dots,x_n)\in\R^{n+1}$ tel que $x_0 \lt \dots \lt x_n$ avec $x_0=0$ et $x_n = 1\comma$
• et il existe $(t_1,\dots,t_n)\in\R^n$ tel que $\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, t_i\in[x_{i-1},x_i]\comma$
• et l’ensemble $P$ est égal à $\{ ([x_{i-1}, x_i], t_i), 1\leq i \leq n\}.$

La subdivision $P$ étant définie, les intervalles $[x_{i-1},x_i]$ sont appelés intervalles de la subdivision $P$ et les réels $t_i$ sont appelés les étiquettes de la subdivision $P.$ Pour chaque intervalle $[x_{i-1},x_i]\comma$ le réel $t_i$ est son étiquette.

Notion de subdivision fine

Soit $n$ un entier tel que $n\geq 1.$ Soit $\delta : [0,1]\to \R_{+}^{*}$ une fonction strictement positive sur $[0,1]$ et soit $P = \{ ([x_{i-1}, x_i], t_i), 1\leq i \leq n\}$ une subdivision étiquetée de l’intervalle $[0,1].$

La subdivision $P$ est dite $\delta$-fine si et seulement si :

Intégrabilité au sens de Henstock-Kurzweil

Cela signifie que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe une fonction strictement positive $\delta : [0,1]\to \R_{+}^{*}$ appelée jauge, telle que pour toute subdivision étiquetée $P$ de l’intervalle $[0,1]$ qui soit $\delta$-fine, vous ayez la majoration :

Analyse et construction d’une jauge

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif fixé.

Vous considérez une fonction $\delta : [0,1]\to \R_{+}^{*}\comma$ appelée jauge, dont les propriétés vont être fixées au fur et à mesure.

Soient maintenant $n\in\NN$ et $P = \{ ([x_{i-1}, x_i], t_i), 1\leq i \leq n\}$ une subdivision étiquetée de l’intervalle $[0,1]$ qui soit $\delta$-fine.

Choisissez la jauge pour que l’étiquette $t_1$ soit égale à $0$

Vous allez imposer à la jauge $\delta$ la propriété suivante :

Supposez que $t_1$ soit non nul.

Vous avez $t_1\in[x_0,x_1]$ avec $[x_0,x_1]\subset[0,1]$ donc $t_1\in]0,1].$

Comme $x_0=0$ vous avez :

Du coup :

Comme $t_1$ est strictement positif, en divisant par $t_1$ il vient :

ce qui est absurde.

Du coup il est établi que :

Choisissez la jauge pour que $[x_0,x_1]\subset[0,1/4]$

Bien que non indispensable, vous allez choisir une valeur de $\delta(0)$ pour que l’inclusion $[x_0,x_1]\subset[0,1/4]$ soit vérifiée.

Puisque $0$ est l’étiquette de l’intervalle $[x_0,x_1]\comma$ vous avez l’inclusion suivante :

Ainsi, $x_1\leq \delta(0).$

Vous choisissez alors $\delta(0)$ tel que :

Définissez une fonction $\varphi$ utile

Vous notez $\boxed{E = \{ c_k, k\in\N\}.}$ Soit maintenant un réel $x$ appartenant à l’ensemble $]0,1[\setminus E.$ L’ensemble $B = \{ \vert x-c_k\vert, k\in\N \}$ est une partie de $\R.$ En prenant $k=0\comma$ il apparaît que $\vert x-c_0\vert \in B$ donc $B$ est non vide. D’autre part, $\forall k\in\N, \vert x-c_k\vert \geq 0$ donc $0$ minore $B.$

Il en résulte que $B$ admet une borne inférieure, qui sera notée $\varphi(x).$

Par définition :

Il s’agit maintenant de caractériser $\varphi(x)$ et de montrer que c’est un réel strictement positif.

En raisonnant par l’absurde, supposez que :

En passant à la limite quand $k\to +\infty\comma$ vous auriez $1\leq x$ ce qui contredit le fait que $x \in]0,1[.$

Donc il existe un nombre $\ell \in \N$ tel que $x\lt c_{\ell}.$

L’ensemble $\{k\in\N, x\lt c_k\}$ est une partie de $\N$ qui est non vide puisqu’elle contient $\ell.$ Elle admet un plus petit élément qui sera noté $m(x).$

Si $m(x)=0\comma$ alors $x\lt c_{m(x)}$ fournit $x\lt c_0$ soit $x\lt0$ ce qui est absurde. Donc $m(x)\neq 0$ et par suite $m(x)\geq 1.$ Comme $m(x)-1$ est un entier naturel qui est strictement inférieur au minimum de l’ensemble $\{k\in\N, x\lt c_k\}\comma$ vous déduisez que $c_{m(x)-1}\leq x.$ Du coup, $c_{m(x)-1}\leq x \lt c_{m(x)}.$

