242. Lorsqu’une équation générale du second degré à deux variables admet deux déterminants nuls

Étant donnés six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ et un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})\comma$ vous étudiez l’ensemble $\mathscr{C}$ des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :

ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.

Vous établissez la réciproque partielle des résultats obtenus dans d’autres articles.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 241.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 240.

Note. Cette réciproque est effectivement partielle dans la mesure où il sera possible d’obtenir l’ensemble vide ou le plan tout entier.

Vous supposez dans ce contenu que :

\left\{\begin{array}{ll} \begin{vmatrix}a & h \\ h & b \\ \end{vmatrix} = ab-h^2 = 0\\ \\ \Delta = \begin{vmatrix}a & h & g \\ h & b & f \\ g& f & c \end{vmatrix} = 0. \end{array}\right.

Développez le déterminant $\Delta$

Comme $ab-h^2=0\comma$ le calcul de $\Delta$ sera facilité en le développant par rapport à la troisième ligne :

\begin{align*} \Delta &= g \begin{vmatrix} h & g \\ b & f \end{vmatrix}-f\begin{vmatrix} a & g \\ h & f \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} a & h \\ h & b \end{vmatrix}\\ &= g (hf-gb)-f(af-gh) + c (ab-h^2) \\ &=g (hf-gb)-f(af-gh) +c\times 0\\ &=2fgh-bg^2-af^2. \end{align*}

Supposez $a$ non nul

Comme $\Delta = 0\comma$ vous déduisez, après multiplication par $-a\comma$ ce qui suit :

\begin{align*} 0 &= -a\times \Delta \\ &=a^2f^2 +abg^2 – 2afgh\\ &=a^2f^2 +h^2g^2 – 2afgh\\ &=(af-gh)^2. \end{align*}

Vous déduisez de ce résultat que $af-gh = 0.$

\begin{align*} M\in\mathscr{C}&\Longleftrightarrow ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 \\ &\Longleftrightarrow a^2x^2+2ahxy+aby^2+2agx+2afy+ac=0 \\ &\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +(ab-h^2)y^2+2agx+2afy+ac=0 \\ &\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +2gax+2afy+ac=0 \\ &\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +2g(ax+hy)+(2af-2gh)y+ac=0 \\ &\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +2g(ax+hy)+2(af-gh)y+ac=0 \\ &\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +2g(ax+hy)+ac=0 \\ &\Longleftrightarrow (ax+hy)^2 +2g(ax+hy) + g^2 +ac – g^2=0 \\ &\Longleftrightarrow (ax+hy+g)^2 +ac – g^2=0. \end{align*}

Trois cas se présentent.

Si $ac-g^2 \gt 0\comma$ alors :

\forall (x,y)\in\R^2, (ax+hy+g)^2 +ac – g^2\gt0.

Par suite $\mathscr{C} = \varnothing.$

Si $ac-g^2 = 0\comma$ alors :

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow (ax+hy+g)^2 =0 \\ &\Longleftrightarrow ax+hy+g =0. \end{align*}

Comme $a\neq 0\comma$ vous avez $(a,h)\neq (0,0)$ donc $\mathscr{C}$ est une droite.

Si $ac-g^2 \lt0\comma$ alors le nombre $\delta = \sqrt{g^2-ac}$ est bien défini et est non nul.

\begin{align*} M\in\mathscr{C} &\Longleftrightarrow (ax+hy+g)^2 -\delta^2=0 \\ &\Longleftrightarrow (ax+hy+g+\delta)(ax+hy+g-\delta) = 0\\ &\Longleftrightarrow ax+hy+g+\delta = 0\text{ ou } ax+hy+g-\delta = 0. \end{align*}

Comme $(a,h)\neq (0,0)\comma$ les équations $ax+hy+g+\delta = 0$ et $ax+hy+g-\delta = 0$ sont bien des équations cartésiennes de droites.

