Soit à résoudre l’équation $x^4-22x^2 -48x -23 = 0$ d’inconnue $x\in\R.$
Note. Cette équation ne comporte pas de terme en $x^3$ ce qui simplifie les calculs. Pour traiter la question lorsque ce terme est explicitement apparent dans une équation du quatrième degré, il tout à fait possible de s’en sortir en menant des calculs similaires avec une étape supplémentaire et sans utiliser de « translation », complexifiant artificiellement les calculs en faisant apparaître des fractions. Reportez-vous au contenu se trouvant dans l'article 167.
Utilisez l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Pour tout réel $x$, $(x^2-11)^2 = x^4-22x^2+121$ ce qui fournit $x^4-22x^2 = (x^2+11)^2-121.$
Par conséquent, pour tout réel $x$ :
\begin{aligned}
x^4-22x^2 -48x -23 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2-11)^2-121 – 48x-23 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2-11)^2- 48x-144 = 0\\
&\Longleftrightarrow (x^2-11)^2 = 48x+144.\\
\end{align*}.$
Utilisez un degré de liberté supplémentaire
Soit $k$ un nombre réel qui sera choisi plus tard.
Pour tout réel $x$ :
\begin{aligned}
(x^2-11 + k)^2 &= ((x^2-11) + k)^2\\
&= (x^2-11)^2+2k(x^2-11)+k^2.
\end{aligned}
Par conséquent, pour tout réel $x$ :
\begin{aligned}
x^4-22x^2 -48x -23 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2-11)^2 = 48x+144\\
&\Longleftrightarrow (x^2-11)^2+2k(x^2-11)+k^2 = 48x+144+2k(x^2-11)+k^2\\
&\Longleftrightarrow (x^2-11 + k)^2 = 2kx^2 +48x + (144-22k+k^2).
\end{aligned}
Appliquez l’idée de Ferrari
L’idée de Ferrari consiste à choisir $k$ pour que $2kx^2 +48x + (144-22k+k^2)$ soit un polynôme ayant une racine double.
Cela se produit uniquement si le discriminant est nul.
Cela amène à choisir $k$ tel que :
\begin{aligned}
48^2 – 4\times 2k \times (144-22k+k^2) &= 0\\
2304-8k(144-22k+k^2) &=0\\
288-k(144-22k+k^2) &=0\\
-k^3+22k^2-144k+288 &=0\\
k^3-22k^2+144k-288 &=0.
\end{aligned}
Le graphique du polynôme du troisième degré $x\mapsto x^3-22x^2+144x-288$ obtenu amène à suspecter que $k=4$ est peut-être solution.
Vérifiez-le. En effet, pour $k=4$ :
\begin{aligned}
k^3-22k^2+144k-288 &= k(k^2-22k+144)-288\\
&=k(k(k-22)+144)-288\\
&=k(-18k+144)-288\\
&=k(-72+144)-288\\
&=72k-288\\
&=0.
\end{aligned}
Il sera inutile de chercher les autres racines de ce polynôme de degré 3.
Note. L’équation de degré 3 obtenue, permettant d’avancer dans la résolution, est appelée résolvante.
Factorisez le polynôme de degré 4
Choisissez $k=4.$ Alors, pour tout réel $x$ :
\begin{aligned}
x^4-22x^2 -48x -23 = 0 &\Longleftrightarrow (x^2-11)^2 = 48x+144\\
&\Longleftrightarrow (x^2-11 + k)^2 = 2kx^2 +48x + (144-22k+k^2)\\
&\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = 8x^2 +48x + (144-88+16)\\
&\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = 8x^2 +48x + 72\\
&\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = 8(x^2 +6x + 9)\\
&\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = 8(x+3)^2 \\
&\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = (2\sqrt{2}(x+3))^2 \\
&\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 = (2\sqrt{2}x+6\sqrt{2})^2 \\
&\Longleftrightarrow (x^2-7)^2 – (2\sqrt{2}x+6\sqrt{2})^2 =0\\
&\Longleftrightarrow (x^2-2\sqrt{2}x-7-6\sqrt{2})(x^2+2\sqrt{2}x-7+6\sqrt{2}) =0.
\end{aligned}
Terminez la résolution
Etude des racines du trinôme $x^2-2\sqrt{2}x-7-6\sqrt{2}$
Le discriminant du trinôme $x^2-2\sqrt{2}x-7-6\sqrt{2}$ est égal à :
\begin{aligned}
\Delta &= (-2\sqrt{2})^2-4(-7-6\sqrt{2})\\
&=8+28+24\sqrt{2}\\
&=36+24\sqrt{2}\\
&=12(3+2\sqrt{2})\\
&=12(1+\sqrt{2})^2\\
&=\left(\sqrt{12}(1+\sqrt{2})\right)^2\\
&=\left(2\sqrt{3}(1+\sqrt{2})\right)^2\\
&=\left(2\sqrt{3}+2\sqrt{6})\right)^2.\\
\end{aligned}
Par suite $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{6}+2\sqrt{3}.$
Les racines du trinôme $x^2-2\sqrt{2}x-7-6\sqrt{2}$ sont $\frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}+2\sqrt{3} }{2} = \sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{3}$ et $\frac{2\sqrt{2} – 2\sqrt{6}-2\sqrt{3} }{2} = \sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{3}.$
Etude des racines du trinôme $x^2+2\sqrt{2}x-7+6\sqrt{2}$
Le discriminant du trinôme $x^2+2\sqrt{2}x-7+6\sqrt{2}$ est égal à :
\begin{aligned}
\Delta &= (2\sqrt{2})^2-4(-7+6\sqrt{2})\\
&=8+28-24\sqrt{2}\\
&=36-24\sqrt{2}\\
&=12(3-2\sqrt{2})\\
&=12(1-\sqrt{2})^2\\
&=\left(\sqrt{12}(1-\sqrt{2})\right)^2\\
&=\left(2\sqrt{3}(1-\sqrt{2})\right)^2\\
&=\left(2\sqrt{3}-2\sqrt{6})\right)^2.\\
\end{aligned}
Par suite $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{6}-2\sqrt{3}.$
Les racines du trinôme $x^2+2\sqrt{2}x-7+6\sqrt{2}$ sont $\frac{-2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}-2\sqrt{3} }{2} = -\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}$ et $\frac{-2\sqrt{2} – 2\sqrt{6}+2\sqrt{3} }{2} = -\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{3}.$
Concluez
L’équation $x^4-22x^2 -48x -23 = 0$ possède quatre racines réelles qui sont respectivement :
$\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{3}$,
$ \sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{3}$,
$-\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}$ et
$-\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{3}.$
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