083. La décomposition $LU$ d’une matrice inversible

Dans cet article, vous trouverez :

  • comment construire la décomposition $LU$ de la matrice $A=\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\4 & 13 & 1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}$ avec méthode ;
  • une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice $A$ admette une telle décomposition $LU.$

Qu’est-ce que la décomposition $LU$ d’une matrice ?

On dit qu’une matrice $A$ admet une décomposition $LU$ lorsqu’il existe deux matrices $L$ et $U$ de même taille que $A$, telles que :

  • le produit matriciel $LU$ est égal à $A$ ;
  • la matrice $L$ (comme “low”) est triangulaire inférieure ;
  • la matrice $L$ a tous ses coefficients diagonaux égaux à $1$ ;
  • la matrice $U$ (comme “up”) est triangulaire supérieure.

Trouvez une décomposition $LU$ pour la matrice $A$

Il s’agit de trouver $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \times & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix}$ et $U = \begin{pmatrix} \times & \times & \times \\0 & \times & \times\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}$ pour que l’on ait $A=LU.$

Pour répondre à cette question et ne pas s’embrouiller, il s’agit de résoudre cela avec méthode, de façon progressive. Vous allez vous en tirer en considérant les mineurs principaux de la matrice $A$. Ce sont les sous-matrices de $A$, carrées, construites à partir de son premier coefficient en haut à gauche.

La matrice $A$ possède trois mineurs principaux :

  • la matrice $1\times 1$ à un coefficient : $\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}$ ;
  • la matrice $2\times 2$ suivante : $\begin{pmatrix} 2& 7 \\4 & 13\end{pmatrix}$ ;
  • la matrice $3\times3$ égale à la matrice $A$ elle-même.
L’idée de base lors de la décomposition $LU$ c’est que, pour une taille donnée, les mineurs de $A$ sont égaux au produit des mineurs de $L$ et de $U$. Cette constatation est immédiate compte tenu de la structure triangulaire des matrices $L$ et $U$.

Regardez ce que donnent les mineurs $1\times1$

Pour la matrice $A$ vous n’avez besoin que de son premier mineur. Tous les autres coefficients de $A$ sont masqués.

$ \begin{pmatrix} \boxed{2} & \times & \times \\\times & \times & \times\\ \times & \times & \times\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \boxed{1} & 0 & 0 \\ \times & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boxed{\times} & \times & \times \\0 & \times & \times\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}$

$2 = 1 \times 2$, donc pas le choix, vous déduisez :

$ \begin{pmatrix} \boxed{2} & 7 & 1 \\4 & 13 & 1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \boxed{1} & 0 & 0 \\ \times & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boxed{2} & \times & \times \\0 & \times & \times\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}.$

Regardez ce que donnent les mineurs $2\times 2$

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& \times \\4& 13& \times\\ \times & \times & \times\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \times & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & \times & \times \\0 & \times & \times\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}$

Vous allez pouvoir compléter un coefficient du mineur de taille $2\times2$ de la matrice $U$. En commençant par celui du haut.

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& \times \\4& 13& \times\\ \times & \times & \times\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \times & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & \boxed{\times} & \times \\0 & \times & \times\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}$

$7$ est égal à $1$ fois $\boxed{\times}$ plus 0. Donc :

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& \times \\4& 13& \times\\ \times & \times & \times\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \times & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \times \\0 & \times & \times\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}.$

Passez au coefficient suivant :

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& \times \\4& 13& \times\\ \times & \times & \times\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \boxed{\times} & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \times \\0 & \times & \times\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}.$

$2$ fois $\boxed{\times}$ plus 0 est égal à $4$. Donc :

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& \times \\4& 13& \times\\ \times & \times & \times\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \times \\0 & \times & \times\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}.$

Et maintenant le dernier coefficient des mineurs de taille $2\times 2.$

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& \times \\4& 13& \times\\ \times & \times & \times\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \times \\0 & \boxed{\times} & \times\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}$

Or $7$ fois $2$ plus $1$ fois $\boxed{\times}$ est égal à $13.$ Donc :

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& \times \\4& 13& \times\\ \times & \times & \times\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \times \\0 & -1 & \times\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}.$

Regardez ce que donnent les mineurs $3\times 3$

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \boxed{\times} \\0 & -1 & \boxed{\times}\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}$

Or $1$ fois $\boxed{\times}$ plus $0$ est égal à $1$. Donc la première croix doit être remplacée par 1.

$2$ fois $1$ plus $1$ fois la seconde $\boxed{\times}$ est égal à $1.$

Vous déduisez :

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \times & \times & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}.$

Maintenant vous passez aux deux autres coefficients.

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \boxed{\times} & \boxed{\times} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}$

Or $2$ fois $\boxed{\times}$ plus $0$ est égal à $2$. Donc la première croix doit être remplacée par $-1$.