Notez $\mathscr{D}_1$ la droite d’équation $ax+hy+g+\delta = 0.$

Notez $\mathscr{D}_2$ la droite d’équation $ax+hy+g-\delta = 0.$

Elles admettent toutes les deux le même vecteur directeur non nul $\vv{d}\begin{pmatrix}-h \\ a \end{pmatrix}$ donc elles sont parallèles.

De plus elles n’ont aucun point en commun. En effet si vous notiez $(p,q)$ les coordonnées d’un tel point, vous auriez :

\begin{align*} ap+hq+g+\delta = 0\\ ap+hq+g-\delta = 0 \end{align*}

Et par soustraction vous déduisez $2\delta = 0$ et $\delta = 0\comma$ ce qui contredit $\delta \gt 0.$

Donc les droites $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D}_2$ sont strictement parallèles et $\mathscr{C}$ est leur réunion.

Supposez $a$ nul

La condition $ab-h^2 = 0$ force la nullité de $h.$

La nullité de $\Delta$ fournit :

\begin{align*} 0 &= \Delta\\ &=2fgh-bg^2-af^2\\ &=-bg^2. \end{align*}

Si $b$ est nul

Vous avez :

\begin{align*} M\in\mathscr{C}&\Longleftrightarrow 2gx+2fy+c=0. \end{align*}

Donc $\mathscr{C}$ est soit une droite, soit l’ensemble vide, soit le plan tout entier.

Si $b$ est non nul

Comme $bg^2 = 0\comma$ le nombre $g$ est nul. Du coup :

\begin{align*} M\in\mathscr{C}&\Longleftrightarrow by^2+2fy+c=0. \end{align*}

Pour étudier le trinôme en $y$ obtenu, il y a trois possibilités, qui sont récapitulées en détail par souci de complétude.

Si $f^2-bc$ est strictement négatif

Vous écrivez que :

\begin{align*} \forall y\in\R, b(by^2+2fy+c) &= b^2y^2+2bfy+bc\\ &= (by+f)^2+bc-f^2 \end{align*}

Comme $bc-f^2$ est strictement positif, la somme $(by+f)^2+bc-f^2$ est supérieure à $bc-f^2$ donc elle est strictement positive.

Dès lors :

\forall y\in\R, by^2+2fy+c\neq 0.

Vous déduisez que $\mathscr{C}$ est vide.

Si $f^2-bc$ est nul

Vous avez :

\begin{align*} M\in\mathscr{C}&\Longleftrightarrow b^2y^2+2bfy+bc=0\\ &\Longleftrightarrow (by+f)^2+bc-f ^2=0\\ &\Longleftrightarrow (by+f)^2=0\\ &\Longleftrightarrow by+f=0\\ &\Longleftrightarrow y =-\frac{f}{b}. \end{align*}

Vous déduisez que $\mathscr{C}$ est une droite horizontale.

Si $f^2-bc$ est strictement positif

Le réel $\delta = \sqrt{f^2-bc}$ est bien défini et il est strictement positif.

D’autre part :

\begin{align*} M\in\mathscr{C}&\Longleftrightarrow b^2y^2+2bfy+bc=0\\ &\Longleftrightarrow (by+f)^2+bc-f ^2=0\\ &\Longleftrightarrow (by+f)^2 – \delta^2=0\\ &\Longleftrightarrow (by+f+\delta)(by+f-\delta)=0\\ &\Longleftrightarrow by+f+\delta = 0 \text{ ou } by+f-\delta = 0\\ &\Longleftrightarrow y=\frac{-f-\delta}{b} \text{ ou } y = \frac{-f+\delta}{b}. \end{align*}

Vous déduisez que $\mathscr{C}$ est la réunion de deux droites horizontales qui sont strictement parallèles.

Concluez

Supposez :

\left\{\begin{array}{ll} ab-h^2 = 0\\ \\ \Delta = \begin{vmatrix}a & h & g \\ h & b & f \\ g& f & c \end{vmatrix} = 0. \end{array}\right.

Il y a quatre possibilités en tout pour l’ensemble $\mathscr{C}$ qui peut être :

la réunion de deux droites strictement parallèles,
une droite,
l’ensemble vide $\varnothing$,
le plan tout entier.