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152. Quand l’union de trois espaces vectoriels est un espace vectoriel (cas 2/8)

Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\K$-espaces vectoriels où $\K$ est un corps dans lequel $1+1\neq 0$ (il est dit de caractéristique différente de $2$), tels que l’union $E\cup F \cup G$ soit aussi un $\K$-espace vectoriel. L’ensemble $E\cup F \cup G$ est muni d’une addition interne notée $+$ de sorte que $E$, $F$ et $G$ soient des sous-espaces vectoriels de $E\cup F \cup G.$

Vous allez montrer que l’un des espaces vectoriels contient les deux autres.

Pour y parvenir, raisonnez par l’absurde en supposant que cela ne soit pas le cas.

Dans cet article, vous allez montrer que le cas numéro 2, à savoir $\boxed{E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E}$ aboutit toujours à une impossibilité.

Vous pouvez également consulter le cas numéro 1 qui est traité dans l'article 151.
Vous pouvez également consulter le cas numéro 3 qui est traité dans l'article 153.
Vous pouvez également consulter les cas numéros 4, 5, 6, 7 et 8 qui sont traités dans l'article 154.

Détaillez la situation

Il existe $e\in E$ tel que $e\not\in F$, il existe $f\in F$ tel que $f\not\in G$ et il existe $f’\in F$ tel que $f’\not\in E.$

Sous cas 1 : $e+f\in E$, $e+f’\in E$, $f+f’\in E$

Comme $e\in E$ et $e+f \in E$ par différence $f\in E.$

Comme $f\in E$ et $f+f’\in E$ par différence, $f’\in E$, contradiction.

Sous cas 2 : $e+f\in E$, $e+f’\in E$, $f+f’\in F$

Comme $e\in E$ et $e+f’\in E$ par différence vous avez $f’\in E$, contradiction.

Sous cas 3 : $e+f\in E$, $e+f’\in E$, $f+f’\in G$

Comme $e\in E$ et $e+f’\in E$ par différence vous avez $f’\in E$, contradiction.

Sous cas 4 : $e+f\in E$, $e+f’\in F$, $f+f’\in E$

Comme $f’\in F$ et $e+f’\in F$ par différence vous avez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 5 : $e+f\in E$, $e+f’\in F$, $f+f’\in F$

Comme $f’\in F$ et $e+f’\in F$ par différence vous avez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 6 : $e+f\in E$, $e+f’\in F$, $f+f’\in G$

Comme $f’\in F$ et $e+f’\in F$ par différence vous avez $e\in F$, contradiction.

Sous cas 7 : $e+f\in E$, $e+f’\in G$, $f+f’\in E$

Comme $e\in E$ et $e+f \in E$ par différence $f\in E.$

Comme $f\in E$ et $f+f’\in E$ par différence, $f’\in E$, contradiction.

Sous cas 8 : $e+f\in E$, $e+f’\in G$, $f+f’\in F$

Le vecteur $e+f+f’$ appartient à $E\cup F \cup G.$

Si $e+f+f’\in E$, comme $e+f\in E$ par différence, $f’\in E$, contradiction.

Si $e+f+f’\in F$, comme $f+f’\in F$ par différence, $e\in F$, contradiction.

Enfin, si $e+f+f’\in G$, comme $e+f’\in G$, par différence, $f\in G$, contradiction.

Sous cas 9 : $e+f\in E$, $e+f’\in G$, $f+f’\in G$

Le vecteur $e+f+f’$ appartient à $E\cup F \cup G.$

Si $e+f+f’\in E$, comme $e+f\in E$ par différence, $f’\in E$, contradiction.

Si $e+f+f’\in G$, comme $e+f’\in G$, par différence, $f\in G$, contradiction.

Donc $e+f+f’\in F.$ Mais $(f,f’)\in F^2$ donc par différence $e\in F$, contradiction.

Sous cas 10 : $e+f\in F$, $e+f’\in E$, $f+f’\in E$

Comme $f\in F$ et $e+f\in F$, par différence, $e\in F$, contradiction.

Sous cas 11 : $e+f\in F$, $e+f’\in E$, $f+f’\in F$

Comme $f\in F$ et $e+f\in F$, par différence, $e\in F$, contradiction.

