Vous allez expliciter un cas particulier de $\K$-espace vectoriel $E$ admettant trois sous-espaces vectoriels propres, $V_1, V_2$ et $V_3$ tels que $V_1\cup V_2\cup V_3$ est un sous-espace vectoriel de $E\comma$ alors qu’il n’existe aucun sous-espace parmi $V_1, V_2$ et $V_3$ qui contient les deux autres. Autrement dit :

Ce résultat contraste avec celui d’un autre article, où le cas d’un corps possédant au moins trois éléments a été étudié.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 151.

Définissez un $\K$-espace vectoriel $E$

Soit $\K$ un corps fini possédant deux éléments notés $0$ et $1\comma$ $0$ étant le neutre de l’addition et $1$ le neutre de la multiplication. Considérez $E = \K^2.$ Alors $E$ est muni d’une structure de $\K$-espace vectoriel.

Pour l’addition, vous pouvez poser :

Vous définissez une multiplication externe en posant :

Définissez trois sous-espaces vectoriels de $E$

Soit $V_1$ le sous-espace de $E$ engendré par $(1,0)\comma$ puis $V_2$ le sous-espace de $E$ engendré par $(0,1)$ et $V_3$ le sous-espace de $E$ engendré par $(1,1).$

Alors vous avez :

Montrez que $V_1\cup V_2\cup V_3$ est un sous-espace vectoriel de $E$

Comme le nombre d’éléments de $V_1\comma$ $V_2$ et $V_3$ est fini, il en est de même pour l’ensemble $V_1\cup V_2\cup V_3.$ Vous avez exactement :

Comme $E$ est un $\K$-espace vectoriel, il en est de même pour $V_1\cup V_2\cup V_3.$

Montrez qu’aucun sous-espace ne contient les deux autres

Comme $(1,0)\in V_1$ vous avez $(1,0)\in V_1\cup V_2.$ Or $(1,0)\notin V_3\comma$ donc $V_1\cup V_2 \not\subset V_3.$

Comme $(1,0)\in V_1$ vous avez $(1,0)\in V_1\cup V_3.$ Or $(1,0)\notin V_2\comma$ donc $V_1\cup V_3 \not\subset V_2.$

Comme $(0,1)\in V_2$ vous avez $(0,1)\in V_2\cup V_3.$ Or $(0,1)\notin V_1\comma$ donc $V_2\cup V_3 \not\subset V_1\comma$ ce qui conclut.