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241. Lorsqu’une équation générale du second degré à deux variables admet deux droites strictement parallèles pour représentation graphique

Yannis TRIANTAPHYLIDES

,

Le résultat obtenu dans un autre article subsiste avec une démonstration similaire.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 240.

Dans ce contenu, vous allez obtenir une autre démonstration en utilisant un point $\Omega$ bien choisi géométriquement parlant.

Étant donnés six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ et un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})\comma$ vous étudiez l’ensemble $\mathscr{C}$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :

ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.

Vous supposez que l’ensemble $\mathscr{C}$ est la réunion de deux droites strictement parallèles notées $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2.$

Effectuez un changement d’origine du repère

Soit $A$ un point quelconque de la droite $\mathscr{D}_1$ et soit $B$ un point quelconque de la droite $\mathscr{D}_2.$

Vous appelez $\Omega$ le milieu du segment $[AB].$ Notez $(u,v)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j}).$

Pour tout point $M$ du plan, vous notez $(x_M,y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$ et $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$ et vous avez les relations :

\begin{align*} X_M = x_M – u\\ Y_M = y_M – v. \end{align*}

Alors la série d’équivalences suivante fournit :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow ax_M^2+2hx_My_M+by_M^2+2gx_M+2fy_M+c=0\\ &\Longleftrightarrow a(X_M+u)^2+2h(X_M+u)(Y_M+v)+b(Y_M+v)^2+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\ &\Longleftrightarrow a(X_M^2+u^2+2uX_M)+2h(X_MY_M+vX_M+uY_M+uv)+b(Y_M^2+v^2+2vY_M)\\&\qquad+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\ &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2\\&\qquad+2(au+hv+g)X_M+2(hu+bv+f)Y_M\\&\qquad+(au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c)=0. \end{align*}

Notez $(\alpha,\beta)$ les coordonnées du point $A$ dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$ Comme $A\in\mathscr{C}$ vous avez :

\begin{align*} & a\alpha^2+2h\alpha\beta+b\beta^2\\ &\qquad+2(au+hv+g)\alpha+2(hu+bv+f)\beta\\ &\qquad+(au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c)=0. \end{align*}

Le point $B\comma$ symétrique du point $A$ par la symétrie de centre $\Omega$ a pour coordonnées $(-\alpha,-\beta)$ dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$ et par suite :

\begin{align*} & a\alpha^2+2h\alpha\beta+b\beta^2\\ &\qquad-2(au+hv+g)\alpha-2(hu+bv+f)\beta\\ &\qquad+(au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c)=0. \end{align*}

Par soustraction, vous déduisez :

\begin{align*} 4(au+hv+g)\alpha+4(hu+bv+f)\beta=0 \\ (au+hv+g)\alpha+(hu+bv+f)\beta=0. \end{align*}

Soit maintenant un point $A’$ distinct du point $A$ et appartenant à la droite $\mathscr{D}_1.$ Notez $(\alpha’,\beta’)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$ Vous avez encore :

\begin{align*} (au+hv+g)\alpha'+(hu+bv+f)\beta'=0. \end{align*}

Or, les vecteurs $\vv{\Omega A}$ et $\vv{\Omega A’}$ ne peuvent être colinéaires.

Si c’était le cas, les points $A\comma$ $A’$ et $\Omega$ seraient alignés et par suite $\Omega \in (AA’)$ donc $\Omega \in\mathscr{D}_1.$ Les points $\Omega$ et $A$ appartenant à $\mathscr{D}_1$ le point $B\comma$ symétrique de $A$ par la symétrie de centre $\Omega$ appartiendrait encore à $\mathscr{D}_1$ et donc $B \in \mathscr{D}_1\cap \mathscr{D}_2\comma$ contredisant le fait que les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont strictement parallèles.

Vous déduisez que :

\begin{vmatrix}\alpha & \beta \\ \alpha' & \beta'\end{vmatrix}\neq 0.

Par suite le système suivant est vérifié :

\begin{align*} (au+hv+g)\alpha+(hu+bv+f)\beta=0\\ (au+hv+g)\alpha'+(hu+bv+f)\beta'=0. \end{align*}

Comme il a un déterminant non nul, vous obtenez la double égalité :

\left\{ \begin{align*} au+hv+g=0\\ hu+bv+f=0. \end{align*}\right.

