Dans le prolongement du contenu rédigé dans l'article 254, vous allez commencer par une majoration en suivant une démarche similaire.
Etablissez une majoration d’une intégrale
Soit $n$ un entier naturel non nul. Vous souhaitez majorer l’intégrale $\int_{n}^{n+1} \frac{\dt}{t}$ qui est égale à $\ln(n+1)-\ln n.$
Considérez la figure suivante, dans laquelle la courbe $\mathscr{C}$ représente la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}.$
Dans cette figure, le point $A$ admet pour coordonnées $(n,0).$
Le point $B$ admet pour coordonnées $(n+1,0).$
Le point $C$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n+1,\frac{1}{n+1}\right).$
Le point $D$ situé sur la courbe $\mathscr{C}$ admet pour coordonnées $\left(n,\frac{1}{n}\right).$
La convexité de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur l’intervalle $]0,+\infty[$ permet de déduire que l’intégrale $\int_{n}^{n+1} \frac{\dt}{t}$ est majorée par l’aire du trapèze rectangle $ABCD.$
Des égalités : $AD = \frac{1}{n}$ et $BC = \frac{1}{n+1}$ vous déduisez:
\begin{align*}
\int_{n}^{n+1} \frac{\dt}{t} &\leq \frac{(AD+BC)\times 1}{2} \\
\ln(n+1)-\ln n &\leq \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}}{2}\\
\ln\left(\frac{n+1}{n}\right) &\leq \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}}{2}\\
\ln\left(\frac{n+1}{n}\right) &\leq \frac{\frac{2n+1}{n(n+1)}}{2}\\
\ln\left(\frac{n+1}{n}\right) &\leq\frac{2n+1}{2n(n+1)}\\
\frac{n+1}{n} &\leq \e^{\frac{2n+1}{2n(n+1)}}.
\end{align*}Déduisez-en un encadrement de $n!$
En reprenant les mêmes notations que celles se trouvant dans l'article 254, vous posez :
\forall n\in\NN, u_n = n ! \e^n n^{-n-\frac{1}{2}}.Il a été vu dans l'article 254 que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est convergente.
Soit $n\in\NN.$ Il vient :
\begin{align*}
\frac{u_n}{u_{n+1}} &= \frac{ n ! \e^n n^{-n-\frac{1}{2}}}{ (n+1) ! \e^{n+1} (n+1)^{-n-1-\frac{1}{2}}}\\
&= \frac{n^{-n-\frac{1}{2}}}{(n+1)\e (n+1)^{-n-1-\frac{1}{2}}}\\
&= \frac{n^{-n-\frac{1}{2}}}{\e (n+1)^{-n-\frac{1}{2}}}\\
&= \frac{1}{\e}\times \left(\frac{ n }{ n+1 }\right)^{-n-\frac{1}{2}}\\
&= \frac{1}{\e}\times \left(\frac{ n+1 }{ n }\right)^{n+\frac{1}{2}}.
\end{align*}Comme $\frac{n+1}{n} \geq 1$ et comme $n+\frac{1}{2}\geq 0$, vous déduisez :
\begin{align*}
\frac{n+1}{n} &\leq \e^{\frac{2n+1}{2n(n+1)}} \\
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}} &\leq \left(\e^{\frac{2n+1}{2n(n+1)}}\right)^{n+\frac{1}{2}}\\
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}} &\leq \left(\e^{\frac{2n+1}{2n(n+1)}}\right)^{\frac{2n+1}{2}}\\
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}} &\leq \e^{\frac{(2n+1)^2}{4n(n+1)}}\\
\frac{1}{\e}\times \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}} &\leq \e^{\frac{(2n+1)^2}{4n(n+1)}}\times \e^{-1}\\
\frac{u_n}{u_{n+1}} &\leq \e^{\frac{(2n+1)^2}{4n(n+1)}-1}\\
\frac{u_n}{u_{n+1}} &\leq \e^{\frac{(2n+1)^2-4n(n+1)}{4n(n+1)}}\\
\frac{u_n}{u_{n+1}} &\leq \e^{\frac{4n^2+4n+1-4n^2-4n}{4n(n+1)}}\\
\frac{u_n}{u_{n+1}} &\leq \e^{\frac{1}{4n(n+1)}}\\
\frac{u_n}{u_{n+1}} &\leq \e^{\frac{1}{4n}-\frac{1}{4(n+1)}}\\
\frac{u_n}{u_{n+1}} \times \e^{\frac{1}{4(n+1)}-\frac{1}{4n}} &\leq 1\\
\frac{u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}}}{u_{n+1}\times \e^{\frac{-1}{4(n+1)}}} &\leq 1.
