107. Calculez les cosinus de 2pi/7, 4pi/7 et 6pi/7

Soit $\alpha = \frac{2\pi}{7}.$ Le but de l’article est de trouver une équation polynomiale qui caractérise $u=\cos \alpha\comma$ $v=\cos (2\alpha)$ et $w=\cos (3\alpha).$

Factorisez le polynôme $X^7-1$ dans $\C[X]$

Les $7$ nombres complexes $1\comma$ $\e^{i\alpha}\comma$ $\e^{-i\alpha}\comma$ $\e^{2i\alpha}\comma$ $\e^{-2i\alpha}\comma$ $\e^{3i\alpha}$ et $\e^{-3i\alpha}$ sont des solutions deux à deux distinctes de l’équation $z^7=1$ d’inconnue $z\in\C.$

Par conséquent :

\boxed{X^7-1 = (X-1)(X-\e^{i\alpha})(X-\e^{-i\alpha})(X-\e^{2i\alpha})(X-\e^{-2i\alpha})(X-\e^{3i\alpha})(X-\e^{-3i\alpha}).}

Regroupez les polynômes ayant des racines complexes conjuguées

Vous partez des égalités suivantes :

\left\{\begin{align*} (X-\e^{i\alpha})(X-\e^{-i\alpha}) &= X^2-2X\cos \alpha + 1\\ (X-\e^{2i\alpha})(X-\e^{-2i\alpha}) &= X^2-2X\cos (2\alpha) + 1\\ (X-\e^{3i\alpha})(X-\e^{-3i\alpha}) &= X^2-2X\cos (3\alpha) + 1. \end{align*} \right.

Vous déduisez la factorisation de $X^7-1$ dans $\R[X]$ qui est :

\boxed{X^7-1 = (X-1)(X^2-2uX + 1)(X^2-2vX + 1)(X^2-2wX + 1). }

Déduisez-en la factorisation du polynôme $X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1$ dans $\R[X]$

La division euclidienne de $X^7-1$ par $X-1$ fournit l’égalité :

\boxed{X^7-1 = (X-1)(X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+ 1).}

Par unicité du quotient de la division euclidienne, vous aboutissez à :

\boxed{X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1 = (X^2-2uX + 1)(X^2-2vX + 1)(X^2-2wX + 1). }

Poursuivez avec la division euclidienne de ce polynôme par un polynôme de degré $2$

Rappelez-vous que les réels $u\comma$ $v$ et $w$ sont deux à deux distincts.

Soit $r\in\{u,v,w\}$ et effectuez la longue division euclidienne de $X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1$ par $X^2-2rX+1.$

Vous posez d’abord :

\left\{ \begin{align*} Q(X)&= X^4+ (1+2r)X^3 +(4r^2+2r)X^2+(8r^3+4r^2-2r)X\\ &\quad+(16r^4+8r^3-8r^2-2r+1)\\ M(X) &= (16r^4+8r^3-8r^2-2r+1)X^2 \\ &\quad+(-32r^5-16r^4+16r^3+4r^2-2r)X +(16r^4+8r^3-8r^2-2r+1). \end{align*} \right.

Alors :

\begin{array}{r|l} X^6 +X^5 +X^4 +X^3 +X^2 +X +1 & \underline{X^2 -2rX+1} \\ \underline{X^6 -2rX^5 +X^4} & Q(X) \\ (1+2r)X^5 +X^3 +X^2 +X +1 \\ \underline{(1+2r)X^5 +(-4r^2-2r)X^4 +(1+2r)X^3} & \\ (4r^2+2r)X^4 -2rX^3 +X^2 +X +1& \\ \underline{(4r^2+2r)X^4 +(-8r^3-4r^2)X^3 +(4r^2+2r)X^2} & \\ (8r^3+4r^2-2r)X^3 +(-4r^2-2r+1)X^2 +X +1 & \\ \underline{(8r^3+4r^2-2r)X^3 + (-16r^4-8r^3+4r^2)X^2 +(8r^3+4r^2-2r)X} & \\ (16r^4+8r^3-8r^2-2r+1)X^2+(-8r^3-4r^2+2r+1)X +1 & \\ \underline{M(X)} &\\ (32r^5+16r^4-24r^3-8r^2+4r+1)X+(-16r^4-8r^3+8r^2+2r) \end{array}

Par unicité du reste de la division euclidienne, vous déduisez que :

\left\{\begin{align*} -16r^4-8r^3+8r^2+2r &=0\\ 32r^5+16r^4-24r^3-8r^2+4r+1 &= 0. \end{align*}\right.

Comme $r\neq 0\comma$ la première équation se simplifie en divisant par $r$ et en divisant par $-2$ ce qui donne :

\left\{\begin{align*} 8r^3+4r^2-4r-1 &=0\\ 32r^5+16r^4-24r^3-8r^2+4r+1 &= 0. \end{align*}\right.

Déterminez ce qu’apporte l’équation $32r^5+16r^4-24r^3-8r^2+4r+1 = 0$

Effectuez la division euclidienne de $32X^5+16X^4-24X^3-8X^2+4X+1$ par $8X^3+4X^2-4X-1.$ Il vient :

\begin{array}{r|l} 32X^5 +16X^4 -24X^3 -8X^2 +4X +1 & \underline{8X^3+4X^2-4X-1} \\ \underline{32X^5 +16X^4 -16X^3 -4X^2} &4X^2 -1\\ -8X^3 -4X^2+4X+1 &\\ \underline{-8X^3 -4X^2+4X+1} &\\ 0& \end{array}

Par conséquent, l’équation de degré $5$ satisfaite par $r$ n’apporte aucun renseignement de plus que l’équation de degré $3$ dont vous disposez.

Concluez

Les trois réels $u\comma$ $v$ et $w$ sont deux à deux distincts et sont tous des solutions de la même équation $8x^3+4x^2-4x-1=0$ d’inconnue $x\in\R.$ Vous aboutissez ainsi à la factorisation du polynôme $8X^3+4X^2-4X-1$ dans $\R[X]\comma$ conformément à ce qui suit :

\boxed{\begin{align*} 8X^3+4X^2-4X-1 &= 8(X-u)(X-v)(X-w) \\ &=8\left(X-\cos \frac{2\pi}{7}\right)\left(X-\cos \frac{4\pi}{7}\right)\left(X-\cos \frac{6\pi}{7}\right). \end{align*}}

Pour déterminer les valeurs numériques de ces trois cosinus, il est possible de déterminer numériquement, avec une bonne précision, les trois racines du polynôme $8X^3+4X^2-4X-1.$

Prolongement

Il est possible de produire un raisonnement similaire pour déterminer les valeurs numériques des cosinus des réels $\frac{\pi}{7}\comma$ $\frac{3\pi}{7}$ et $\frac{5\pi}{7}.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 112.