$7$ fois $-1$ plus $-1$ fois la seconde $\boxed{\times}$ est égal à $-10.$

Vous déduisez :

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & \times\end{pmatrix}.$

Puis, vous finissez avec le dernier coefficient.

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & \boxed{\times}\end{pmatrix}$

$-1$ fois $1$ plus $3$ fois $-1$ plus $1$ fois $\boxed{\times}$ est égal à $1$.

Vous déduisez :

$ \begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -3\end{pmatrix}.$

Quand, et seulement quand, une matrice inversible $A$ admet une décomposition $LU$ ?

Analyse

Soit $n$ un entier naturel non nul et $A$ une matrice inversible de taille $n\times n$ admettant une décomposition $LU$.

Alors $\det A = \det L \times \det U.$ Comme $\det A\neq 0$ et $\det L = 1$, vous déduisez $\det U \neq 0.$

Notez $u_{11}$, …, $u_{nn}$ les coefficients diagonaux de $U$.

Comme $\det U = u_{11}\times \dots \times u_{nn}$, vous déduisez $\forall i\in\N, 1\leq i \leq n \Rightarrow u_{ii} \neq 0.$

Soit $k$ un entier naturel compris entre $1$ et $n$. Notez $A_k$ le mineur principal de $A$ de taille $k$. Notez $L_k$ le mineur principal de $L$ de taille $k$. Notez $U_k$ le mineur principal de $U_k$ de taille $k$. En effectuant un produit par blocs :

$\begin{pmatrix} A_k & \times \\ \times &\times \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L_k & 0 \\ \times &\times \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_k & \times \\ 0 &\times \end{pmatrix}$

vous constatez que $A_k = L_kU_k$ donc $\det A_k = \det L_k \times \det U_k$ et par suite $\det A_k = u_{11}\times \cdots\times u_{kk}$, donc $\det A_k\neq 0.$

Donc tous les mineurs principaux de $A$ sont inversibles.

Note : on désigne parfois par le mot “mineur” le déterminant d’une sous-matrice de $A$ au lieu de cette sous-matrice.

Synthèse

Pour tout entier naturel $n$ non nul, notez $P(n)$ la propriété “pour toute matrice $A$ d’ordre $n$ inversible ayant ses mineurs principaux inversibles, $A$ admet une décomposition $LU$.”

Initialisation. Prenez $n=1$. Supposez que $A$ soit une matrice d’ordre $1$ ayant des mineurs principaux tous inversibles. Comme $A$ n’admet qu’un seul coefficient $a$, vous posez $L = (1)$ et $U=(a)$ et vous déduisez $A=LU$. Donc $P(1)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel non nul. Supposez $P(n)$. Vous allez montrer $P(n+1)$.

Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n+1$ ayant tous ses mineurs principaux inversibles.

Notez $A’$ le mineur principal de $A$ d’ordre $n$.

Il existe une matrice ligne $v_L$ et une matrice colonne $v_C$ et un scalaire $s$ tels que $A = \begin{pmatrix}A’ & v_C \\ v_L & s\end{pmatrix}.$

D’après l’hypothèse, $A’$ admet une décomposition $L’U’.$

Soient $\alpha_L$ une matrice ligne à $n$ coefficients, $\alpha_C$ une matrice colonne à $n$ coefficients et un scalaire $\beta$ que l’on choisira plus tard.

Posez $L = \begin{pmatrix} L’ & 0 \\\alpha_L & 1\end{pmatrix}$ et $U=\begin{pmatrix} U’ & \alpha_C \\ 0 & \beta \end{pmatrix}.$

Le produit $LU$ est égal à $\begin{pmatrix} L’U’ &L’\alpha_C \\ \alpha_LU’ & \alpha_L\alpha_C+\beta\end{pmatrix}.$

Comme $A’$ est inversible, $\det A’ \neq 0$. Or $\det L’ \det U’ =\det A’$ donc les deux matrices $L’$ et $U’$ sont inversibles.

Choisissez $\alpha_C$, $\alpha_L$ et $\beta$ pour que $L’\alpha_C = v_C$ et $\alpha_L U’ = v_L$ et $\beta = s-\alpha_L\alpha_C.$

Vous avez $A = LU$. $L$ est bien triangulaire inférieure avec des coefficients diagonaux égaux à $1$. $U$ est bien une matrice triangulaire supérieure. $A$ admet donc une décomposition $LU$. Donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Par récurrence, vous avez montré que pour tout entier naturel $n$ non nul, $P(n)$ est vérifiée.

Concluez

Une matrice $A$ inversible admet une décomposition $LU$, si et seulement si, tous ses mineurs principaux sont inversibles.

Une matrice $A$ inversible admet une décomposition $LU$, si et seulement si, tous ses mineurs principaux sont inversibles.

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