Définissez un endomorphisme $u$ de $\R^2$ en posant :

Calculez l’image de $u$

Posez $e_1 = (1,0).$

Soit $v$ un élément de $\im u.$ Il existe $(x,y)\in \R^2$ tel que $v = u(x,y)$ donc $v = (y,0) = y(1,0) =y e_1$ donc $v\in \vect (e_1).$

Réciproquement, soit $v\in \vect (e_1).$ Il existe $\lambda\in \R$ tel que $v = \lambda e_1 = \lambda(1,0) = (\lambda,0) = u(0,\lambda).$ Donc $v\in \im u.$

Ainsi :

Calculez le noyau de $u$

Conservez le même vecteur $e_1 = (1,0).$

Soit $v$ un élément de $\ker u.$ Il existe $(x,y)\in \R^2$ tel que $v = (x,y)$ et $u(x,y) = (0,0)$ d’où $(y,0) = (0,0)$ donc $y=0.$ Par suite, $v = (x,0) = x(1,0) =x e_1$ donc $v\in \vect (e_1).$

Réciproquement, soit $v\in \vect (e_1).$ Il existe $\lambda\in \R$ tel que $v = \lambda e_1 = \lambda(1,0) = (\lambda,0).$ Alors $u(v) = u(\lambda, 0) = (0,0).$ Donc $v\in \ker u.$

Ainsi :

Concluez

Vous avez montré qu’il existe un endomorphisme de $\R^2$ tel que $\im u = \ker u.$