243. Déterminez une équation de l’union des deux axes d’une ellipse ou d’une hyperbole

Etant donnés six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ et un plan muni d’un repère $(O,\vv{i},\vv{j})$, vous étudiez la conique $\mathscr{C}$ formée par l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans ce repère qui vérifient l’équation suivante :

ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.

Vous supposez que :

\left\{\begin{array}{ll}
\begin{vmatrix}a & h  \\
h & b \\
\end{vmatrix} \neq 0\\
\\
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix} \neq 0.
\end{array}\right.

Dans ces conditions, l’ensemble $\mathscr{C}$ est soit une ellipse (si $ab-h^2>0$), soit une hyperbole (si $ab-h^2<0$), soit l’ensemble vide $\varnothing.$

En effet, comme $ab-h^2\neq 0$ le système ci-dessous admet une solution unique $(u,v)$ telle que :

\left\{\begin{align*}
au+hv+g&=0\\
hu+bv+f&=0.
\end{align*}\right.

Effectuez un changement d’origine du repère

Posez $X = x-u$ et $Y=y-v$ et considérez le point $\Omega$ de coordonnées $(u,v)$ dans le repère $(O,\vv{i},\vv{j}).$

\begin{align*}
ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0 &\Longleftrightarrow a(X+u)^2+2h(X+u)(Y+v)+b(Y+v)^2\\&\qquad+2g(X+u)+2f(Y+v)+c=0 \\
&\Longleftrightarrow a(X^2+u^2+2uX)\\&\qquad+2h(XY+vX+uY+uv)
\\&\qquad +b(Y^2+v^2+2vY)
\\&\qquad +2g(X+u)+2f(Y+v)+c=0\\
&\Longleftrightarrow aX^2+2hXY+bY^2
\\&\qquad +(2au+2hv+2g)X+(2hu+2bv+2f)Y\\
&\qquad +au^2+2huv +bv^2 + 2gu +2fv+c=0\\
&\Longleftrightarrow aX^2+2hXY+bY^2 \\
&\qquad +au^2+2huv +bv^2 + 2gu +2fv+c = 0\\
&\Longleftrightarrow aX^2+2hXY+bY^2 \\
&\qquad +au^2+huv +huv +bv^2 +gu + gu +fv +fv+c = 0\\
&\Longleftrightarrow aX^2+2hXY+bY^2 \\
&\qquad +u(au+hv+g)+v(hu+bv+f)   + gu  +fv+c = 0\\
&\Longleftrightarrow aX^2+2hXY+bY^2  + gu  +fv+c = 0.
\end{align*}

De part les propriétés du déterminant :

\begin{align*}
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix}  &= \begin{vmatrix}a & h & au+hv+g \\
h & b & hu+gv+f \\
g& f & gu+fv+c
\end{vmatrix} \\
 &= \begin{vmatrix}a & h & 0 \\
h & b & 0 \\
g& f & gu+fv+c
\end{vmatrix} \\
&=  (gu+fv+c) \begin{vmatrix}a & h \\
h & b 
\end{vmatrix} .
\end{align*}

Comme $\begin{vmatrix}a & h & g \\h & b & f \\ g& f & c \end{vmatrix}\neq 0$ vous déduisez que $gu+fv+c \neq 0.$

Posez alors :

\begin{align*}
A &= \frac{a}{gu+fv+c}\\
H &= \frac{h}{gu+fv+c}\\
B &= \frac{b}{gu+fv+c}.
\end{align*}

L’ensemble $\mathscr{C}$ est donc décrit par l’équation $\boxed{AX^2+2HXY+BY^2 =1.}$

Par souci de lisibilité vous allez noter encore par $x$ et $y$ les coordonnées du point $M$ mais cette fois-ci dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$

D’après ce qui a été établi, vous avez montré que, pour tout point $M$ de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}) :$

M\in\mathscr{C} \Longleftrightarrow Ax^2+2Hxy+By^2=1.

