Vous allez expliciter un cas particulier de $\K$-espace vectoriel $E$ admettant trois sous-espaces vectoriels propres, $V_1, V_2$ et $V_3$ tels que $V_1\cup V_2\cup V_3$ est un sous-espace vectoriel de $E\comma$ alors qu’il n’existe aucun sous-espace parmi $V_1, V_2$ et $V_3$ qui contient les deux autres. Autrement dit :
\forall i\in \llbracket 1, 3\rrbracket, \bigcup_{j\in\llbracket 1, 3\rrbracket \setminus \{i\}} V_j \not\subset V_i.Ce résultat contraste avec le contenu rédigé dans l'article 151 le cas où $\K$ possède au moins 3 éléments a été étudié.
Définissez un $\K$-espace vectoriel $E$
Soit $\K$ un corps fini possédant deux éléments notés $0$ et $1\comma$ $0$ étant le neutre de l’addition et $1$ le neutre de la multiplication. On considère $E = \K^2.$ Alors $E$ est muni d’une structure de $\K$-espace vectoriel.
Pour l’addition, vous pouvez poser :
\forall (x,y)\in\K^2, \forall (z,t)\in\K^2, (x,y)+(z,t) = (x+z, y+t).
Vous définissez une multiplication externe en posant :
\forall \lambda \in \K, \forall (x,y)\in\K^2, \lambda (x,y) = (\lambda x, \lambda y).
Définissez trois sous-espaces vectoriels de $E$
Soit $V_1$ le sous-espace de $E$ engendré par $(1,0)\comma$ puis $V_2$ le sous-espace de $E$ engendré par $(0,1)$ et $V_3$ le sous-espace de $E$ engendré par $(1,1).$
Alors vous avez :
\left\{
\begin{align*}
V_1 &= \{(0,0), (1,0)\}\\
V_2 &= \{(0,0), (0,1)\}\\
V_3 &= \{(0,0), (1,1)\}.
\end{align*}
\right.Montrez que $V_1\cup V_2\cup V_3$ est un sous-espace vectoriel de $E$
Comme le nombre d’éléments de $V_1\comma$ $V_2$ et $V_3$ est fini, il en est de même pour l’ensemble $V_1\cup V_2\cup V_3.$ Vous avez exactement :
V_1\cup V_2\cup V_3 = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\} = E.Comme $E$ est un $\K$-espace vectoriel, il en est de même pour $V_1\cup V_2\cup V_3.$
Montrez qu’aucun sous-espace ne contient les deux autres
Comme $(1,0)\in V_1$ vous avez $(1,0)\in V_1\cup V_2.$ Or $(1,0)\notin V_3\comma$ donc $V_1\cup V_2 \not\subset V_3.$
Comme $(1,0)\in V_1$ vous avez $(1,0)\in V_1\cup V_3.$ Or $(1,0)\notin V_2\comma$ donc $V_1\cup V_3 \not\subset V_2.$
Comme $(0,1)\in V_2$ vous avez $(0,1)\in V_2\cup V_3.$ Or $(0,1)\notin V_1\comma$ donc $V_2\cup V_3 \not\subset V_1\comma$ ce qui conclut.
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