083. Maîtrisez la décomposition LU d’une matrice inversible

Toutes les matrices de cet article sont à coefficients réels. Ce contenu est organisé en deux parties principales.

Dans la première, vous construisez la décomposition $LU$ de la matrice réelle $A$ définie par :

A=\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\4 & 13 & 1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}.

Dans la seconde partie, $n$ désignera un entier naturel non nul. Une condition nécessaire est suffisante sera explicitée au sujet d’une matrice $M$ inversible carrée d’ordre $n$ pour savoir si elle admet une décomposition $LU.$

Préliminaire : définissez la décomposition $LU$

Soit $n$ un entier naturel non nul et $M$ une matrice réelle carrée d’ordre $n.$ La matrice $M$ admet une décomposition $LU\comma$ si et seulement si, il existe deux matrices carrées d’ordre $n$ notées $L$ et $U\comma$ de sorte que $M=LU\comma$ la matrice $L$ soit triangulaire inférieure avec ses coefficients diagonaux égaux à $1\comma$ et la matrice $U$ est triangulaire supérieure.

Première partie : déterminez la décomposition $LU$ de la matrice $A$

Analysez l’existence d’une décomposition $LU$ pour la matrice $A$

Vous supposez qu’il existe deux matrices $L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \ast & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix}$ et $U = \begin{pmatrix} \ast & \ast & \ast \\0 & \ast & \ast\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}\comma$ de sorte que $A=LU.$

L’idée importante lors de la décomposition $LU$ c’est que, pour une taille donnée, les mineurs principaux de $A$ sont égaux au produit des mineurs principaux de $L$ et de $U.$ Cette constatation se déduit de la structure triangulaire des matrices $L$ et $U.$

La matrice $A$ possède trois mineurs principaux.

Le premier est la matrice $1\times 1$ possédant un seul coefficient : $\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}.$

Le deuxième est la matrice d’ordre $2$ suivante : $\begin{pmatrix} 2& 7 \\4 & 13\end{pmatrix}$.

Le troisième est la matrice d’ordre $3$ égale à la matrice $A$ elle-même.

Regardez ce que donnent les mineurs $1\times1$

Pour la matrice $A$ vous n’avez besoin que de son premier mineur. Tous les autres coefficients de $A$ sont masqués. Cela est écrit ainsi :

\begin{pmatrix} \boxed{2} & \ast & \ast \\\ast & \ast & \ast\\ \ast & \ast & \ast\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \boxed{1} & 0 & 0 \\ \ast & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boxed{\ast} & \ast & \ast \\0 & \ast & \ast\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Le coefficient à la première ligne et à la première colonne de la matrice $U$ est nécessairement égal à $2.$ Ainsi, vous avez :

\begin{pmatrix} \boxed{2} & 7 & 1 \\4 & 13 & 1\\ -2 & -10 & -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \boxed{1} & 0 & 0 \\ \ast & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boxed{2} & \ast & \ast \\0 & \ast& \ast\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Regardez ce que donnent les mineurs $2\times 2$

En masquant les autres coefficients de la matrice de départ, vous avez :

\begin{pmatrix} 2 & 7& \ast \\4& 13& \ast\\ \ast & \ast & \ast\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \ast & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & \ast & \ast \\0 & \ast & \ast\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Vous allez pouvoir compléter un coefficient du mineur de taille $2\times2$ de la matrice $U$. En commençant par celui du haut :

\begin{pmatrix} 2 & 7& \ast \\4& 13& \ast\\ \ast & \ast & \ast\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \ast & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & \boxed{\ast} & \ast \\0 & \ast & \ast\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Comme le coefficient de $A$ situé à la première ligne et à la deuxième colonne est égal à $7\comma$ il vient :

\begin{pmatrix} 2 & 7& \ast \\4& 13& \ast\\ \ast & \ast & \ast\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \ast & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \ast \\0 & \ast & \ast\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Vous passez au coefficient suivant :