\end{align*}Par conséquent la suite $\left(u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \right)_{n\geq 1}$ est croissante.
Or, la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est convergente vers un réel $\ell.$ Comme $\lim_{n\to +\infty} \e^{\frac{-1}{4n}} = 1$ vous déduisez que la suite $\left(u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \right)_{n\geq 1}$ converge aussi vers $\ell.$
La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ étant décroissante et convergente vers $\ell$ vous déduisez $\forall n\in\NN, u_n \geq \ell.$
La suite $\left(u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \right)_{n\geq 1}$ étant croissante et convergente vers $\ell$ vous déduisez $\forall n\in\NN, u_n\times \e^{\frac{-1}{4n}} \leq \ell.$
Vous avez montré qu’il existe un réel $\ell$ tel que, pour tout $n\in\NN$ :
\begin{align*}
n ! \e^n n^{-n-\frac{1}{2}} \times \e^{\frac{-1}{4n}} &\leq \ell\leq n ! \e^n n^{-n-\frac{1}{2}}\\
n ! \e^n n^{-n} \times \e^{\frac{-1}{4n}} &\leq \ell \sqrt{n }\leq n ! \e^n n^{-n}\\
n ! \e^n \times \e^{\frac{-1}{4n}} &\leq \ell \sqrt{n}\ n^n\leq n ! \e^n \\
n ! \times \e^{\frac{-1}{4n}} &\leq \ell \sqrt{n}\ \left(\frac{n}{\e}\right)^n\leq n ! \\
\ell \sqrt{n}\ \left(\frac{n}{\e}\right)^n&\leq n ! \leq \ell \sqrt{n}\ \left(\frac{n}{\e}\right)^n \times \e^{\frac{1}{4n}}.
\end{align*}
En prenant $n=1$, vous déduisez l’encadrement suivant :
\begin{align*}
\forall n\in\NN, \e\times \e^{\frac{-1}{4}} \leq \ell\leq \e \\
\forall n\in\NN, \e^{\frac{3}{4}} \leq \ell\leq \e.
\end{align*}En définitive de cette section, vous avez montré qu’il existe un nombre $\ell\in\left[\e^{\frac{3}{4}}, \e\right]$ ($\ell$ est ainsi strictement positif) tel que :
\boxed{\forall n\in\NN, \ell \sqrt{n}\ \left(\frac{n}{\e}\right)^n \leq n ! \leq \ell \sqrt{n}\ \left(\frac{n}{\e}\right)^n \times \e^{\frac{1}{4n}}.}Calculez le nombre $\ell$
De l’encadrement précédent, vous déduisez que :
\forall n\in\NN, \ell \leq \frac{n !}{\sqrt{n}\ \left(\frac{n}{\e}\right)^n } \leq \ell \times \e^{\frac{1}{4n}}.Comme $\lim_{n\to +\infty} \e^{\frac{1}{4n}} = 1$, il vient, d’après le théorème des gendarmes :
\lim_{n\to +\infty} \frac{n !}{\sqrt{n}\left(\frac{n}{\e}\right)^n} = \ell.D’après le contenu rédigé dans l'article 253 le nombre $\pi$ est obtenu par la limite de la suite suivante définie avec des factorielles (appelée formule de Wallis) :
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} \frac{(n !)^4\times 2^{4n+1}}{(2n) !(2n+1) !} =\pi.
\end{align*}Soit maintenant $n$ un entier naturel non nul. Vous souhaitez forcer l’apparition du nombre $\ell$ donc vous préparez le tout en rajoutant des éléments inspirés de la limite donnant $\ell$ :
\begin{align*}
\frac{(n !)^4\times 2^{4n+1}}{(2n) !(2n+1) !} &= \left(\frac{n !}{\sqrt{n}\left(\frac{n}{\e}\right)^n}\right)^4 \left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{\e}\right)^n\right)^4\times 2^{4n+1}\times \frac{\sqrt{2n} \left(\frac{2n}{\e}\right)^{2n}}{(2n) !}\times \frac{1}{\sqrt{2n} \left(\frac{2n}{\e}\right)^{2n}} \times \frac{\sqrt{2n+1} \left(\frac{2n+1}{\e}\right)^{2n+1}}{(2n+1) !}\times \frac{1}{\sqrt{2n+1} \left(\frac{2n+1}{\e}\right)^{2n+1}}.
