Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel, $\K$ désignant un corps commutatif. On considère deux sous-espaces vectoriels de $E$ notés $V_1$ et $V_2$ tels que l’union $V_1 \cup V_2$ soit encore un sous-espace vectoriel de $E.$
Vous allez démontrer que l’un des sous-espaces parmi $V_1$ et $V_2$ contient l’autre.
Raisonnez par l’absurde
Supposez que $V_1 \not\subset V_2$ et que $V_2 \not\subset V_1.$ Il existe $x \in V_1$ tel que $x \notin V_2.$ Il existe aussi $y \in V_2$ tel que $y \notin V_1.$
Comme $x \in V_1 \cup V_2$ et comme $y \in V_1 \cup V_2\comma$ vous utilisez le fait que $V_1\cup V_2$ est un sous-espace vectoriel de $E$ pour en déduire que $x+y \in V_1 \cup V_2.$
Si $x+y \in V_1\comma$ alors vu que $x \in V_1\comma$ le vecteur $y=(x+y)-x$ appartient à $V_1.$ Or, ceci est absurde.
Donc $x+y \notin V_1.$ Du coup, $x+y \in V_2.$ Comme $y \in V_2\comma$ vous en tirez que le vecteur $x=(x+y)-y$ appartient à $V_2.$ Ceci est encore absurde.
Concluez
L’hypothèse suivante est fausse :
\left\{
\begin{align*}
V_1 &\not\subset V_2\\
V_2 &\not\subset V_1.
\end{align*}
\right.Donc $V_1$ contient $V_2\comma$ ou $V_2$ contient $V_1.$ Cela prouve le résultat annoncé.
Prolongement
Vous souhaitez savoir si le résultat de cet article se prolonge dans le cas d’une union de trois sous-espaces vectoriels ? Allez lire le contenu rédigé dans l'article 151.
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