Effectuez une rotation du repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$

Soit $\theta$ un nombre réel, il sera choisi plus tard. Considérez la base $(\vv{u}, \vv{v})$ obtenue en faisant subir à la base $(\vv{i}, \vv{j})$ une rotation d’angle $\theta.$

Vous notez $(x,y)$ les coordonnées d’un point $M$ du plan dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j})$ et $(X,Y)$ ses coordonnées dans le repère $(\Omega,\vv{u},\vv{v}).$

Dès lors :

\begin{align*}
x&=X\cos\theta-Y\sin\theta \\
y&=X\sin\theta+Y\cos\theta.
\end{align*}

Note. La rotation d’angle $-\theta$ permet d’inverser les relations ci-dessus, donc :

\begin{align*}
X&=x\cos\theta+y\sin\theta \\
Y&=-x\sin\theta+y\cos\theta.
\end{align*}

Vous obtenez :

\begin{align*}
Ax^2+2Hxy+By^2 = 1 &\Longleftrightarrow A(X\cos\theta-Y\sin\theta)^2\\
&\qquad + 2H(X\cos\theta - Y\sin\theta)(X\sin\theta+Y\cos\theta)\\
&\qquad +B(X\sin\theta + Y\cos\theta)^2=1\\
&\Longleftrightarrow A(X^2\cos^2\theta+Y^2\sin^2\theta-2XY\sin\theta\cos\theta)^2\\
&\qquad +2H(X^2\sin\theta\cos\theta +XY(\cos^2\theta - \sin^2\theta)-Y^2\sin\theta\cos\theta)\\
&\qquad +B(X^2\sin^2\theta+Y^2\cos^2\theta+2XY\sin\theta\cos\theta) = 1\\
&\Longleftrightarrow (A\cos^2\theta +2H\sin\theta\cos\theta + B\sin^2\theta)X^2\\
&\qquad +2((B-A)\sin\theta \cos\theta + H(\cos^2\theta-\sin^2\theta))XY\\
&\qquad +(A\sin^2\theta -2H\sin\theta\cos\theta + B\cos^2\theta)Y^2 = 1.
\end{align*}

L’annulation du terme croisé $XY$ est possible.

En effet, si $a=b$ alors $A=B$ et vous choisissez $\theta = \pi/4.$

Si $a\neq b$ vous avez aussi $B-A\neq 0$ et vous posez $\theta = \frac{1}{2}\mathrm{Arctan}\frac{-2H}{B-A}.$

Alors $2\theta = \mathrm{Arctan} \frac{-2H}{B-A}$ et $2\theta \in ]-\pi/2, \pi/2[$ du coup $\cos 2\theta \neq 0$ et $\tan 2\theta = \frac{-2H}{B-A}$ ce qui se traduit par $\frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} = \frac{-2H}{B-A}$ et donc:

\begin{align*}
(B-A)\sin2 \theta  + 2H \cos 2\theta&= 0\\
2(B-A)\sin \theta \cos\theta + 2H (\cos^2\theta - \sin^2\theta)&= 0\\
(B-A)\sin \theta \cos\theta + H (\cos^2\theta - \sin^2\theta)&= 0.
\end{align*}

Dans le repère $(\Omega,\vv{u},\vv{v})$ l’ensemble $\mathscr{C}$ est décrit par l’équation suivante:

 (A\cos^2\theta +2H\sin\theta\cos\theta + B\sin^2\theta)X^2+(A\sin^2\theta -2H\sin\theta\cos\theta + B\cos^2\theta)Y^2 = 1.

Il a été démontré qu’une rotation du repère ne modifie pas la valeur du déterminant d’ordre $2.$ Vous êtes invité à vous référer au contenu écrit dans l'article 241.

Ainsi :

\begin{align*}
 (A\cos^2\theta +2H\sin\theta\cos\theta + B\sin^2\theta)(A\sin^2\theta -2H\sin\theta\cos\theta + B\cos^2\theta) - 0^2 &=AB-H^2\\
&=\frac{ab-h^2}{(gu+fv+c)^2}.
\end{align*}

Comme $ab-h^2$ est non nul, les deux nombres $A\cos^2\theta +2H\sin\theta\cos\theta + B\sin^2\theta$ et $A\sin^2\theta -2H\sin\theta\cos\theta + B\cos^2\theta$ sont non nuls.

Posez alors $k = \sqrt{\vert A\cos^2\theta +2H\sin\theta\cos\theta + B\sin^2\theta \vert}$ et $\ell = \sqrt{\vert A\sin^2\theta -2H\sin\theta\cos\theta + B\cos^2\theta \vert}$ pour conclure que $\mathscr{C}$ admet pour équation :

\pm \frac{X^2}{k^2} \pm \frac{Y^2}{\ell^2} = 1.

Selon les signes, vous obtenez soit l’ensemble vide $\varnothing$ soit une ellipse, soit une hyperbole.

Déterminez une équation de la réunion des deux axes

Supposez que $\mathscr{C}$ soit non vide.

Si $h$ est nul, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées sont déjà les deux axes de $\mathscr{C}.$

Supposez maintenant que $h$ soit non nul.