Le point $\Omega\comma$ milieu de deux points situés sur deux droites strictement parallèles, n’appartient à aucune d’elles. Comme $\Omega\notin \mathscr{C}\comma$ il ne vérifie pas l’équation de $\mathscr{C}$ donc en posant $C = au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c$ qui est non nul, vous déduisez que, pour tout point $M$ du plan :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2+C = 0. \end{align*}

Effectuez une rotation du repère

Afin d’analyser la situation, il est commode de rendre les deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ horizontales par une rotation du repère. Soit donc $\vv{u}$ un vecteur directeur unitaire commun aux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2.$

Soit $\vv{v}$ le vecteur unitaire obtenu en faisant subir au vecteur $\vv{u}$ une rotation d’angle $\pi/2.$

Grâce au schéma que vous pouvez retrouver dans un autre article, vous utilisez les notations déjà vues, complétées par un nouveau repère.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 236.

Pour tout point $M$ du plan vous notez $(x_M,y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})\comma$ $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$ et enfin $(X’_M,Y’_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{u},\vv{v}).$

Il est rappelé que :

\begin{align*} X_M&=X'_M\cos \theta – Y'_M\sin \theta \\ Y_M&=X'_M\sin \theta+Y'_M\cos \theta. \end{align*}

Du coup :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2+C = 0 \\ &\Longleftrightarrow a(X'_M\cos \theta – Y'_M\sin \theta)^2\\ &\qquad+2h(X'_M\cos \theta – Y'_M\sin \theta)(X'_M\sin \theta+Y'_M\cos \theta)\\ &\qquad + b(X'_M\sin \theta+Y'_M\cos \theta)^2+C=0\\ &\Longleftrightarrow a({X'}_M^2 \cos^2\theta+{Y'}_M^2\sin^2\theta-2X'_MY'_M\sin\theta\cos\theta)\\ &\qquad +2h({X'}_M^2\sin\theta\cos\theta + X'_MY'_M(\cos^2 \theta – \sin^2\theta)-{Y'}_M^2\sin\theta\cos\theta)\\ &\qquad +b({X'_M}^2\sin^2\theta + {Y'}_M\cos^2\theta+2X'_MY'_M\sin\theta\cos\theta)+C=0\\ &\Longleftrightarrow (a\cos^2\theta +2h\sin\theta\cos\theta+b\sin^2\theta){X'_M}^2\\ &\qquad +(2(b-a)\sin\theta\cos\theta+2h(\cos^2\theta-\sin^2\theta))X'_MY'_M\\ &\qquad (a\sin^2\theta-2h\sin\theta \cos\theta+b\cos^2\theta){Y'_M}^2+C=0. \end{align*}

Pour plus de lisibilité, vous allez poser :

\begin{align*} R&= a\cos^2\theta +2h\sin\theta\cos\theta+b\sin^2\theta \\ T&=a\sin^2\theta-2h\sin\theta \cos\theta+b\cos^2\theta\\ S&=(b-a)\sin\theta\cos\theta+h(\cos^2\theta-\sin^2\theta). \end{align*}

Ainsi, vous avez obtenu :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow R{X'}_M^2+2SX'_MY'_M+T{Y'}_M^2+C=0. \end{align*}

Grâce à un calcul similaire mené dans un autre article, vous avez la conservation d’un déterminant de taille $2\times 2$ soit :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 240.

ab-h^2 = RT-S^2.

Par souci de complétude, ce résultat va être prouvé en utilisant la propriété multiplicative du déterminant.

Prouvez l’égalité $ab-h^2 = RT-S^2$

En effet, partez de la matrice suivante :

\begin{pmatrix} a & h\\ h& b \end{pmatrix}.

Son déterminant étant égal à $ab-h^2\comma$ vous multipliez cette matrice à droite par une matrice de rotation, qui a un déterminant égal à $1\comma$ ce qui donne :

\begin{pmatrix} a & h\\ h& b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cos \theta + h\sin\theta & -a\sin\theta + h\cos\theta\\ h\cos\theta + b\sin \theta & -h\sin\theta+b\cos\theta \end{pmatrix}.

