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256. L’intégrale de Gauss (1/2)

Yannis TRIANTAPHYLIDES

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L’objectif de ce contenu et du contenu que vous trouverez dans un autre article est de déterminer la valeur de l’intégrale de Gauss définie par :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 257.

I = \int_{0}^{+\infty} \e^{-x^2}\dx.

Pour y parvenir, vous définissez la suite d’intégrales suivante en posant :

\forall n\in\N, I_n = \int_{0}^{+\infty} x^n\e^{-x^2}\dx.

Remarquez que pour tout entier naturel $n\comma$ la fonction $x\mapsto x^n\e^{-x^2}$ est positive sur l’intervalle $[0,+\infty[.$

Par conséquent, l’intégrale $I_n$ est bien définie. Elle est égale à ce stade à un réel positif, ou bien à $+\infty.$

Établissez la convergence de l’intégrale $I_n$

Soit $n$ un entier naturel.

Pour justifier que l’intégrale $I_n$ n’est pas égale à $+\infty$ vous pouvez utiliser des majorations.

Partez du fait que l’exponentielle domine tous les polynômes de n’importe quel degré, en particulier le degré $n+2\comma$ ce qui s’écrit ainsi $\lim_{x\to +\infty} \frac{\e^x}{x^{n+2}} = +\infty.$ Vous déduisez que $\lim_{x\to +\infty} \frac{x^{n+2}}{\e^x} = 0$ ce qui donne $\lim_{x\to +\infty} x^{n+2}\e^{-x} = 0.$

Par conséquent, il existe un réel $A\gt0$ tel que :

\begin{align*} \forall x\geq A &, x^{n+2}\e^{-x}\leq 1 \\ \forall x\geq A &, x^{n}\e^{-x}\leq \frac{1}{x^2}. \end{align*}

Posez $B = A+1.$

Soit maintenant $x$ un réel tel que $x\geq B.$ Comme $x\geq 1\comma$ il vient $x^2\geq x$ donc $-x^2 \leq -x$ et $\e^{-x^2} \leq \e^{-x}.$ Vous déduisez que :

\forall x\geq B, x^n\e^{-x^2}\leq x^n\e^{-x} \leq \frac{1}{x^2}.

Il en résulte que :

\begin{align*} \int_B^{+\infty} x^n\e^{-x^2}\dx &\leq \int_B^{+\infty} \frac{1}{x^2}\dx\\ &\leq \left[\frac{-1}{x}\right]_B^{+\infty}\\ &\leq \frac{1}{B}. \end{align*}

Du coup, pour l’intégrale $I_n$ vous déduisez que :

\begin{align*} I_n &\leq \int_0^{B} x^n\e^{-x^2}\dx + \int_B^{+\infty} x^n\e^{-x^2}\dx \\ &\leq \int_0^{B} x^n\e^{-x^2}\dx + \frac{1}{B}. \end{align*}

L’intégration de la fonction continue $x\mapsto x^n\e^{-x^2}$ sur le segment $[0,B]$ fournit $\int_0^{B} x^n\e^{-x^2}\dx\in \R.$

Il en résulte que $\int_0^{B} x^n\e^{-x^2}\dx + \frac{1}{B} \in \R.$

Il est donc impossible d’avoir $I_n = +\infty\comma$ sinon l’inégalité $I_n \leq \int_0^{B} x^n\e^{-x^2}\dx + \frac{1}{B}$ ne serait pas vérifiée.

Vous en tirez ceci :

\int_{0}^{+\infty} x^n\e^{-x^2}\dx \in \R_{+}.

D’autre part, la fonction $x\mapsto x^n\e^{-x^2}$ est positive, continue et non identiquement nulle sur l’intervalle $[0,1].$ Vous déduisez que :

\int_{0}^{+\infty} x^n\e^{-x^2}\dx \geq \int_{0}^{1} x^n\e^{-x^2}\dx \gt 0.

En définitive, vous avez montré que l’intégrale $I_n$ est un réel strictement positif.

\boxed{\forall n\in\N, \int_{0}^{+\infty} x^n\e^{-x^2}\dx \in \R_{+}^{*}.}

Remarque. En particulier, l’intégrale de Gauss notée $I\comma$ est égale à $I_0.$ C’est donc bien un réel strictement positif aussi.

Trouvez une relation de récurrence

En vous inspirant des intégrations par parties effectuées dans les intégrales de Wallis, vous effectuez le même raisonnement.

Soit $n$ un entier naturel et $M$ un réel supérieur ou égal à $1.$

\begin{align*} \int_{0}^{M} x^{n}\e^{-x^2}\dx &= \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\e^{-x^2}\right]_0^M – \int_0^M \frac{x^{n+1}}{n+1}(-2x)\e^{-x^2}\dx \\ &= \frac{M^{n+1}}{n+1}\e^{-M^2} -0 +\frac{2}{n+1} \int_0^M x^{n+2}\e^{-x^2}\dx\\ &= M\times\frac{M^{n}\e^{-M^2}}{n+1} +\frac{2}{n+1} \int_0^M x^{n+2}\e^{-x^2}\dx \end{align*}

Vous observez que :

0\leq M^{n}\e^{-M^2} \leq M^n\e^{-M}.

Via $\lim_{M\to +\infty} M^n\e^{-M} = 0$ et le théorème des gendarmes, vous déduisez $\lim_{M\to +\infty} M^n\e^{-M^2} = 0.$

D’autre part, $\lim_{M\to + \infty} \int_{0}^{M} x^{n}\e^{-x^2}\dx = I_n$ et $\lim_{M\to + \infty} \int_{0}^{M} x^{n+2}\e^{-x^2}\dx = I_{n+2}$ du coup en passant à la limite quand $M\to +\infty$ il vient $I_n = \frac{2}{n+1}I_{n+2}.$

Vous aboutissez à la relation de récurrence suivante :

\boxed{\forall n\in\N, I_{n+2} = \frac{n+1}{2}\times I_n.}

Pour tout $n\in\N\comma$ calculez l’intégrale $I_{2n+1}$

Vous avez :

I_1 = \int_{0}^{+\infty} x\e^{-x^2}\dx.