Soit $k\in\N.$ Si $k\geq m(x)$ par croissance de la suite $(c_i)_{i\geq 0}$ il vient $c_{m(x)}\leq c_k$ donc $x \lt c_{m(x)} \leq c_k$ donc $\vert x-c_k\vert \geq \vert x-c_{m(x)}\vert.$

Si $k \lt m(x)$ alors $k\leq m(x)-1.$ Toujours par croissance de la suite $(c_i)_{i\geq 0}$ il vient $c_k\leq c_{m(x)-1}\leq x$ donc $\vert x-c_k\vert \geq \vert x-c_{m(x)-1}\vert.$

Vous déduisez que :

Le nombre $\min\{\vert x-c_{m(x)}\vert, \vert x-c_{m(x)-1}\vert\}$ minore l’ensemble $B.$ Comme $\varphi(x)$ est le plus grand des minorants de $B\comma$ vous avez obtenu :

Comme $m(x)$ est un entier naturel, $\vert x-c_{m(x)}\vert \in B.$ Comme $\varphi(x)$ est un minorant de $B\comma$ vous déduisez $\varphi(x)\leq \vert x-c_{m(x)}\vert.$

Comme $m(x)-1$ est un entier naturel, $\vert x-c_{m(x)-1}\vert \in B.$ Comme $\varphi(x)$ est un minorant de $B\comma$ vous déduisez $\varphi(x)\leq \vert x-c_{m(x)-1}\vert.$

Comme $\min\{\vert x-c_{m(x)}\vert, \vert x-c_{m(x)-1}\vert\}$ est nécessairement égal à l’un des deux nombres $\vert x-c_{m(x)-1}\vert$ et $\vert x-c_{m(x)}\vert\comma$ vous déduisez :

Il a donc été démontré que :

Soit $x\in]0,1[\setminus E.$ Supposez que $\varphi(x)=0.$ Alors soit $\vert x-c_{m(x)} \vert=0$ ce qui fournit $x = c_{m(x)}$ et donc $x\in E$ ce qui est absurde, soit $\vert x-c_{m(x)-1} \vert=0$ ce qui fournit $x = c_{m(x)-1}$ et donc $x\in E$ ce qui est encore absurde.

Ainsi :

Choisissez la jauge pour obtenir une propriété sur les intervalles de la subdivision $P$ dont l’étiquette n’appartient pas à $E$

Il a déjà été établi que $0$ et $1$ sont des étiquettes.

Soit $i\in\llbracket 1, n\rrbracket$ un indice tel que $t_i\in]0,1[$ soit une étiquette pour un intervalle $[x_{i-1},x_i]$ de la subdivision $P.$ Supposez que $t_i \notin E.$

Vous allez imposer à la jauge $\delta$ la propriété suivante :

Il a été vu que :

En particulier, pour $x=t_i$ vous déduisez :

Comme $t_i\notin E\comma$ vous avez $t_i\neq c_{m(t_i)-1}$ d’où :

D’autre part :

Vous avez les inégalités suivantes :

Or :

Du coup :

Comme $c_{m(t_i)-1} \lt t_i \lt c_{m(t_i)}\comma$ cela fournit :

Il en résulte que $[x_{i-1},x_i]\subset ]c_{m(t_i)-1}, c_{m(t_i)}[.$

Cette section a établi le résultat suivant :

Choisissez la jauge de sorte que tout intervalle de $P$ (excepté le dernier) qui contient une valeur $c_k$ pour $k$ entier naturel non nul ait son étiquette égale à $c_k$

Ce résultat sera prouvé en deux temps. Tout d’abord vous prouvez un résultat plus faible.

Vous établissez d’abord que tout intervalle de $P$ (excepté le dernier) contenant une valeur $c_k$ pour $k$ entier naturel non nul a son étiquette qui appartient à $E.$

Puisque $[x_0,x_1]\subset [0,1/4]\comma$ il est impossible d’avoir $n=1$ donc la subdivision $P$ comprend au moins deux intervalles, c’est-à-dire $\boxed{n\geq 2.}$

Soit $k\in\NN$ tel qu’il existe un entier $i\in \llbracket 1, n-1\rrbracket$ vérifiant $c_k\in[x_{i-1},x_i].$

Supposez que l’étiquette $t_i$ de l’intervalle $[x_{i-1},x_i]$ n’appartienne pas à $E.$

Si $t_i = 0$ alors $x_{i-1}=0$ et c’est que $i=1.$ Vous avez $[x_0,x_1]\subset[0,1/4]$ et par conséquent $c_k \in [0, 1/4]\comma$ ce qui entraîne que $c_k = 0$ et $k=0\comma$ en contradiction avec $k\in\NN.$

