La conjecture de Goldbach énonce que tout entier pair supérieur ou égal à $4$ peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers.
Vous allez démontrer que cette conjecture est équivalente à la propriété $(P)$ : « tout entier supérieur ou égal à $6$ peut s’écrire comme la somme de trois nombres premiers. »
Premier sens
Vous supposez que la conjecture de Goldbach est vraie.
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $6.$
Premier cas. $n$ est pair. Alors $n-2$ est un entier pair supérieur ou égal à $4.$ D’après la conjecture de Goldbach appliquée à $n-2$, il existe deux nombres premiers $p_1$ et $p_2$ tels que $n-2 = p_1+p_2.$ Du coup $n = 2+p_1+p_2$ et $n$ s’écrit comme somme de trois nombres premiers.
Second cas. $n$ est impair. Comme $n\geq 6$ vous avez même $n\geq 7.$ Ainsi $n-3\geq 4.$ Or, $n-3$ est pair. D’après la conjecture de Goldbach appliquée à $n-3$ il existe deux nombres premiers $p_1$ et $p_2$ tels que $n-3 = p_1+p_2.$ Du coup $n = 3+p_1+p_2$ et $n$ s’écrit comme somme de trois nombres premiers.
Deuxième sens
Vous supposez que la propriété $(P)$ « tout entier supérieur ou égal à $6$ peut s’écrire comme la somme de trois nombres premiers » est vraie.
Soit $n$ un entier pair supérieur ou égal à $4.$ Alors $n+2$ est un entier supérieur ou égal à $6.$ Appliquant la propriété $(P)$ à $n+2$ vous déduisez qu’il existe trois nombres premiers $p_1$, $p_2$ et $p_3$ tels que $n+2 = p_1+p_2+p_3.$ Si les trois nombres $p_1$, $p_2$ et $p_3$ sont impairs, alors leur somme $p_1+p_2+p_3$ l’est aussi, donc $n$ aussi. Mais $n$ est pair donc $n+2$ aussi, contradiction. Donc il existe $i\in\llbracket 1, 3\rrbracket$ tel que $p_i$ est pair. Comme $p_i$ est premier et que $2$ est le seul nombre premier, vous avez $p_i = 2.$ Donc vous avez :
\begin{align*}
n+2 &= p_i + \sum_{\substack{1\leq j \leq 3 \\ j\neq i}} p_j \\
&= 2 + \sum_{\substack{1\leq j \leq 3 \\ j\neq i}} p_j.
\end{align*}Du coup $n = \sum_{\substack{1\leq j \leq 3 \\ j\neq i}} p_j$ ce qui prouve que $n$ s’écrit comme la somme de deux nombres premiers.
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