Le résultat obtenu dans l'article 240 subsiste avec une démonstration similaire.
Dans cette chronique vous allez obtenir une autre démonstration en utilisant un point $\Omega$ bien choisi géométriquement parlant.
Etant donnés six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ et un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, vous étudiez l’ensemble $\mathscr{C}$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :
ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.
Vous supposez que l’ensemble $\mathscr{C}$ est la réunion de deux droites strictement parallèles notées $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2.$
Effectuez un changement d’origine du repère
Soit $A$ un point quelconque de la droite $\mathscr{D}_1$ et soit $B$ un point quelconque de la droite $\mathscr{D}_2.$
Vous appelez $\Omega$ le milieu du segment $[AB].$ Notez $(u,v)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j}).$
Pour tout point $M$ du plan, vous notez $(x_M,y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$ et $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$ et vous avez les relations :
\begin{align*}
X_M = x_M - u\\
Y_M = y_M - v.
\end{align*}Alors la série d’équivalences suivantes fournit :
\begin{align*}
M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow ax_M^2+2hx_My_M+by_M^2+2gx_M+2fy_M+c=0\\
&\Longleftrightarrow a(X_M+u)^2+2h(X_M+u)(Y_M+v)+b(Y_M+v)^2+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\
&\Longleftrightarrow a(X_M^2+u^2+2uX_M)+2h(X_MY_M+vX_M+uY_M+uv)+b(Y_M^2+v^2+2vY_M)\\&\qquad+2g(X_M+u)+2f(Y_M+v)+c=0\\
&\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2\\&\qquad+2(au+hv+g)X_M+2(hu+bv+f)Y_M\\&\qquad+(au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c)=0.
\end{align*}Notez $(\alpha,\beta)$ les coordonnées du point $A$ dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$ Comme $A\in\mathscr{C}$ vous avez :
\begin{align*}
& a\alpha^2+2h\alpha\beta+b\beta^2\\ &\qquad+2(au+hv+g)\alpha+2(hu+bv+f)\beta\\ &\qquad+(au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c)=0.
\end{align*}Le point $B$ symétrique du point $A$ par la symétrie de centre $\Omega$ a pour coordonnées $(-\alpha,-\beta)$ dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$ et par suite :
\begin{align*}
& a\alpha^2+2h\alpha\beta+b\beta^2\\ &\qquad-2(au+hv+g)\alpha-2(hu+bv+f)\beta\\ &\qquad+(au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c)=0.
\end{align*}Par soustraction, vous déduisez :
\begin{align*}
4(au+hv+g)\alpha+4(hu+bv+f)\beta=0 \\
(au+hv+g)\alpha+(hu+bv+f)\beta=0.
\end{align*}Soit maintenant un point $A’$ distinct du point $A$ et appartenant à la droite $\mathscr{D}_1.$ Notez $(\alpha’,\beta’)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$ Vous avez encore :
\begin{align*}
(au+hv+g)\alpha'+(hu+bv+f)\beta'=0.
\end{align*}Or, les vecteurs $\vv{\Omega A}$ et $\vv{\Omega A’}$ ne peuvent être colinéaires.
Si c’était le cas, les points $A$, $A’$ et $\Omega$ seraient alignés et par suite $\Omega \in (AA’)$ donc $\Omega \in\mathscr{D}_1.$ Les points $\Omega$ et $A$ appartenant à $\mathscr{D}_1$ le point $B$, symétrique de $A$ par la symétrie de centre $\Omega$ appartiendrait encore à $\mathscr{D}_1$ et donc $B \in \mathscr{D}_1\cap \mathscr{D}_2$, contredisant le fait que les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont strictement parallèles.
Vous déduisez que :
\begin{vmatrix}\alpha & \beta \\ \alpha' & \beta'\end{vmatrix}\neq 0.Par suite le système suivant est vérifié :
\begin{align*}
(au+hv+g)\alpha+(hu+bv+f)\beta=0\\
(au+hv+g)\alpha'+(hu+bv+f)\beta'=0.
