166. Résolvez une équation du quatrième degré avec la méthode de Ferrari

Soit à résoudre l’équation $x^4-22x^2 -48x -23 = 0$ d’inconnue $x\in\R.$

Note. Cette équation ne comporte pas de terme en $x^3$ ce qui simplifie les calculs. Pour traiter la question lorsque ce terme est explicitement apparent dans une équation du quatrième degré, il est tout à fait possible de s’en sortir en menant des calculs similaires avec une étape supplémentaire et sans utiliser de « translation », complexifiant artificiellement les calculs en faisant apparaître des fractions. Reportez-vous à un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 167.

Utilisez l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Pour tout réel $x\comma$ $(x^2-11)^2 = x^4-22x^2+121$ ce qui fournit $x^4-22x^2 = (x^2-11)^2-121.$

Par conséquent, pour tout réel $x\comma$ vous avez :

\begin{align*} x^4-22x^2 -48x -23 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2-11)^2-121 – 48x-23 = 0\\ &\Longleftrightarrow (x^2-11)^2- 48x-144 = 0\\ &\Longleftrightarrow (x^2-11)^2 = 48x+144. \end{align*}

Utilisez un degré de liberté supplémentaire

Soit $k$ un nombre réel qui sera choisi plus tard.

Pour tout réel $x\comma$ vous avez :

\begin{align*} (x^2-11 + k)^2 &= ((x^2-11) + k)^2\\ &= (x^2-11)^2+2k(x^2-11)+k^2. \end{align*}

Par conséquent, pour tout réel $x\comma$ vous avez :

\begin{align*} x^4-22x^2 -48x -23 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2-11)^2 = 48x+144\\ &\Longleftrightarrow (x^2-11)^2+2k(x^2-11)+k^2 = 48x+144+2k(x^2-11)+k^2\\ &\Longleftrightarrow (x^2-11 + k)^2 = 2kx^2 +48x + (144-22k+k^2). \end{align*}

Appliquez l’idée de Ferrari

L’idée de Ferrari consiste à choisir $k$ pour que $2kx^2 +48x + (144-22k+k^2)$ soit un polynôme ayant une racine double.

Cela se produit uniquement si le discriminant est nul.

Cela amène à choisir $k$ tel que :

\begin{align*} 48^2 – 4\times 2k \times (144-22k+k^2) &= 0\\ 2304-8k(144-22k+k^2) &=0\\ 288-k(144-22k+k^2) &=0\\ -k^3+22k^2-144k+288 &=0\\ k^3-22k^2+144k-288 &=0. \end{align*}

Le graphique du polynôme du troisième degré $x\mapsto x^3-22x^2+144x-288$ obtenu amène à suspecter que $k=4$ est peut-être solution.

Vérifiez-le. En effet, pour $k=4\comma$ vous avez :

\begin{align*} k^3-22k^2+144k-288 &= k(k(k-22)+144)-288\\ &=4\times(4\times(-18)+144)-288\\ &=4\times 72-288\\ &=0. \end{align*}

Il sera inutile de chercher les autres racines de ce polynôme de degré trois.

Note. L’équation de degré trois obtenue, permettant d’avancer dans la résolution, est appelée résolvante.

Factorisez le polynôme de degré 4

Choisissez $k=4.$ Alors, pour tout réel $x\comma$ vous avez :

\begin{align*} x^4-22x^2 -48x -23 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2-11)^2 = 48x+144\\ &\Longleftrightarrow (x^2-11 + k)^2 = 2kx^2 +48x + (144-22k+k^2)\\ &\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = 8x^2 +48x + (144-88+16)\\ &\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = 8x^2 +48x + 72\\ &\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = 8(x^2 +6x + 9)\\ &\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = 8(x+3)^2 \\ &\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = (2\sqrt{2}(x+3))^2 \\ &\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = (2\sqrt{2}x+6\sqrt{2})^2 \\ &\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 – (2\sqrt{2}x+6\sqrt{2})^2 =0\\ &\Longleftrightarrow (x^2-2\sqrt{2}x-7-6\sqrt{2})(x^2+2\sqrt{2}x-7+6\sqrt{2}) =0. \end{align*}

Terminez la résolution

Étude des racines du trinôme $x^2-2\sqrt{2}x-7-6\sqrt{2}$

Le discriminant du trinôme $x^2-2\sqrt{2}x-7-6\sqrt{2}$ est égal à :

\begin{align*} \Delta &= (-2\sqrt{2})^2-4(-7-6\sqrt{2})\\ &=8+28+24\sqrt{2}\\ &=36+24\sqrt{2}\\ &=12(3+2\sqrt{2})\\ &=12(1+\sqrt{2})^2\\ &=\left(\sqrt{12}(1+\sqrt{2})\right)^2\\ &=\left(2\sqrt{3}(1+\sqrt{2})\right)^2\\ &=\left(2\sqrt{3}+2\sqrt{6}\right)^2. \end{align*}

Par suite $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{6}+2\sqrt{3}.$

Les racines du trinôme $x^2-2\sqrt{2}x-7-6\sqrt{2}$ sont $\frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}+2\sqrt{3} }{2} = \sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{3}$ et $\frac{2\sqrt{2} – 2\sqrt{6}-2\sqrt{3} }{2} = \sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{3}.$

Étude des racines du trinôme $x^2+2\sqrt{2}x-7+6\sqrt{2}$

Le discriminant du trinôme $x^2+2\sqrt{2}x-7+6\sqrt{2}$ est égal à :

\begin{align*} \Delta &= (2\sqrt{2})^2-4(-7+6\sqrt{2})\\ &=8+28-24\sqrt{2}\\ &=36-24\sqrt{2}\\ &=12(3-2\sqrt{2})\\ &=12(1-\sqrt{2})^2\\ &=\left(\sqrt{12}(1-\sqrt{2})\right)^2\\ &=\left(2\sqrt{3}(1-\sqrt{2})\right)^2\\ &=\left(2\sqrt{3}-2\sqrt{6}\right)^2. \end{align*}

Par suite $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{6}-2\sqrt{3}.$

Les racines du trinôme $x^2+2\sqrt{2}x-7+6\sqrt{2}$ sont $\frac{-2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}-2\sqrt{3} }{2} = -\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}$ et $\frac{-2\sqrt{2} – 2\sqrt{6}+2\sqrt{3} }{2} = -\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{3}.$

Concluez

L’équation $x^4-22x^2 -48x -23 = 0$ possède quatre racines réelles qui sont respectivement :
$\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{3}\comma$
$ \sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{3}\comma$
$-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}$ et
$-\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{3}.$