Un point $M$ de coordonnées $(X,Y)$ dans le repère $(\Omega,\vv{u},\vv{v})$ appartient à l’un des deux axes de $\mathscr{C}$, si et seulement si, $X=0$ ou $Y = 0.$ Notez $(x,y)$ les coordonnées de $M$ dans le repère $(\Omega,\vv{i},\vv{j}).$

Cette condition fournit les équivalences :

\begin{align*}
X=0\text{ ou }Y=0 &\Longleftrightarrow XY=0\\ 
 &\Longleftrightarrow (x\cos\theta+y\sin\theta)(-x\sin\theta+y\cos\theta) = 0\\
&\Longleftrightarrow (y^2-x^2)\sin\theta\cos\theta+xy(\cos^2\theta-\sin^2\theta) = 0\\
&\Longleftrightarrow (y^2-x^2)\sin\theta\cos\theta+xy \cos 2\theta= 0\\
&\Longleftrightarrow  (y^2-x^2)\sin2 \theta+2xy \cos 2\theta= 0.
\end{align*}

Dans le cas où $a=b$, vous avez $\theta = \pi/4$ donc $2\theta = \pi/2$ donc :

\begin{align*}
X=0\text{ ou }Y=0  &\Longleftrightarrow  y^2-x^2= 0.
\end{align*}

Dans le cas où $a\neq b$, il a été vu que $\cos 2\theta \neq 0$ et que $\tan 2\theta = \frac{-2H}{B-A} = \frac{-2h}{b-a}.$

Ainsi :

\begin{align*}
X=0\text{ ou }Y=0 &\Longleftrightarrow  (y^2-x^2)\tan2 \theta+2xy = 0\\
 &\Longleftrightarrow  (y^2-x^2)\frac{-2h}{b-a}+2xy = 0\\
&\Longleftrightarrow  -2h(y^2-x^2)+2(b-a)xy = 0\\
&\Longleftrightarrow  hx^2+(b-a)xy -hy^2= 0.
\end{align*}

Remarquez que lorsque $a=b$ et après division par $h$ vous retrouvez l’équation $x^2-y^2=0.$

Concluez

Ellipse ou hyperbole centrées à l’origine

Soient trois nombres réels $a, b$ et $h$ tels que :

\begin{vmatrix}a & h  \\
h & b \\
\end{vmatrix} \neq 0.

Alors la conique $\mathscr{C}$ formée par l’ensemble des points $M$ tel que :

ax^2+2hxy+by^2 = 1

est soit une hyperbole, soit une ellipse, soit l’ensemble vide $\varnothing.$

Si la conique $\mathscr{C}$ est non vide et et si $h$ est non nul la réunion des deux axes de $\mathscr{C}$ a pour équation :

\boxed{ hx^2+(b-a)xy -hy^2= 0. }

Si la conique $\mathscr{C}$ est non vide et et si $h$ est nul la réunion des deux axes de $\mathscr{C}$ a pour équation $xy=0.$

Cas général

Soient six réels $a, b, c, f, g$ et $h$ tels que :

\left\{\begin{array}{ll}
\begin{vmatrix}a & h  \\
h & b \\
\end{vmatrix} \neq 0\\
\\
\begin{vmatrix}a & h & g \\
h & b & f \\
g& f & c
\end{vmatrix} \neq 0.
\end{array}\right.

La conique $\mathscr{C}$ formée par l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ tels que :

ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0.

est soit une hyperbole, soit une ellipse, soit l’ensemble vide $\varnothing.$

Dans le cas où la conique $\mathscr{C}$ est non vide, elle admet un centre $\Omega$ de coordonnées $(u,v)$ qui vérifient le système :

\left\{\begin{align*}
au+hv+g&=0\\
hu+bv+f&=0.
\end{align*}\right.

Note. Il est rappelé que le point $\Omega$ n’appartient pas à la conique $\mathscr{C}$ à cause de la non-nullité du déterminant $3\times 3$ précité.

En passant du repère $(\Omega, \vv{i}, \vv{j})$ au repère $(O,\vv{i}, \vv{j})$ vous déduisez dans ces conditions les résultats suivants.

Si $h$ est non nul, la réunion des deux axes de la conique $\mathscr{C}$ est :

\boxed{ h(x-u)^2+(b-a)(x-u)(y-v) -h(y-v)^2= 0. }

Si $h$ est nul, la réunion des deux axes de la conique $\mathscr{C}$ est : $(x-u)(y-v)=0.$

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