Le but de ce contenu est de calculer la valeur de la somme $\arcsin \left(\frac{3}{5}\right) +\arctan \left(\frac{1}{7}\right).$

Posez $a=\arcsin \left(\frac{3}{5}\right)$ et $b=\arctan \left(\frac{1}{7}\right).$ Les nombres $a$ et $b$ désignent deux réels – correspondant à des angles aigus – tels que $\sin a = \frac{3}{5}$ et $\tan b = \frac{1}{7}.$

Déterminez la valeur de $a+b$

Il serait intéressant dans un premier temps de savoir si $a+b$ désigne un angle aigu. Pour cela, en coupant en deux, vous allez voir si $a$ est inférieur à $\frac{\pi}{4}.$

Comparez $\frac{3}{5}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Comme $\frac{9}{25} \lt \frac{9}{18} \leq\frac{1}{2}\comma$ vous avez, en prenant la racine carrée, $\frac{3}{5}\lt \frac{\sqrt{2}}{2}\comma$ d’où $\sin a \lt \sin \frac{\pi}{4}.$

Comme $0\leq \sin a \lt \sin \frac{\pi}{4}\comma$ par stricte croissance de la fonction sinus sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\comma$ vous obtenez $0\leq a \lt \frac{\pi}{4}.$

Traitez le cas pour le nombre $b$

Plus rapidement, pour $b$, vous obtenez $\tan b \leq \frac{1}{7} \lt 1 \leq \tan \frac{\pi}{4}.$ Ainsi, $0\leq \tan b \lt 1.$ Par stricte croissance de la fonction tangente sur l’intervalle $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right[\comma$ vous obtenez $0\leq b \lt \frac{\pi}{4}.$

Ainsi, $0 \leq a+b \lt \frac{\pi}{2}\comma$ donc $a+b$ désigne bien un angle aigu.

Calculez la tangente de $a+b$

Vous utilisez la formule d’addition de la tangente suivante : $\tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b}.$

Vous partez de :

Vous déduisez ce qui suit :

Comme $\tan(a+b) =\tan \frac{\pi}{4}\comma$ vous déduisez que $a+b =\frac{\pi}{4}.$

Prolongement

Il existe d’autres formules attribuées à Machin, dont une qui fait apparaître la fraction $1/239.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 381.