\end{align*}Comme il a un déterminant non nul, vous obtenez la double égalité :
\left\{
\begin{align*}
au+hv+g=0\\
hu+bv+f=0.
\end{align*}\right.Comme $\Omega\notin \mathscr{C}$, il ne vérifie pas l’équation de $\mathscr{C}$ donc en posant $C = au^2+2huv+bv^2+2gu+2fv+c$ qui est non nul, vous déduisez que, pour tout point $M$ du plan :
\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2+C = 0.
\end{align*}Effectuez une rotation du repère
Afin d’analyser la situation, il est commode de rendre les deux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ horizontales par une rotation du repère. Soit donc $\vv{u}$ un vecteur directeur unitaire commun aux droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2.$
Soit $\vv{v}$ le vecteur unitaire obtenu en faisant subit au vecteur $\vv{u}$ une rotation d’angle $\pi/2.$
Grâce au schéma que vous pouvez retrouver dans l'article 236, vous utilisez les notations déjà vues, complétées par un nouveau repère.
Pour tout point $M$ du plan vous notez $(x_M,y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, $(X_M,Y_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$ et enfin $(X’_M,Y’_M)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{u},\vv{v}).$
Il est rappelé que :
\begin{align*}
X_M&=X'_M\cos \theta - Y'_M\sin \theta \\
Y_M&=X'_M\sin \theta+Y'_M\cos \theta.
\end{align*}Du coup :
\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow aX_M^2+2hX_MY_M+bY_M^2+C = 0 \\
&\Longleftrightarrow a(X'_M\cos \theta - Y'_M\sin \theta)^2\\
&\qquad+2h(X'_M\cos \theta - Y'_M\sin \theta)(X'_M\sin \theta+Y'_M\cos \theta)\\
&\qquad + b(X'_M\sin \theta+Y'_M\cos \theta)^2+C=0\\
&\Longleftrightarrow a({X'}_M^2 \cos^2\theta+{Y'}_M^2\sin^2\theta-2X'_MY'_M\sin\theta\cos\theta)\\
&\qquad +2h({X'}_M^2\sin\theta\cos\theta + X'_MY'_M(\cos^2 \theta - \sin^2\theta)-{Y'}_M^2\sin\theta\cos\theta)\\
&\qquad +b({X'_M}^2\sin^2\theta + {Y'}_M\cos^2\theta+2X'_MY'_M\sin\theta\cos\theta)+C=0\\
&\Longleftrightarrow (a\cos^2\theta +2h\sin\theta\cos\theta+b\sin^2\theta){X'_M}^2\\
&\qquad +(2(b-a)\sin\theta\cos\theta+2h(\cos^2\theta-\sin^2\theta))X'_MY'_M\\
&\qquad (a\sin^2\theta-2h\sin\theta \cos\theta+b\cos^2\theta){Y'_M}^2+C=0.
\end{align*}Pour le choix de $\theta$ obtenu, vous avez :
Pour plus de lisibilité, vous allez poser :
\begin{align*}
R&= a\cos^2\theta +2h\sin\theta\cos\theta+b\sin^2\theta \\
T&=a\sin^2\theta-2h\sin\theta \cos\theta+b\cos^2\theta\\
S&=(b-a)\sin\theta\cos\theta+h(\cos^2\theta-\sin^2\theta).
\end{align*}Ainsi, vous avez obtenu :
\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow R{X'}_M^2+2SX'_MY'_M+T{Y'}_M^2+C=0.
\end{align*}Grâce à un calcul similaire mené dans l'article 240 vous avez la conservation d’un déterminant de taille $2\times 2$ soit :
ab-h^2 = RT-S^2.
Par souci de complétude, ce résultat va être prouvé en utilisant la propriété multiplicative du déterminant.
