Etant donnés six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ et un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, vous étudiez l’ensemble $\mathscr{C}$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :

ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.

Vous établissez la réciproque partielle des résultats obtenus [yanniswp_article_link nb= »241″ desc= »dans l’article 241″] et [yanniswp_article_link nb= »240″ desc= »dans l’article 240″].

Note. Cette réciproque est effectivement partielle dans la mesure où il sera possible d’obtenir l’ensemble vide ou le plan tout entier.

Vous supposez dans cette chronique que :

\left\{\begin{array}{ll}
\begin{vmatrix}a & h  \\
h & b \\
\end{vmatrix} = ab-h^2 = 0\\
\\
\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix} = 0.
\end{array}\right.

Développez le déterminant $\Delta$

Comme $ab-h^2=0$ le calcul de $\Delta$ sera facilité en le développant par rapport à la troisième ligne :

\begin{align*}
\Delta &= g
\begin{vmatrix}  h & g \\
 b & f 
\end{vmatrix}-f\begin{vmatrix}  a & g \\
 h & f 
\end{vmatrix} + c \begin{vmatrix}  a & h \\
 h & b 
\end{vmatrix}\\
&= g (hf-gb)-f(af-gh) + c (ab-h^2) \\
&=g (hf-gb)-f(af-gh) +c\times 0\\
&=2fgh-bg^2-af^2.
\end{align*}

Supposez $a$ non nul

Comme $\Delta = 0$ vous déduisez après multiplication par $a:$

\begin{align*}
0 &= -a\times \Delta \\
&=a^2f^2 +abg^2 - 2afgh\\
&=a^2f^2 +h^2g^2 - 2afgh\\
&=(af-gh)^2.
\end{align*}

Vous déduisez de ce résultat que $af-gh = 0.$

\begin{align*}
M\in\mathscr{C}&\Longleftrightarrow ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0  \\
&\Longleftrightarrow a^2x^2+2ahxy+aby^2+2agx+2afy+ac=0  \\
&\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +(ab-h^2)y^2+2agx+2afy+ac=0  \\
&\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +2gax+2afy+ac=0  \\
&\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +2g(ax+hy)+(2af-2gh)y+ac=0  \\
&\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +2g(ax+hy)+2(af-gh)y+ac=0  \\
&\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +2g(ax+hy)+ac=0  \\
&\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +2g(ax+hy) + g^2 +ac - g^2=0  \\
&\Longleftrightarrow (ax+hy+g)^2 +ac - g^2=0.
\end{align*}

Trois cas se présentent.

Si $ac-g^2 > 0$ alors :

\forall (x,y)\in\R^2, (ax+hy+g)^2 +ac - g^2>0.

Par suite $\mathscr{C} = \varnothing.$

Si $ac-g^2 = 0$ alors :

\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow (ax+hy+g)^2 =0  \\
&\Longleftrightarrow ax+hy+g =0.
\end{align*}

Comme $a\neq 0$ vous avez $(a,h)\neq (0,0)$ donc $\mathscr{C}$ est une droite.

Si $ac-g^2 <0$ alors le nombre $\delta = \sqrt{g^2-ac}$ est bien défini et est non nul.

\begin{align*}
M\in\mathscr{C}
&\Longleftrightarrow (ax+hy+g)^2 -\delta^2=0  \\
&\Longleftrightarrow (ax+hy+g+\delta)(ax+hy+g-\delta) = 0\\
&\Longleftrightarrow ax+hy+g+\delta = 0\text{ ou } ax+hy+g-\delta = 0.
\end{align*}

Comme $(a,h)\neq (0,0)$ les équations $ax+hy+g+\delta = 0$ et $ax+hy+g-\delta = 0$ sont bien des équations cartésiennes de droites.

Notez $\mathscr{D}_1$ la droite d’équation $ax+hy+g+\delta = 0.$

Notez $\mathscr{D}_2$ la droite d’équation $ax+hy+g-\delta = 0.$

Elles admettent toutes les deux le même vecteur directeur non nul $\vv{d}\begin{pmatrix}-h \\ a \end{pmatrix}$ donc elles sont parallèles.