\begin{pmatrix} 2 & 7& \ast \\4& 13& \ast\\ \ast & \ast & \ast\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \boxed{\ast} & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \ast \\0 & \ast & \ast\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Le coefficient de $1$ situé à la deuxième ligne et à la première colonne est égal à $4\comma$ donc :

\begin{pmatrix} 2 & 7& \ast \\4& 13& \ast\\ \ast & \ast & \ast\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \ast \\0 & \ast & \ast\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Et maintenant vous passez au dernier coefficient des mineurs de taille $2\times 2\comma$ qui est indiqué comme suit :

\begin{pmatrix} 2 & 7& \ast \\4& 13& \ast\\ \ast & \ast & \ast\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \ast \\0 & \boxed{\ast} & \ast\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Le coefficient de $A$ situé à la deuxième ligne et à la deuxième colonne est $13\comma$ du coup :

\begin{pmatrix} 2 & 7& \ast \\4& 13& \ast\\ \ast & \ast & \ast\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \ast \\0 & -1 & \ast\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Regardez ce que donnent les mineurs $3\times 3$

Vous cherchez à déterminer les valeurs des deux premiers coefficients de la dernière colonne de la matrice $U\comma$ indiqués ci-dessous :

\begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & \boxed{\ast} \\0 & -1 & \boxed{\ast}\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Le coefficient situé à la première ligne de $A$ et situé à sa dernière colonne vaut $1.$ Vous déduisez :

\begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & \boxed{\ast}\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Le coefficient situé à la deuxième ligne de $A$ et situé à sa dernière colonne vaut $1.$ Vous avez :

\begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \ast & \ast & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Maintenant vous passez aux deux autres coefficients indiqués ci-dessous :

\begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ \boxed{\ast} & \boxed{\ast} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Le coefficient situé à la troisième ligne de $A$ et situé à sa première colonne vaut $-2.$ Vous avez donc :

\begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ -1 & \boxed{\ast} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Le coefficient situé à la troisième ligne de $A$ et situé à sa deuxième colonne vaut $-10.$ Ainsi :

\begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & \ast\end{pmatrix}.

Puis, vous terminez avec le dernier coefficient :

\begin{pmatrix} 2 & 7& 1\\4& 13& 1\\ -2& -10& -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -3\end{pmatrix}.

Ainsi, si $A$ admet une décomposition $LU\comma$ celle-ci est unique.

Effectuez la synthèse

Vous posez :

\begin{align*} L =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0\\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix} \quad U=\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 \\0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -3\end{pmatrix}. \end{align*}

Vous effectuez le produit $LU$ et vous constatez que :

LU = A.

Seconde partie : explicitez un critère permettant de savoir si une matrice inversible $M$ admet une décomposition $LU$

Analysez la situation avec les mineurs principaux

Soit $n$ un entier naturel non nul et $M$ une matrice inversible d’ordre $n$ admettant une décomposition $LU.$

Alors $\det M = \det L \times \det U.$ Comme $\det A\neq 0$ et $\det L = 1\comma$ vous déduisez que $\det U \neq 0.$

Notez $u_{11}, \dots, u_{nn}$ les coefficients diagonaux de la matrice $U.$

Comme $\det U = u_{11}\times \dots \times u_{nn}$, vous avez :

\forall i\in\llbracket 1, n\rrbracket, u_{ii}\neq 0.

Pour tout entier naturel $k$ compris entre $1$ et $n\comma$ vous notez $A_k$ le mineur principal de la matrice $A$ de taille $k\comma$ $L_k$ le mineur principal de la matrice $L$ de taille $k\comma$ et $U_k$ le mineur principal de $U_k$ de taille $k.$

Soit $k$ un entier appartenant à l’intervalle $\llbracket 1, n\rrbracket.$ L’égalité $A=LU$ devient :

\begin{pmatrix} A_k & \ast \\ \ast &\ast \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L_k & 0 \\ \ast &\ast \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_k & \ast \\ 0 &\ast \end{pmatrix}.