Prouvez l’égalité $ab-h^2 = RT-S^2$
En effet, partez de la matrice suivante :
\begin{pmatrix}
a & h\\
h& b
\end{pmatrix}.Son déterminant étant égal à $ab-h^2$, vous multipliez cette matrice à droite par une matrice de rotation, qui a un déterminant égal à $1:$
\begin{pmatrix}
a & h\\
h& b
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a\cos \theta + h\sin\theta & -a\sin\theta + h\cos\theta\\
h\cos\theta + b\sin \theta & -h\sin\theta+b\cos\theta
\end{pmatrix}.Multipliez à gauche cette matrice par la matrice de rotation d’angle $-\theta:$
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\cos \theta + h\sin\theta & -a\sin\theta + h\cos\theta\\
h\cos\theta + b\sin \theta & -h\sin\theta+b\cos\theta
\end{pmatrix} \\
&\qquad= \begin{pmatrix}
a\cos^2\theta+2h\sin\theta\cos\theta +b\sin^2\theta & (b-a)\sin\theta\cos\theta + h(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\
(b-a)\sin\theta\cos\theta + h(\cos^2\theta-\sin^2\theta) & a\sin^2\theta-2h\sin\theta\cos\theta+b\cos^2\theta
\end{pmatrix}\\
&\qquad= \begin{pmatrix}
R & S \\S & T
\end{pmatrix}.
\end{align*}Du coup :
\begin{align*}
RT-S^2 &= \begin{vmatrix}
R & S \\S & T
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
\cos\theta & \sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
a\cos \theta + h\sin\theta & -a\sin\theta + h\cos\theta\\
h\cos\theta + b\sin \theta & -h\sin\theta+b\cos\theta
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
a\cos \theta + h\sin\theta & -a\sin\theta + h\cos\theta\\
h\cos\theta + b\sin \theta & -h\sin\theta+b\cos\theta
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
a & h\\
h& b
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{vmatrix} \\
&=\begin{vmatrix}
a & h\\
h& b
\end{vmatrix}\\
&=ab-h^2.
\end{align*}Prouvez que $ab-h^2$ est nul
Dans le repère $(\Omega,\vv{u},\vv{v})$ les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont horizontales et ne passent pas par l’origine du repère.
De part la position du point $\Omega$, il existe un nombre réel $k$ non nul tel que :
\begin{align*}
\mathscr{D}_1 &= \{M, Y'_M = k\} \\
\mathscr{D}_2 &= \{M, Y'_M = -k\}.
\end{align*}Pour tout réel $x$, le point de coordonnées $(x,k)$ dans le repère $(\Omega,\vv{u},\vv{v})$ appartient à $\mathscr{D}_1$ donc à $\mathscr{C}$ donc :
\forall x\in\R, Rx^2+2Skx+Tk^2+C=0.
Le polynôme $RX^2+2SkX+Tk^2+C$ admet une infinité de racines donc ses coefficients sont tous nuls, donc $R = 2Sk = 0.$
Or $k$ est non nul, donc $S=0.$
Il en résulte que $RT-S^2 = 0$ et par suite $\frac{ab-h^2 = 0.}$
Démontrez la nullité du déterminant d’ordre $3$
Posez :
\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix}.Vous allez montrer que $\Delta$ est nul grâce aux propriétés de $u$ et de $v.$
Un déterminant n’est pas modifié lorsque vous remplacez une colonne par elle-même augmentée d’une combinaison linéaire des autres. Cela conduit à :
\begin{align*}
\Delta &=
\begin{vmatrix}a & h & au+hv+g \\
h & b & hu+gv+f \\
g& f & gu+fv+c
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}a & h & 0 \\
h & b & 0 \\
g& f & gu+fv+c
\end{vmatrix}\\
&=(gu+fv+c)\begin{vmatrix}a & h \\
h & b \\
\end{vmatrix}\\
&=(gu+fv+c)(ab-h^2) \\
&=(gu+fv+c)\times 0\\
&= 0.
\end{align*}Concluez
Si l’ensemble des points $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$ satisfaisant l’équation :
ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0
est la réunion de deux droites strictement parallèles, alors nécessairement :
\boxed{\begin{array}{ll}
ab-h^2 = 0\\
\\
\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix} = 0.
\end{array}}Remarque. Si l’ensemble précédent est composé d’une seule droite, alors la même conclusion subsiste, d’après le contenu écrit dans l'article 240.
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