De plus elles n’ont aucun point en commun. En effet si vous notiez $(p,q)$ les coordonnées d’un tel point, vous auriez :

\begin{align*}
ap+hq+g+\delta = 0\\
ap+hq+g-\delta = 0
\end{align*}

Et par soustraction vous déduisez $2\delta = 0$ et $\delta = 0$ contradiction avec $\delta > 0.$

Donc les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont strictement parallèles et $\mathscr{C}$ est leur réunion.

Supposez $a$ nul

La condition $ab-h^2 = 0$ force la nullité de $h.$

La nullité de $\Delta$ fournit :

\begin{align*}
0 &= \Delta\\
 &=2fgh-bg^2-af^2\\
&=-bg^2.
\end{align*}

Si $b$ est nul

Vous avez :

\begin{align*}
M\in\mathscr{C}&\Longleftrightarrow 2gx+2fy+c=0.
\end{align*}

Donc $\mathscr{C}$ est soit une droite, soit l’ensemble vide, soit le plan tout entier.

Si $b$ est non nul

Comme $bg^2 = 0$ le nombre $g$ est nul. Du coup :

\begin{align*}
M\in\mathscr{C}&\Longleftrightarrow by^2+2fy+c=0.
\end{align*}

Pour étudier le trinôme en $y$, obtenu il y a trois possibilités, qui sont récapitulées en détail par souci de complétude.

Si $f^2-bc$ est strictement négatif

Vous écrivez que :

\begin{align*}
\forall y\in\R, b(by^2+2fy+c) &= b^2y^2+2bfy+bc\\
&= (by+f)^2+bc-f^2
\end{align*}

Comme $bc-f^2$ est strictement positif, la somme $(by+f)^2+bc-f^2$ est supérieure à $bc-f^2$ donc elle est strictement positive.

Dès lors :

\forall y\in\R, by^2+2fy+c\neq 0.

Vous déduisez que $\mathscr{C}$ est vide.

Si $f^2-bc$ est nul

Vous avez :

\begin{align*}
M\in\mathscr{C}&\Longleftrightarrow b^2y^2+2bfy+bc=0\\
&\Longleftrightarrow (by+f)^2+bc-f ^2=0\\
&\Longleftrightarrow (by+f)^2=0\\
&\Longleftrightarrow by+f=0\\
&\Longleftrightarrow y =-\frac{f}{b}.
\end{align*}

Vous déduisez que $\mathscr{C}$ est une droite horizontale.

Si $f^2-bc$ est strictement positif

Le réel $\delta = \sqrt{f^2-bc}$ est bien défini et il est strictement positif.

D’autre part :

\begin{align*}
M\in\mathscr{C}&\Longleftrightarrow b^2y^2+2bfy+bc=0\\
&\Longleftrightarrow (by+f)^2+bc-f ^2=0\\
&\Longleftrightarrow (by+f)^2 - \delta^2=0\\
&\Longleftrightarrow (by+f+\delta)(by+f-\delta)=0\\
&\Longleftrightarrow by+f+\delta = 0 \text{ ou } by+f-\delta = 0\\
&\Longleftrightarrow y=\frac{-f-\delta}{b} \text{ ou } y = \frac{-f+\delta}{b}.
\end{align*}

Vous déduisez que $\mathscr{C}$ est la réunion de deux droites horizontales qui sont strictement parallèles.

Concluez

Supposez :

\left\{\begin{array}{ll}
ab-h^2 = 0\\
\\
\Delta =
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix} = 0.
\end{array}\right.

Il y a quatre possibilités en tout pour l’ensemble $\mathscr{C}$ qui peut être :

• la réunion de deux droites strictement parallèles,
• une droite,
• l’ensemble vide $\varnothing$,
• le plan tout entier.