Ainsi, vous avez $A_k = L_kU_k$ donc $\det A_k = \det L_k \times \det U_k$ et par suite $\det A_k = u_{11}\times \cdots\times u_{kk}\comma$ donc $\det A_k\neq 0.$

Donc tous les mineurs principaux de $A$ sont inversibles.

Effectuez la synthèse avec une récurrence

Pour tout entier naturel $n$ non nul, notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété stipulant que pour toute matrice $M$ carrée d’ordre $n$ inversible ayant ses mineurs principaux inversibles, $M$ admet une décomposition $LU.$

Initialisation. Prenez $n=1$. Supposez que $M$ soit une matrice d’ordre $1$ ayant des mineurs principaux tous inversibles. Comme $M$ n’admet qu’un seul coefficient $m\comma$ vous posez $L = (1)$ et $U=m)$ et vous déduisez $M=LU.$ Donc $\mathscr{P}(1)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel non nul. Supposez $\mathscr{P}(n).$ Vous allez montrer $\mathscr{P}(n+1).$

Soit $M$ une matrice carrée d’ordre $n+1$ ayant tous ses mineurs principaux inversibles. Vous notez $M^{\prime}$ le mineur principal de la matrice $M$ d’ordre $n.$

Il existe une matrice ligne $v_L$ et une matrice colonne $v_C$ et un scalaire $s$ tels que $M = \begin{pmatrix}M^{\prime} & v_C \\ v_L & s\end{pmatrix}.$

D’après l’hypothèse de récurrence, la matrice $A^{\prime}$ admet une décomposition $L^{\prime}U^{\prime}.$

Soient $\alpha_L$ une matrice ligne à $n$ coefficients, $\alpha_C$ une matrice colonne à $n$ coefficients et un scalaire $\beta\comma$ que vous allez choisir plus tard.

Vous posez $L = \begin{pmatrix} L^{\prime} & 0 \\\alpha_L & 1\end{pmatrix}$ et $U=\begin{pmatrix} U^{\prime} & \alpha_C \\ 0 & \beta \end{pmatrix}.$

Le produit $LU$ est égal à $\begin{pmatrix} L^{\prime}U^{\prime} & L^{\prime}\alpha_C \\ \alpha_LU^{\prime} & \alpha_L\alpha_C+\beta\end{pmatrix}.$

Comme la matrice $M^{\prime}$ est inversible, $\det M^{\prime}\neq 0.$ Or $\det L^{\prime}\det U^{\prime} =\det M^{\prime}$ donc les deux matrices $L^{\prime}$ et $U^{\prime}$ sont inversibles.

Posez maintenant :

\left\{\begin{align*} \alpha_C &= (L^{\prime})^{-1}v_c\\ \alpha_L &=v_L (U^{\prime})^{-1}\\ \beta &= s-\alpha_L\alpha_C. \end{align*} \right.

Alors $L^{\prime}\alpha_C = v_C$ et $\alpha_L U^{\prime} = v_L$ et $s = \alpha_L\alpha_C+\beta.$

Vous avez donc $M = LU\comma$ avec la matrice $L$ qui est bien triangulaire inférieure avec des coefficients diagonaux égaux à $1\comma$ et la matrice $U$ qui est bien une matrice triangulaire supérieure. $A$ admet donc une décomposition $LU.$ Donc $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifiée.

Conclusion. Par récurrence, vous avez montré que pour tout entier naturel $n$ non nul, la propriété $\mathscr{P}(n)$ est vérifiée. Autrement dit, pour tout entier naturel $n$ non nul, une matrice $M$ inversible admet une décomposition $LU\comma$ si et seulement si, tous ses mineurs principaux sont inversibles.

Prolongements

Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $M$ une matrice carrée d’ordre $n$ qui soit inversible. Pourriez-vous démontrer que sa décomposition $LU$ est unique ?

Vous souhaitez savoir comment retrouver cette décomposition avec une autre méthode ?

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 399.