Soit $M$ un réel strictement positif. Effectuez le changement de variable suivant :

\begin{align*} y&=x^2\\ \dy &=2x\dx\\ \int_0^M x\e^{-x^2}\dx &= \int_0^{{M^2}}\frac{1}{2}\e^{-y}\dy\\ &= \frac{1}{2} \int_0^{{M^2}}\e^{-y}\dy\\ &=\frac{1}{2} \left[-\e^{-y}\right]_0^{{M^2}} \\ &=-\frac{1}{2}\e^{-M^2} + \frac{1}{2}. \end{align*}

Vous trouvez :

\begin{align*} \lim_{M\to +\infty} -M^2 &= -\infty \\ \lim_{M\to +\infty} \e^{-{M^2}} &= 0. \end{align*}

Il en résulte que :

I_1 = \int_{0}^{+\infty} x\e^{-x^2}\dx = \frac{1}{2}.

Utilisant la relation de récurrence sur la suite $(I_n)_{n\geq 0}$ vous déduisez :

\begin{align*} I_3 &= \frac{2}{2}\times I_1 = \frac{2}{2}\times \frac{1}{2} = \frac{1!}{2} \\ I_5 &= \frac{4}{2}\times I_3 = \frac{4}{2}\times \frac{2}{2}\times \frac{1}{2} = \frac{2!}{2} \\ I_7 &= \frac{6}{2}\times I_5 = \frac{6}{2}\times \frac{4}{2}\times \frac{2}{2}\times \frac{1}{2} = \frac{3!}{2}. \end{align*}

Pour tout entier naturel $n\comma$ vous notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $I_{2n+1} = \frac{n!}{2}$ ».

Initialisation. Pour $n=0\comma$ vous trouvez $\frac{0!}{2} = \frac{1}{2} = I_1$ donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $n\in\N.$ Supposez que $\mathscr{P}(n)$ est vérifiée.

\begin{align*} I_{2n+3} &= \frac{2n+2}{2}\times I_{2n+1}\\ &= (n+1)\times \frac{n!}{2}\\ &= \frac{(n+1)!}{2}. \end{align*}

Du coup, la propriété $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifiée.

Vous venez de montrer par récurrence sur $n$ que :

\boxed{\forall n\in\N, I_{2n+1} = \int_{0}^{+\infty} x^{2n+1}\e^{-x^2}\dx = \frac{n!}{2}.}

Pour tout $n\in\N\comma$ calculez l’intégrale $I_{2n}$

Vous allez effectuer les calculs en fonction de l’intégrale de Gauss : $I = \int_{0}^{+\infty} \e^{-x^2}\dx.$ La valeur définitive de cette intégrale sera déterminée dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 257.

Partez de la relation de récurrence $\forall n\in\N, I_{n+2} = \frac{n+1}{2}\times I_n.$

Vous obtenez successivement :

\begin{align*} I_2 &=\frac{1}{2}\times I \\ I_4 &=\frac{3}{2}\times I_2 \\ &= \frac{3}{2}\times \frac{1}{2}\times I \\ &= \frac{ 4!}{4\times 2\times 2^2}\times I \\ &= \frac{4!}{2!\times 2^4}\times I\\ I_6 &=\frac{5}{2}\times I_4 \\ &=\frac{5}{2}\times \frac{4!}{2!\times 2^4}\times I \\ &= \frac{5!}{2!\times 2^5}\times I\\ &=\frac{6!}{6\times 2!\times 2^5}\times I \\ &= \frac{6!}{3\times 2!\times 2^6}\times I \\ &= \frac{6!}{3\times 2!\times 2^6}\times I\\ &= \frac{6!}{3!\times 2^6}\times I. \end{align*}

Ces calculs préliminaires étant effectués, vous êtes prêt à généraliser le tout en lançant une récurrence.

Pour tout entier naturel $n\comma$ notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $I_{2n} = \frac{(2n)!}{n! \times 2^{2n}}\times I$ ».

Initialisation. Pour $n=0\comma$ $I_0 = I.$ D’autre part $ \frac{(2\times 0)!}{0! \times 2^{2\times 0}}\times I = 1\times I = I.$

Donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel. Supposez $\mathscr{P}(n).$

Vous avez alors :

\begin{align*} I_{2n+2} &= \frac{2n+1}{2}\times I_{2n} \\ &= \frac{2n+1}{2}\times \frac{(2n)!}{n! \times 2^{2n}}\times I \\ &= \frac{2n+2}{2n+2}\times \frac{2n+1}{2}\times \frac{(2n)!}{n! \times 2^{2n}}\times I \\ &= \frac{(2n+2)!}{(2n+2)\times n! \times 2^{2n+1}}\times I \\ &= \frac{(2n+2)!}{2(n+1)\times n! \times 2^{2n+1}}\times I \\ &= \frac{(2n+2)!}{(n+1)\times n! \times 2^{2n+2}}\times I \\ &= \frac{(2n+2)!}{(n+1)! \times 2^{2n+2}}\times I. \end{align*}

Ainsi avec $\boxed{I = \int_{0}^{+\infty} \e^{-x^2}\dx}$ vous avez :

\boxed{\forall n\in\N, I_{2n} = \int_{0}^{+\infty} x^{2n}\e^{-x^2}\dx = \frac{(2n)!}{n! \times 2^{2n}}\times I.}