Donc $t_i \gt 0.$ Comme $t_i\leq x_{i} \lt x_n$ vous avez $t_i\in]0,1[.$

Puisque $t_i\in]0,1[\setminus E$ vous déduisez que $[x_{i-1},x_i]\subset ]c_{m(t_i)-1}, c_{m(t_i)}[.$

Comme $c_k\in [x_{i-1},x_i]$ il en résulte que $c_{m(t_i)-1}\lt c_k \lt c_{m(t_i)}.$

Comme la suite $(c_m)_{m\geq 0}$ est strictement croissante, il vient $m(t_i)-1\lt k \lt m(t_i).$

Comme $k$ et $m(t_i)-1$ sont des entiers, l’inégalité $m(t_i)-1\lt k$ entraîne $m(t_i)\leq k$ ce qui contredit $k\lt m(t_i).$

Du coup, $t_i\in E.$

Il est établi que :

Note. À ce stade, il est tout à fait possible qu’un intervalle de la subdivision $P$ contienne plusieurs valeurs de $E.$

Vous allez ajuster la jauge pour que cela ne puisse pas se produire.

Vous choisissez maintenant la jauge pour que tout intervalle de $P$ (excepté le dernier) qui contient une valeur $c_k$ pour $k$ entier naturel non nul ait son étiquette égale à $c_k.$

Soit $k\in\NN$ tel qu’il existe un entier $i\in \llbracket 1, n-1\rrbracket$ vérifiant $c_k\in[x_{i-1},x_i].$

Il a été vu que $t_i \in E$ donc il existe un entier naturel $\ell$ tel que $t_i = c_{\ell}.$

Si $c_{\ell}\neq c_k\comma$ alors $k\neq \ell$ et deux cas se présentent.

Premier cas. Supposez que $k \lt \ell$ soit $k+1\leq \ell.$ Il existe un entier naturel $\zeta$ tel que $\ell = k+1+\zeta.$

Comme $2^{1+\zeta}\geq 2\comma$ il a été obtenu ce qui suit :

Or, $c_k$ et $c_\ell$ appartiennent à l’intervalle $[x_{i-1},x_i]$ et $[x_{i-1},x_i]\subset [t_i-\delta(t_i), t_i+\delta(t_i)]$ donc, en prenant les longueurs :

Vous allez donc choisir la jauge $\delta$ sur l’ensemble $E$ pour avoir :

Alors, comme $t_i = c_\ell\comma$ vous avez :

Ceci est absurde. Donc le premier cas ne se produit pas.

Second cas. Supposez que $k \gt \ell$ soit $k\geq \ell+1.$ Il existe un entier naturel $\eta$ tel que $k = \ell+1+\eta.$

Or, $2^{\eta}\geq 1$ donc $2\times2^{\eta} \geq 2^{\eta}+1$ et par suite $2^{1+\eta}-1 \geq 2^{\eta}.$

Du coup :

Comme précédemment, il vient :

Vous allez donc choisir la jauge $\delta$ sur l’ensemble $E$ en renforçant la condition précédente. Vous prenez par exemple :

Du coup :

Ce dernier résultat est encore absurde.

L’hypothèse $c_{\ell}\neq c_k$ est donc fausse. Il en résulte que $t_i = c_{\ell} = c_k.$

Il est ainsi prouvé ce qui suit :

Ainsi, si un intervalle de la subdivision $P$ autre que le dernier contient un élément de $E\comma$ alors cet élément est nécessairement l’étiquette de l’intervalle considéré. Pour $k=0\comma$ c’est déjà acquis puisque $c_0 = 0 = t_1.$

Montrez que l’écart entre la somme de Riemann et le début de la série est faible

Pour comprendre le phénomène, supposez que la subdivision $P$ soit comme indiquée ci-dessous :

La subdivision $P$ est formée de $9$ intervalles :

Il a déjà été établi plus haut que, nécessairement, à cause du choix de la jauge $\delta\comma$ vous avez :

Vous remarquez que $c_4\in]x_8,x_9]$ et que $c_3\notin ]x_8,x_9].$

La suite $(c_k)_{k\geq 4}$ étant strictement croissante et convergente vers $1=x_9$ vous déduisez que :

Le dernier intervalle de la subdivision $P$ contient presque toutes les valeurs de la suite $(c_k)_{k\geq 0}.$ De plus, comme $h(1)=0$ vous déduisez que :

La somme de Riemann de la subdivision $P$ est égale à :

Comme $t_2$ et $t_3$ appartiennent à l’intervalle $[c_0,c_1[\comma$ vous avez $h(0)=h(t_1) = h(c_0)=h(t_2)=h(t_3).$

