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153. Quand l’union de trois espaces vectoriels est un espace vectoriel (cas 3/8)

17/07/2020 - 0060

Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\K$-espaces vectoriels où $\K$ est un corps dans lequel $1+1\neq 0$ (il est dit de caractéristique différente de $2$), tels que l’union $E\cup F \cup G$ soit aussi un $\K$-espace vectoriel. L’ensemble $E\cup F \cup G$ est muni d’une addition interne notée $+$ de sorte que $E$, $F$ et $G$ soient des sous-espaces vectoriels de $E\cup F \cup G.$

Vous allez montrer que l’un des espaces vectoriels contient les deux autres.

Pour y parvenir, raisonnez par l’absurde en supposant que cela ne soit pas le cas.

Dans cet article, vous allez montrer que le cas numéro 3, à savoir $\boxed{E \not\subset F, E \not\subset G \text{ et } G \not\subset E}$ aboutit toujours à une impossibilité.

Vous pouvez également consulter le cas numéro 1 qui est traité dans l'article 151.
Vous pouvez également consulter le cas numéro 2 qui est traité dans l'article 152.
Vous pouvez également consulter les cas numéros 4, 5, 6, 7 et 8 qui sont traités dans l'article 154.

Exposez la situation

Il existe $e\in E$ tel que $e\not\in F$, il existe $e’\in E$ tel que $e’\not\in G$ et il existe $g\in G$ tel que $g\not\in E.$

Sous cas 1 : $e+e’\in E$, $e+g\in E$, $e’+g\in E$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ par différence, $g\in E$, contradiction.

Sous cas 2 : $e+e’\in E$, $e+g\in E$, $e’+g\in F$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ par différence, $g\in E$, contradiction.

Sous cas 3 : $e+e’\in E$, $e+g\in E$, $e’+g\in G$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ par différence, $g\in E$, contradiction.

Sous cas 4 : $e+e’\in E$, $e+g\in F$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$ par différence, $g\in E$, contradiction.

Sous cas 5 : $e+e’\in E$, $e+g\in F$, $e’+g\in F$

Le vecteur $e’-g$ appartient à $E\cup F \cup G.$

Si $e’-g\in E$, comme $e’\in E$ par différence $g\in E$, contradiction.

Si $e’-g\in G$, comme $g\in G$, par somme $e’\in G$, contradiction.

Donc $e’-g \in F.$

Or $e’+g \in F$. Par différence il vient $2g\in F$ or $2\neq 0$ donc $g\in F.$

Or $e+g\in F$. Par différence il vient $e\in F$, contradiction.

Sous cas 6 : $e+e’\in E$, $e+g\in F$, $e’+g\in G$

Comme $g\in G$ et $e’+g\in G$ par différence $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 7 : $e+e’\in E$, $e+g\in G$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$ par différence $g\in E$, contradiction.

Sous cas 8 : $e+e’\in E$, $e+g\in G$, $e’+g\in F$

Considérez le vecteur $e+e’+g.$

Si $e+e’+g\in E$, comme $e+e’\in E$, alors $g\in E$, contradiction.

Si $e+e’+g\in F$, comme $e’+g\in F$, alors $e\in F$, contradiction.

Donc $e+e’+g\in G$ or $e+g\in G$ donc $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 9 : $e+e’\in E$, $e+g\in G$, $e’+g\in G$

Comme $e’+g\in G$ et $g\in G$, $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 10 : $e+e’\in F$, $e+g\in E$, $e’+g\in E$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$, vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 11 : $e+e’\in F$, $e+g\in E$, $e’+g\in F$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$, vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 12 : $e+e’\in F$, $e+g\in E$, $e’+g\in G$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$, vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 13 : $e+e’\in F$, $e+g\in F$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$, vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 14 : $e+e’\in F$, $e+g\in F$, $e’+g\in F$

Considérez le vecteur $e’-g.$

Si $e’-g\in E$, alors comme $e’\in E$, vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Si $e’-g\in G$, alors comme $g\in G$, vous déduisez $e’\in G$, contradiction.

Donc $e’-g\in F$.

Or $e’+g \in F$ donc par somme $2e’\in F$, comme $2\neq 0$, $e’\in F$.

Or $e+e’ \in F$ donc par différence $e\in F$, contradiction.

Sous cas 15 : $e+e’\in F$, $e+g\in F$, $e’+g\in G$

Comme $g\in G$ et $e’+g \in G$ vous déduisez $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 16 : $e+e’\in F$, $e+g\in G$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$, alors $g\in E$, contradiction.

Sous cas 17 : $e+e’\in F$, $e+g\in G$, $e’+g\in F$

Considérez le vecteur $e+e’+g.$

Si $e+e’+g\in E$, comme $(e,e’)\in E^2$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Si $e+e’+g\in F$, comme $e’+g\in F$ vous déduisez $e\in F$, contradiction.

Donc $e+e’+g \in G$. Or, $e+g\in G$ donc $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 18 : $e+e’\in F$, $e+g\in G$, $e’+g\in G$

Comme $g\in G$ et $e’+g\in G$, vous déduisez $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 19 : $e+e’\in G$, $e+g\in E$, $e’+g\in E$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 20 : $e+e’\in G$, $e+g\in E$, $e’+g\in F$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 21 : $e+e’\in G$, $e+g\in E$, $e’+g\in G$

Comme $e\in E$ et $e+g\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 22 : $e+e’\in G$, $e+g\in F$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 23 : $e+e’\in G$, $e+g\in F$, $e’+g\in F$

Considérez le vecteur $e-g.$

Si $e-g\in E$, alors, comme $e\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Si $e-g\in F$, comme $e+g\in F$, par somme $2e\in F$ et comme $2\neq 0$, $e\in F$, contradiction.

Donc $e-g \in G.$

Or $g\in G$, donc $e\in G.$

Mais $e+e’\in G$ et par différence $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 24 : $e+e’\in G$, $e+g\in F$, $e’+g\in G$

Comme $g\in G$ et $e’+g\in G$ par différence, $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 25 : $e+e’\in G$, $e+g\in G$, $e’+g\in E$

Comme $e’\in E$ et $e’+g\in E$ vous déduisez $g\in E$, contradiction.

Sous cas 26 : $e+e’\in G$, $e+g\in G$, $e’+g\in F$

Comme $g\in G$ et $e+g\in G$ vous déduisez $e\in G.$

Or $e+e’\in G$ et par différence $e’\in G$, contradiction.

Sous cas 27 : $e+e’\in G$, $e+g\in G$, $e’+g\in G$

Identique au cas 26.

Et si vous pouviez aller plus vite

Le cas numéro 3 traite le cas où $\boxed{E \not\subset F, E \not\subset G \text{ et } G \not\subset E}.$

Rappelez-vous que le cas numéro 2 était $\boxed{E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E}$ qui aboutissait à l’impossibilité que $E\cup F \cup G$ soit un espace vectoriel.

Quand vous effectuez la permutation circulaire $E\to G \to F \to E$ vous remarquez que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$ devient $G \not\subset E, E \not\subset F \text{ et } E \not\subset G$ ce qui est exactement le cas 3.

Ainsi le cas 3 se déduit du cas 2 par cet argument, ce qui évite le traitement des 27 cas exposés ci-dessus.

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