\end{align*}Vous avez :
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{n !}{\sqrt{n}\left(\frac{n}{\e}\right)^n}\right)^4 = \ell^4.
\end{align*}Comme $\ell$ est non nul, vous déduisez :
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty }\frac{\sqrt{2n} \left(\frac{2n}{\e}\right)^{2n}}{(2n) !} = \frac{1}{\ell}\\
\lim_{n\to +\infty } \frac{\sqrt{2n+1} \left(\frac{2n+1}{\e}\right)^{2n+1}}{(2n+1) !} = \frac{1}{\ell}.
\end{align*}
Par produit de limites, vous en tirez que :
\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{n !}{\sqrt{n}\left(\frac{n}{\e}\right)^n}\right)^4 \times \frac{\sqrt{2n} \left(\frac{2n}{\e}\right)^{2n}}{(2n) !}\times \frac{\sqrt{2n+1} \left(\frac{2n+1}{\e}\right)^{2n+1}}{(2n+1) !} = \ell^2.Soit $n\in\NN$, vous cherchez à simplifier ce qui suit :
\begin{align*}
\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{\e}\right)^n\right)^4\times 2^{4n+1}\times \frac{1}{\sqrt{2n} \left(\frac{2n}{\e}\right)^{2n}} \times \frac{1}{\sqrt{2n+1} \left(\frac{2n+1}{\e}\right)^{2n+1}} &=\frac{n^2 n^{4n}\e^{-4n}2^{4n+1}}{\sqrt{2n(2n+1)}\ 2^{2n}n^{2n}\e^{-2n}(2n+1)^{2n+1}\e^{-2n-1}} \\
&=\frac{\e\ n^{2n+2}2^{2n+1}}{\sqrt{4n^2+2n}\ (2n+1)^{2n+1}}\\
&=\frac{\e\ n^{2n+2}2^{2n+1}}{2n\sqrt{\frac{4n^2+2n}{4n^2}}\ (2n+1)^{2n+1}}\\
&=\frac{\e\ n^{2n+1}2^{2n}}{\sqrt{1+\frac{1}{2n}}\ (2n+1)^{2n+1}}\\
&=\frac{\e\ n^{2n+1}2^{2n}}{(2n)^{2n+1}\sqrt{1+\frac{1}{2n}}\left(\frac{2n+1}{2n}\right)^{2n+1}}\\
&=\frac{\e\ n^{2n+1}2^{2n}}{(2n)^{2n+1}\sqrt{1+\frac{1}{2n}}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}\left(1+\frac{1}{2n}\right)}\\
&=\frac{\e\ n^{2n+1}2^{2n}}{2^{2n+1}n^{2n+1}\sqrt{1+\frac{1}{2n}}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}\left(1+\frac{1}{2n}\right)}\\
&=\frac{\e}{2\sqrt{1+\frac{1}{2n}}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}\left(1+\frac{1}{2n}\right)}.
\end{align*}
D’après le contenu rédigé dans l'article 251 le nombre $\e$ vérifie :
\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n} = \e.Comme $\lim_{n\to +\infty} 1+\frac{1}{2n} = 1$, vous déduisez :
\lim_{n\to +\infty}\left(\sqrt{n}\left(\frac{n}{\e}\right)^n\right)^4\times 2^{4n+1}\times \frac{1}{\sqrt{2n} \left(\frac{2n}{\e}\right)^{2n}} \times \frac{1}{\sqrt{2n+1} \left(\frac{2n+1}{\e}\right)^{2n+1}} = \frac{1}{2}.Du coup :
\lim_{n\to +\infty}\frac{(n !)^4\times 2^{4n+1}}{(2n) !(2n+1) !} = \frac{\ell^2}{2}.Par unicité de la limite d’une suite, vous déduisez que :
\begin{align*}
\frac{\ell^2}{2} &=\pi\\
\ell^2 &= 2\pi.
\end{align*}
Comme $\ell$ est positif, il vient $\boxed{\ell = \sqrt{2\pi}}.$
Concluez
D’après l’étude de cet article, vous avez établi l’encadrement suivant :
\boxed{\forall n\in\NN, \sqrt{2\pi n}\ \left(\frac{n}{\e}\right)^n \leq n ! \leq \sqrt{2\pi n}\ \left(\frac{n}{\e}\right)^n \times \e^{\frac{1}{4n}}.}De cet encadrement, vous déduisez la formule de Stirling :
\boxed{\lim_{n\to +\infty} \frac{n !}{\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{\e}\right)^n} = 1.}Partagez !
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