Donc, en factorisant :

Comme l’intervalle $[x_3,x_4]$ contient $c_1\comma$ son étiquette est $t_4 = c_1.$ Vous décomposez en deux la valeur de $h(t_4)(x_4-x_3)\comma$ ce qui fournit :

Comme $t_5$ appartient à l’intervalle $[c_1,c_2[\comma$ vous avez $h(t_5)=h(c_1).$

Comme l’intervalle $[x_5,x_6]$ contient $c_2\comma$ son étiquette est $t_6 = c_2.$ Vous décomposez en deux la valeur de $h(t_6)(x_6-x_5)\comma$ ce qui fournit :

Comme $t_7$ appartient à l’intervalle $[c_2,c_3[\comma$ vous avez $h(t_7)=h(c_2).$

Comme l’intervalle $[x_7,x_8]$ contient $c_3\comma$ son étiquette est $t_8 = c_3.$ Vous décomposez en deux la valeur de $h(t_8)(x_8-x_7)\comma$ ce qui fournit :

La somme de Riemann vaut donc :

Vous forcez l’apparition du réel $a_1 = h(c_0)(c_1-c_0).$

De même vous préparez l’apparition du réel $a_2 = h(c_1)(c_2-c_1).$

Et vous déduisez ce qui suit :

Vous préparez maintenant l’apparition de $a_3 = h(c_2)(c_3-c_2).$

Et finalement :

Comme la subdivision $P$ est $\delta$-fine, vous avez :

Vous choisissez des valeurs de la jauge très petites sur l’ensemble $E$ en imposant ce qui suit :

Comme $\frac{\min\{\varepsilon, M\}}{12M\times 4^k}\leq \frac{1}{12\times 4^k}\comma$ cette condition entraîne les conditions précédemment imposées sur l’ensemble $E$. Il apparaît alors que :

Note. Dans le cas où il existerait un nombre $i\in\NN$ et un nombre $j\in\N$ tels que $c_i\in [x_{j-1},x_j]$ et $c_i\in [x_j, x_{j+1}]\comma$ alors ces deux intervalles adjacents ont la même étiquette qui est $c_i = x_j$ si bien que la majoration ci-dessus reste valable.

D’une part, $x_{n-1}\lt x_n$ avec $x_n=1$ donc $x_{n-1} \lt 1.$

D’autre part, la suite $(c_k)_{k\geq 0}$ converge vers $1$ donc il existe un entier $\ell \geq 0$ tel que $x_{n-1} \lt c_{\ell}.$

L’ensemble $K=\{k\in\N, x_{n-1}\lt c_k\}$ est une partie de $\N$ qui est non vide. Vous notez $\mu$ son plus petit élément.

Comme $x_{n-1}\geq x_0 = 0 = c_0\comma$ l’entier $0$ n’appartient pas à $K$ donc $\mu\neq 0$ et, comme $\mu\in\N\comma$ il vient $\mu \geq 1.$

Pour tout $k\in\llbracket 0, \mu-1\rrbracket\comma$ l’entier $k$ est strictement inférieur à $\mu\comma$ le plus petit élément de $K.$ Donc $k$ n’appartient pas à $K$ et par suite $x_{n-1}\geq c_k.$ Par croissance de la suite $(c_k)_{k\geq 0}\comma$ tous les termes $c_k$ avec $k\geq\mu$ appartiennent à $]x_{n-1},x_n].$

Si $\mu = 1\comma$ alors comme $c_1 = \frac{1}{2}\comma$ vous avez $\frac{1}{2} \in ]x_{n-1},x_n].$ Du coup :

Il suffit de choisir $\delta(1)$ tel que :

Il y a alors contradiction et donc $\mu \geq 2.$

En raisonnant comme dans l’exemple précédent, avec $\mu$ à la place de $4\comma$ il vient donc :

Il reste à justifier que $\mu-1$ est supérieur ou égal à $N.$

Si tel n’était pas le cas, vous auriez $\mu-1\lt N$ c’est-à-dire $\mu \leq N.$

Or, $c_{\mu} \in ]x_{n-1},x_n]$ donc $1-c_{\mu} \leq 1-x_{n-1}\leq \delta(1)$ donc $\frac{1}{2^{N}} \leq \frac{1}{2^\mu}\leq \delta(1).$

Il vous suffit de choisir $\delta(1)$ tel que :

À ce moment, une contradiction apparaît : d’une part $\delta(1) \lt \frac{1}{2^N}$ et d’autre part $\frac{1}{2^{N}}\leq \delta(1).$

C’est donc que $\mu-1 \geq N.$ Il vient $\left\vert \sum_{k=\mu}^{+\infty}a_k \right\vert \leq \frac{\varepsilon}{2}.$

Par somme, vous déduisez :