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035. Calculez la valeur de $\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right) + \tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right).$

Posez \(a=\sin^{-1} \left(\frac{3}{5}\right)\) et \(b=\tan^{-1} \left(\frac{1}{7}\right)\).
a et b désignent deux réels – correspondant à des angles aigus – tels que \(\sin a = \frac{3}{5}\) et \(\tan b = \frac{1}{7}\).

Comment attraper la valeur de \(a+b\) ?

Il serait bon dans un premier temps de savoir si \(a+b\) désigne un angle aigu, pour cela, en coupant en deux, voyez si \(a\) est inférieur à \(\frac{\pi}{4}\).
Comparez \(\frac{3}{5}\) et \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Cela revient à comparer leurs carrés car ce sont deux nombres positifs.
\(\frac{9}{25} < \frac{9}{18}  \leq \frac{1}{2}\) donc \(\sin a \leq \sin \frac{\pi}{4}\). Par stricte croissance de la fonction sinus sur \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) vous obtenez \(a\in \left[0 ; \frac{\pi}{4}\right[\). Plus rapidement, pour \(b\), vous obtenez \(\tan b \leq  \frac{1}{7} < 1 \leq \tan \frac{\pi}{4}\). Par stricte croissance de la fonction tangente sur \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right[\) vous obtenez \(b < \frac{\pi}{4}\). Ainsi \(0 < a+b < \frac{\pi}{2}\). \(a+b\) désigne un angle aigu.

Un calcul de tangente

Vous connaîtrez la valeur de \(a+b\) quand la valeur de sa tangente sera connue.
La formule d’addition de la tangente fournit :
\(\displaystyle \tan (a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b}\)
Partant de :
$$\displaystyle\begin{align*} \tan a &= \frac{\sin a}{\cos a}\\ &= \frac{\sin a}{\sqrt{1-\sin^2 a}} \\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1-\frac{9}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{25-9}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{16}{25}}}\\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\\    &=\frac{3}{4}\end{align*}$$
On en déduit :
$$\begin{align*} \tan (a+b) &= \frac{\tan a + \tan b}{1- \tan a \tan b} \\ &=\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{7}}{1- \frac{3}{4}\times \frac{1}{7}}\\ &= \frac{\frac{25}{28}}{1- \frac{3}{28}} \\&=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} \\ &=1.  \end{align*} $$
Comme \(\tan(a+b) =\displaystyle \tan \frac{\pi}{4}\),
on en déduit \(a+b =\displaystyle \frac{\pi}{4}.\)

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