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107. Calcul des cosinus de 2pi/7, 4pi/7 et 6pi/7

Soit $\alpha = \dfrac{2\pi}{7}.$ Le but de l’article est de trouver une équation polynomiale qui caractérise $u=\cos \alpha$, $v=\cos (2\alpha)$ et $w=\cos (3\alpha).$

Factorisez le polynôme $X^7-1$ dans $\C[X]$

Les 7 nombres complexes $1$, $\e^{i\alpha}$, $\e^{-i\alpha}$, $\e^{2i\alpha}$, $\e^{-2i\alpha}$, $\e^{3i\alpha}$ et $\e^{-3i\alpha}$ sont des solutions deux à deux distinctes de l’équation $z^7=1$ d’inconnue $z\in\C.$

Par conséquent :

$\boxed{X^7-1 = (X-1)(X-\e^{i\alpha})(X-\e^{-i\alpha})(X-\e^{2i\alpha})(X-\e^{-2i\alpha})(X-\e^{3i\alpha})(X-\e^{-3i\alpha})}.$

Regroupez les polynômes ayant des racines complexes conjuguées

Des égalités suivantes :

$\begin{align*}
(X-\e^{i\alpha})(X-\e^{-i\alpha}) &= X^2-2X\cos \alpha + 1\\
(X-\e^{2i\alpha})(X-\e^{-2i\alpha}) &= X^2-2X\cos (2\alpha) + 1\\
(X-\e^{3i\alpha})(X-\e^{-3i\alpha}) &= X^2-2X\cos (3\alpha) + 1
\end{align*}$

Vous déduisez la factorisation de $X^7-1$ dans $\R[X]$ :

$\boxed{X^7-1 = (X-1)(X^2-2uX + 1)(X^2-2vX + 1)(X^2-2wX + 1) }.$

Déduisez-en la factorisation de $X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1$ dans $\R[X]$

La division euclidienne de $X^7-1$ par $X-1$ fournit l’égalité :

$\boxed{X^7-1 = (X-1)(X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+ 1) }.$

Par unicité du quotient de la division euclidienne, vous aboutissez à :

$\boxed{X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1 = (X^2-2uX + 1)(X^2-2vX + 1)(X^2-2wX + 1) }.$

Comment continuer ?

Rappelez-vous que les réels $u$, $v$ et $w$ sont deux à deux distincts.

Soit $r\in\{u,v,w\}$ et effectuez la longue division euclidienne de $X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1$ par $X^2-2rX+1.$

$\begin{array}{rrrrrrr|lll}
X^6 &+X^5 &+X^4 &+X^3 &+X^2 &+X &+1 & X^2 &-2rX&+1 \\
X^6 & -2rX^5 &+X^4 & & & & &X^4 &+ (1+2r)X^3 &+(4r^2+2r)X^2+(8r^3+4r^2-2r)X+(16r^4+8r^3-8r^2-2r+1)\\ \hline
& (1+2r)X^5 & &+X^3 &+X^2 &+X &+1 \\
& (1+2r)X^5 & +(-4r^2-2r)X^4 & +(1+2r)X^3 \\ \hline
& & (4r^2+2r)X^4 &-2rX^3&+X^2&+X&+1 \\
& & (4r^2+2r)X^4 &+(-8r^3-4r^2)X^3 &+(4r^2+2r)X^2 \\ \hline
& & &(8r^3+4r^2-2r)X^3 &+(-4r^2-2r+1)X^2&+X&+1 \\
& & &(8r^3+4r^2-2r)X^3 & + (-16r^4-8r^3+4r^2)X^2 &+(8r^3+4r^2-2r)X \\ \hline
& & & &(16r^4+8r^3-8r^2-2r+1)X^2&+(-8r^3-4r^2+2r+1)X &+1\\
&&&&(16r^4+8r^3-8r^2-2r+1)X^2&+(-32r^5-16r^4+16r^3+4r^2-2r)X&+(16r^4+8r^3-8r^2-2r+1) \\ \hline
&&&&&(32r^5+16r^4-24r^3-8r^2+4r+1)X&+(-16r^4-8r^3+8r^2+2r)
\end{array}$

Par unicité du reste de la division euclidienne, vous déduisez que :

$\left\{\begin{align*}
-16r^4-8r^3+8r^2+2r &=0\\
32r^5+16r^4-24r^3-8r^2+4r+1 &= 0
\end{align*}\right.$

Comme $r\neq 0$ la première équation se simplifie en divisant par $r$ et en divisant par $-2$ :

$\left\{\begin{align*}
8r^3+4r^2-4r-1 &=0\\
32r^5+16r^4-24r^3-8r^2+4r+1 &= 0
\end{align*}\right.$

Qu’apporte l’équation $32r^5+16r^4-24r^3-8r^2+4r+1 = 0$ ?

Effectuez la division euclidienne de $32X^5+16X^4-24X^3-8X^2+4X+1$ par $8X^3+4X^2-4X-1.$

$\begin{array}{rrrrrr|l}
32X^5 & +16X^4 & -24X^3 & -8X^2 & +4X &+1 & 8X^3+4X^2-4X-1 \\
32X^5 & +16X^4 &-16X^3 & -4X^2 & & &4X^2 -1\\ \hline
& & -8X^3 &-4X^2&+4X&+1 \\
& & -8X^3 &-4X^2&+4X&+1 \\ \hline
& & & & & 0
\end{array}$

Par conséquent l’équation de degré 5 satisfaite par $r$ n’apporte aucun renseignement de plus que l’équation de degré 3 dont vous disposez.

Concluez

Les trois réels $u$, $v$ et $w$ sont deux à deux distincts et sont solution de la même équation $8x^3+4x^2-4x-1=0$ d’inconnue $x\in\R.$ Vous aboutissez à la factorisation du polynôme $8X^3+4X^2-4X-1$ :

$\boxed{\begin{align*}
8X^3+4X^2-4X-1 &= 8(X-u)(X-v)(X-w) \\
&=8\left(X-\cos \dfrac{2\pi}{7}\right)\left(X-\cos \dfrac{4\pi}{7}\right)\left(X-\cos \dfrac{6\pi}{7}\right).
\end{align*}}$

Pour les valeurs numériques, il suffit d’approcher les trois racines du polynôme $8X^3+4X^2-4X-1$ par des suites qui restent un moyen efficace pour y parvenir.

Vous cherchez à calculer les cosinus de pi/7, 3pi/7 et 5pi/7 ?

Ne traînez plus ! Jetez un coup d'oeil sur l'article 112.

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