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154. Quand l’union de trois espaces vectoriels est un espace vectoriel (cas 4/8, cas 5/8, cas 6/8, cas 7/8 et cas 8/8)

Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\K$-espaces vectoriels où $\K$ est un corps dans lequel $1+1\neq 0$ (il est dit de caractéristique différente de $2$), tels que l’union $E\cup F \cup G$ soit aussi un $\K$-espace vectoriel. L’ensemble $E\cup F \cup G$ est muni d’une addition interne notée $+$ de sorte que $E$, $F$ et $G$ soient des sous-espaces vectoriels de $E\cup F \cup G.$

Vous allez montrer que l’un des espaces vectoriels contient les deux autres.

Le cas numéro 1 est traité dans l'article 151.
Le cas numéro 2 est traité dans l'article 152.
Le cas numéro 3 est traité dans l'article 153.

Pour y parvenir, raisonnez par l’absurde en supposant que cela ne soit pas le cas.

Ainsi la proposition logique « ($F \subset E$ et $G\subset E$) ou ($G \subset F$ et $E\subset F$) ou ($E \subset G$ et $F\subset G$) » est fausse.

Donc la proposition « ($F \not\subset E$ ou $G\not\subset E$) et ($G \not\subset F$ ou $E\not\subset F$) et ($E \not\subset G$ ou $F\not\subset G$) » est vraie.

Ce que vous écrivez « ($E\not\subset F$ ou $G \not\subset F$) et ($F\not\subset G$ ou $E \not\subset G$) et ($G\not\subset E$ ou $F \not\subset E$) » est vraie.

Cela amène à traiter huit cas possibles.

Note. Il existe une démonstration plus rapide permettant d’éviter de traiter potentiellement 8 cas qui eux-mêmes se subdivisent en plusieurs sous-cas. C’est certes plus élégant mais arrivez-vous à construire une telle preuve ?

Dans cet article, vous allez montrer que les cas numéros 4, 5, 6, 7 et 8 aboutissent toujours à des impossibilités.

Traitez le cas numéro 4 : $E \not\subset F, E \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$

Le cas numéro 2 a été traité dans l'article 152.

Il établit que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$ aboutit toujours à une contradiction. Or, en échangeant les rôles des espaces vectoriels $E$ et $F$, vous aboutissez au fait que $F \not\subset E, E \not\subset G \text{ et } E \not\subset F$ ce qui est exactement le cas numéro 4.

Traitez le cas numéro 5 : $G \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } G \not\subset E$

Le cas numéro 2 est traité dans l'article 152.

Il établit que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$ aboutit toujours à une contradiction. Or, en appliquant la permutation des espaces $G\to E \to F \to G$, vous aboutissez au fait que $F \not\subset G, G \not\subset E \text{ et } G \not\subset F$ ce qui est exactement le cas numéro 5.

Traitez le cas numéro 6 : $G \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$

Le cas numéro 2 est traité dans l'article 152.

Il établit que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$ aboutit toujours à une contradiction. Or, en appliquant la permutation des espaces $G\leftrightarrow E$, vous aboutissez au fait que $G \not\subset F, F \not\subset E \text{ et } F \not\subset G$ ce qui est exactement le cas numéro 6.

Traitez le cas numéro 7 : $G \not\subset F, E \not\subset G \text{ et } G \not\subset E$

Le cas numéro 2 est traité dans l'article 152.

Il établit que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$ aboutit toujours à une contradiction. Or, en appliquant la permutation des espaces $F\leftrightarrow G$, vous aboutissez au fait que $E \not\subset G, G \not\subset F \text{ et } G \not\subset E$ ce qui est exactement le cas numéro 7.

Traitez le cas numéro 8 : $G \not\subset F, E \not\subset G \text{ et } F \not\subset E$

Le cas numéro 1 est traité dans l'article 151.

Il établit que $E \not\subset F, F \not\subset G \text{ et } G \not\subset E$ aboutit toujours à une contradiction. Or, en appliquant la permutation des espaces $E\leftrightarrow F$, vous aboutissez au fait que $F \not\subset E, E \not\subset G \text{ et } G \not\subset F$ ce qui est exactement le cas numéro 1.

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