Dans ce contenu, vous fixez deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$ et vous considérez une fonction $f$ définie sur le segment $[a,b]\comma$ à valeurs réelles.
Le terme jauge désigne une fonction définie sur $[a,b]$ à valeurs réelles strictement positives.
On appelle partition de $[a,b]$ tout ensemble $P$ de la forme :
P = \{(x_1,[a_0, a_1]), \dots, (x_m, [a_{m-1},a_m])\}qui vérifie :
\left\{\begin{align*}
&\forall i\in\llbracket 0, m\rrbracket, a_i\in[a,b]\\
&\forall i\in\llbracket 1, m\rrbracket, x_i\in [a_{i-1},a_i]\\
&a_0 = a\\
&a_m = b.
\end{align*}
\right.Pour une telle partition, vous notez $S(P)$ la somme de Riemann associée qui est égale à :
S(P)= \sum_{i=1}^m f(x_i)(x_i-x_{i-1}).Si $\delta$ est une jauge, la partition $P$ est dite $\delta$-fine, si et seulement si :
\forall i\in\llbracket 1, m\rrbracket, [a_{i-1},a_i]\subset [x_i-\delta(x_i), x_i+\delta(x_i)].Montrez que si $f$ est HK-intégrable, elle vérifie le critère de Cauchy
Fixez un réel $\varepsilon$ qui soit strictement positif. La fonction $f$ étant HK-intégrable, il existe une jauge $\delta$ telle que pour tout partition $P$ qui soit $\delta$-fine :
\lvert S(P) - I\rvert \leq \frac{\varepsilon}{2}.Soient $P$ et $Q$ deux partitions qui sont $\delta$-fines. Alors, par inégalité triangulaire :
\begin{align*}
\lvert S(P) - S(Q)\rvert &\leq \lvert S(P) - I \rvert + \lvert I-S(Q)\rvert\\
&\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\
&\leq \varepsilon.
\end{align*}
Ainsi la fonction $f$ vérifie le critère de Cauchy.
Réciproquement, montrez que si $f$ vérifie le critère de Cauchy, alors elle est HK-intégrable
Supposez que $f$ vérifie le critère de Cauchy, c’est-à-dire que, pour tout $\varepsilon>0\comma$ il existe une jauge $\delta$ de sorte que quelles que soient les partitions $P$ et $Q$ qui soient $\delta$-fines vous ayez :
\lvert S(P) - S(Q)\lvert \leq \varepsilon.
Avant de montrer que $f$ est HK-intégrable, vous vous attachez à définir une suite de partitions dont les sommes de Riemann vont converger vers un réel.
Vous commencez en déduisant, en particulier, que pour tout entier naturel $n$ non nul, il existe une jauge $\delta_n$ de sorte que quelles que soient les partitions $P$ et $Q$ qui soient $\delta_n$-fines vous ayez :
\lvert S(P) - S(Q)\lvert \leq \frac{1}{n}.Pout tout entier naturel $n$ non nul, vous définissez une jauge $\tau_n$ par :
\forall x\in[a,b], \tau_n(x) = \min\{\delta_i(x), i\in\llbracket 1, n\rrbracket\}.Or, pour tout entier naturel $n$ non nul, il existe une partition $P_n$ qui soit $\tau_n$-fine, ceci résultant du lemme de Cousin.
Soit $n$ un entier naturel non nul et $p$ un entier naturel. La partition $P_{n+p}$ est $\tau_{n+p}$-fine. Or, pour tout réel $x\in[a,b], \tau_{n+p}(x) \leq \tau_n(x)\leq delta_n(x)\comma$ donc $P_{n+p}$ est aussi $\delta_n$-fine. Comme $P_n$ est elle-même $\tau_n$-fine donc $\delta_n$-fine, vous déduisez :
\lvert S(P_n) - S(P_{n+p})\lvert \leq \frac{1}{n}.Ainsi, la suite $(S(P_n))_{n\geq 1}$ est une suite de réels qui est de Cauchy, donc elle converge. Une démonstration de ce résultat est explicitée dans le contenu rédigé dans l'article 396. Il existe un réel $I$ tel que :
\lim_{n\to +\infty} S(P_n) = I.Ces résultats préliminaires étant acquis, vous possédez les outils pour montrer que $f$ est HK-intégrable.
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Vous posez $N = \left\lfloor \frac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1$ de sorte que $N\in\N$ et $N> \frac{1}{\varepsilon}$ d’où $\frac{1}{N}\leq \varepsilon.$
Pour cet entier $N\comma$ il existe une jauge $\delta_N$ de sorte que quelles que soient les partitions $P$ et $Q$ qui soient $\delta_N$-fines, vous ayez :
\lvert S(P) - S(Q)\lvert \leq \frac{1}{N}\leq \varepsilon.Soit $P$ une partition qui soit $\delta_N$-fine.
Pour tout entier naturel $p$, la partition $P_{N+p}$ est $\tau_{N+p}$-fine donc $\delta_N$-fine. Il en résulte que :
\forall p\in\N, \lvert S(P) - S(P_{N+p})\lvert \leq \varepsilon.Or :
\lim_{p\to +\infty} S(P_{N+p}) = IEn faisant tendre $p$ vers $+\infty$ dans l’inégalité précitée il vient :
\lvert S(P) - I\lvert \leq \varepsilon.
Donc $f$ est bien HK-intégrable.
Prolongement
En utilisant les propriétés des nombres réels, pourriez-vous démontrer le lemme de Cousin, qui affirme que pour toute jauge $\delta\comma$ il existe au moins une partition $P$ de $[a,b]$ qui soit $\delta$-fine ?
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