Multipliez à gauche cette matrice par la matrice de rotation d’angle $-\theta\comma$ ce qui donne :

\begin{align*} &\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\cos \theta + h\sin\theta & -a\sin\theta + h\cos\theta\\ h\cos\theta + b\sin \theta & -h\sin\theta+b\cos\theta \end{pmatrix} \\ &\qquad= \begin{pmatrix} a\cos^2\theta+2h\sin\theta\cos\theta +b\sin^2\theta & (b-a)\sin\theta\cos\theta + h(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\ (b-a)\sin\theta\cos\theta + h(\cos^2\theta-\sin^2\theta) & a\sin^2\theta-2h\sin\theta\cos\theta+b\cos^2\theta \end{pmatrix}\\ &\qquad= \begin{pmatrix} R & S \\S & T \end{pmatrix}. \end{align*}

Du coup :

\begin{align*} RT-S^2 &= \begin{vmatrix} R & S \\S & T \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix}\begin{vmatrix} a\cos \theta + h\sin\theta & -a\sin\theta + h\cos\theta\\ h\cos\theta + b\sin \theta & -h\sin\theta+b\cos\theta \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a\cos \theta + h\sin\theta & -a\sin\theta + h\cos\theta\\ h\cos\theta + b\sin \theta & -h\sin\theta+b\cos\theta \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} a & h\\ h& b \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix} a & h\\ h& b \end{vmatrix}\\ &=ab-h^2. \end{align*}

Prouvez que $ab-h^2$ est nul

Dans le repère $(\Omega,\vv{u},\vv{v})$ les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont horizontales et ne passent pas par l’origine du repère.

Vu la position du point $\Omega\comma$ il existe un nombre réel $k$ non nul tel que :

\begin{align*} \mathscr{D}_1 &= \{M, Y'_M = k\} \\ \mathscr{D}_2 &= \{M, Y'_M = -k\}. \end{align*}

Pour tout réel $x\comma$ le point de coordonnées $(x,k)$ dans le repère $(\Omega,\vv{u},\vv{v})$ appartient à $\mathscr{D}_1$ donc à $\mathscr{C}$ donc :

\forall x\in\R, Rx^2+2Skx+Tk^2+C=0.

Le polynôme $RX^2+2SkX+Tk^2+C$ admet une infinité de racines donc ses coefficients sont tous nuls, donc $R = 2Sk = 0.$

Or $k$ est non nul, donc $S=0.$

Il en résulte que $RT-S^2 = 0$ et par suite $ab-h^2 = 0.$

Démontrez la nullité du déterminant d’ordre $3$

Posez :

\Delta = \begin{vmatrix}a & h & g \\ h & b & f \\ g& f & c \end{vmatrix}.

Vous allez montrer que $\Delta$ est nul grâce aux propriétés de $u$ et de $v.$

Un déterminant n’est pas modifié lorsque vous remplacez une colonne par elle-même augmentée d’une combinaison linéaire des autres. Cela conduit à :

\begin{align*} \Delta &= \begin{vmatrix}a & h & au+hv+g \\ h & b & hu+bv+f \\ g& f & gu+fv+c \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}a & h & 0 \\ h & b & 0 \\ g& f & gu+fv+c \end{vmatrix}\\ &=(gu+fv+c)\begin{vmatrix}a & h \\ h & b \\ \end{vmatrix}\\ &=(gu+fv+c)(ab-h^2) \\ &=(gu+fv+c)\times 0\\ &= 0. \end{align*}

Concluez

Si l’ensemble des points $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$ satisfaisant l’équation :

ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0

est la réunion de deux droites strictement parallèles, alors nécessairement :

\boxed{\begin{array}{ll} ab-h^2 = 0\\ \\ \Delta = \begin{vmatrix}a & h & g \\ h & b & f \\ g& f & c \end{vmatrix} = 0. \end{array}}

Remarque. Si l’ensemble précédent est composé d’une seule droite, alors la même conclusion subsiste, d’après un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 240.