Définissez un endomorphisme $u$ de $\R^2$ en posant :
\forall (x,y)\in \R^2, u(x,y) = (y,0).
Calculez l’image de $u$
Posez $e_1 = (1,0).$
Soit $v$ un élément de $\im u.$ Il existe $(x,y)\in \R^2, v = u(x,y)$ donc $v = (y,0) = y(1,0) =y e_1$ donc $v\in \vect (e_1).$
Réciproquement, soit $v\in \vect (e_1).$ Il existe $\lambda\in \R$ tel que $v = \lambda e_1 = \lambda(1,0) = (\lambda,0) = u(0,\lambda).$ Donc $v\in \im u.$
Ainsi :
\im u = \vect(e_1).
Calculez le noyau de $u$
Posez encore $e_1 = (0,1).$
Soit $v$ un élément de $\ker u.$ Il existe $(x,y)\in \R^2, v = (x,y)$ et $u(x,y) = (0,0)$ d’où $(y,0) = (0,0)$ donc $y=0.$ Par suite, $v = (x,0) = x(1,0) =x e_1$ donc $v\in \vect (e_1).$
Réciproquement, soit $v\in \vect (e_1).$ Il existe $\lambda\in \R$ tel que $v = \lambda e_1 = \lambda(1,0) = (\lambda,0).$ Alors $u(v) = u(\lambda, 0) = (0,0)$ Donc $v\in \ker u.$
Ainsi :
\ker u = \vect(e_1).
Concluez
Vous avez montré qu’il existe un endomorphisme de $\R^2$ tel que $\im u = \ker u.$
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