Calculez la valeur de $\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right) + \tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right).$

Posez $a=\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right)$ et $b=\tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right).$ $a$ et $b$ désignent deux réels – correspondant à des angles aigus – tels que $\sin a = \frac{3}{5}$ et $\tan b = \frac{1}{7}.$

Comment attraper la valeur de $a+b$ ?

Il serait bon dans un premier temps de savoir si $a+b$ désigne un angle aigu, pour cela, en coupant en deux, voyez si $a$ est inférieur à $\frac{\pi}{4}.$
Comparez $\frac{3}{5}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}.$
Cela revient à comparer leurs carrés car ce sont deux nombres positifs.
$\frac{9}{25} < \frac{9}{18}  \leq \frac{1}{2}$ donc $\sin a \leq \sin \frac{\pi}{4}.$ Par stricte croissance de la fonction sinus sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ vous obtenez $a\in \left[0 ; \frac{\pi}{4}\right[.$ Plus rapidement, pour $b$, vous obtenez $\tan b \leq  \frac{1}{7} < 1 \leq \tan \frac{\pi}{4}.$ Par stricte croissance de la fonction tangente sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right[$ vous obtenez $b < \frac{\pi}{4}.$ Ainsi $0 < a+b < \frac{\pi}{2}.$ $a+b$ désigne un angle aigu.

Un calcul de tangente

Vous connaîtrez la valeur de $a+b$ quand la valeur de sa tangente sera connue.
La formule d’addition de la tangente fournit :
$\tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b}$
Partant de :
\begin{aligned} \tan a &= \frac{\sin a}{\cos a}\\ &= \frac{\sin a}{\sqrt{1-\sin^2 a}} \\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1-\frac{9}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{25-9}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{16}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\\    &=\frac{3}{4}\end{aligned}
On en déduit :
\begin{aligned} \tan (a+b) &= \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b} \\ &=\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1- \frac{3}{4}\times \frac{1}{7}}\\ &= \frac{\frac{25}{28}}{1- \frac{3}{28}} \\&=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} \\ &=1.  \end{aligned}
Comme $\tan(a+b) =\tan \frac{\pi}{4}$
on en déduit $a+b =\frac{\pi}{4}.$

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