Sous cas 12 : $e+f\in F$, $e+f’\in E$, $f+f’\in G$

Comme $f\in F$ et $e+f\in F$, par différence, $e\in F$, contradiction.

Sous cas 13 : $e+f\in F$, $e+f’\in F$, $f+f’\in E$

Comme $f\in F$ et $e+f\in F$, par différence, $e\in F$, contradiction.

Sous cas 14 : $e+f\in F$, $e+f’\in F$, $f+f’\in F$

Comme $f\in F$ et $e+f\in F$, par différence, $e\in F$, contradiction.

Sous cas 15 : $e+f\in F$, $e+f’\in F$, $f+f’\in G$

Comme $f\in F$ et $e+f\in F$, par différence, $e\in F$, contradiction.

Sous cas 16 : $e+f\in F$, $e+f’\in G$, $f+f’\in E$

Comme $f\in F$ et $e+f\in F$, par différence, $e\in F$, contradiction.

Sous cas 17 : $e+f\in F$, $e+f’\in G$, $f+f’\in F$

Comme $f\in F$ et $e+f\in F$, par différence, $e\in F$, contradiction.

Sous cas 18 : $e+f\in F$, $e+f’\in G$, $f+f’\in G$

Comme $f\in F$ et $e+f\in F$, par différence, $e\in F$, contradiction.

Sous cas 19 : $e+f\in G$, $e+f’\in E$, $f+f’\in E$

Comme $e\in E$ et $e+f’\in E$, par différence, $f’\in E$, contradiction.

Sous cas 20 : $e+f\in G$, $e+f’\in E$, $f+f’\in F$

Comme $e\in E$ et $e+f’\in E$, par différence, $f’\in E$, contradiction.

Sous cas 21 : $e+f\in G$, $e+f’\in E$, $f+f’\in G$

Comme $e\in E$ et $e+f’\in E$, par différence, $f’\in E$, contradiction.

Sous cas 22 : $e+f\in G$, $e+f’\in F$, $f+f’\in E$

Comme $f’\in F$ et $e+f’\in F$, par différence, $e \in F$, contradiction.

Sous cas 23 : $e+f\in G$, $e+f’\in F$, $f+f’\in F$

Comme $f’\in F$ et $e+f’\in F$, par différence, $e \in F$, contradiction.

Sous cas 24 : $e+f\in G$, $e+f’\in F$, $f+f’\in G$

Comme $f’\in F$ et $e+f’\in F$, par différence, $e \in F$, contradiction.

Sous cas 25 : $e+f\in G$, $e+f’\in G$, $f+f’\in E$

Le vecteur $e-f$ appartient à l’union $E\cup F \cup G.$

Si $e-f\in E$, comme $e\in E$, par différence $f\in E$. Or $f+f’\in E$ donc par différence $f’\in E$, contradiction.

Si $e-f\in F$, comme $f\in F$ par différence, $e\in F$, contradiction.

Enfin, il reste $e-f\in G$. Mais $e+f\in G$ donc par différence $2f\in G$ et comme $2$ est non nul, $f\in G$, contradiction.

Sous cas 26 : $e+f\in G$, $e+f’\in G$, $f+f’\in F$

Le vecteur $e-f$ appartient à l’union $E\cup F \cup G.$

Si $e-f \in F$, comme $f\in F$ vous avez $e\in F$, contradiction.

Si $e-f \in G$ comme $e+f\in G$, par différence $2f\in G$. Or $2\neq 0$ donc $f\in G$, contradiction.

Donc $e-f \in E.$

Le vecteur $e-f+f’$ appartient à l’union $E\cup F \cup G.$

Si $e-f+f’\in E$, comme $e-f\in E$ par différence $f’\in E$, contradiction.

Si $e-f+f’ \in F$, comme $(f,f’)\in F^2$ vous avez $e\in F$, contradiction.

Enfin, il reste $e-f+f’\in G$. Or $e+f’\in G$ donc par différence $-f\in G$ et $f\in G$, contradiction.

Sous cas 27 : $e+f\in G$, $e+f’\in G$, $f+f’\in G$

Identique au cas 26.

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