Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel sur un corps $\K$ qui contient au moins trois éléments.
Supposez qu’il existe trois sous-espaces vectoriels $V_1$, $V_2$ et $V_3$ de $E$ tels que l’union $V_1\cup V_2\cup V_3$ soit un sous-espace vectoriel de $E.$
Vous allez montrer que l’un des espaces vectoriels contient les deux autres. Autrement dit, il s’agit de montrer que :
\exists i\in\llbracket1, 3\rrbracket, \bigcup_{j\in\llbracket 1, 3\rrbracket \setminus \{i\}} V_j \subset\ V_i.Comme vous ne savez pas quel espace contient les deux autres, pour les besoins de cette démonstration, vous choisissez de raisonner par l’absurde. Dans toute la suite de ce contenu, il est supposé que :
\boxed{\forall i\in\llbracket1, 3\rrbracket, \bigcup_{j\in\llbracket 1, 3\rrbracket \setminus \{i\}} V_j \not\subset\ V_i.}Traitez le cas où l’un des sous-espaces est inclus dans un autre
Supposez qu’il existe deux entiers $k$ et $\ell$ appartenant à l’intervalle $\llbracket 1, 3\rrbracket$ tels que $k\neq \ell$ et $V_k\subset V_{\ell}.$ Vous avez alors $V_k\cup V_{\ell} = V_{\ell}.$ En notant $q$ l’unique élément de $\llbracket 1, 3\rrbracket \setminus \{k, \ell\}$ vous obtenez :
\begin{align*}
V_1\cup V_2\cup V_3 &= V_k \cup V_{\ell} \cup V_q \\
&= (V_k \cup V_{\ell}) \cup V_q \\
&= V_{\ell} \cup V_q.
\end{align*}Les sous-espaces vectoriels $V_{\ell}$ et $V_q$ ont une union qui est un sous-espace vectoriel de $E\comma$ donc l’un est inclus dans l’autre. Ce résultat est démontré dans le contenu rédigé dans l'article 152.
Si $V_{\ell}\subset V_q$ vous déduisez que $V_k\subset V_{\ell} \subset V_q$ donc $V_q$ contient l’union $V_k \cup V_{\ell}\comma$ ce qui est contraire à l’hypothèse.
Si $V_q \subset V_{\ell}$ alors vous déduisez que $V_{\ell}$ contient l’union $V_q\cup V_k\comma$ ce qui est absurde.
Ainsi vous avez montré que :
\boxed{\forall (k, \ell)\in\llbracket 1, 3\rrbracket^2, k\neq \ell \implies V_k \not\subset V_{\ell}.}Montrez qu’un sous-espace privé d’un deuxième est inclus dans le troisième
Vous utilisez ici le fait que $\K$ contient un élément $\lambda\notin \{0,1\}.$
Soient $i\in\llbracket 1, 3\rrbracket\comma$ puis $j\in\llbracket 1, 3\rrbracket \setminus \{i\}$ et $k \in\llbracket 1, 3\rrbracket \setminus \{i,j\}.$ Vous allez démontrer que $V_i\setminus V_j \subset V_k.$
Soit $x$ un élément de $V_i\setminus V_j.$ Ainsi, $x\in V_i$ et $x\notin V_j.$ Or, $V_j \not\subset V_i\comma$ donc il existe un vecteur $y\in V_j$ tel que $y\notin V_i.$
Supposez que $\lambda x + y \notin V_k.$ Comme $x$ et $y$ appartiennent à $V_i\cup V_j\cup V_k\comma$ par linéarité, vous avez $\lambda x + y \in V_i\cup V_j\cup V_k.$ Du coup, $\lambda x+y \in V_i\cup V_j.$ Si $\lambda x +y \in V_i$ vous avez aussi $(\lambda x +y ) – \lambda x \in V_i$ donc $y\in V_i\comma$ contradiction. Si $\lambda x +y \in V_j$ vous avez $(\lambda x +y ) – y \in V_j$ donc $\lambda x \in V_j.$ Comme $\lambda$ est non nul, il vient $x\in V_j\comma$ ce qui est absurde. Donc :
\lambda x + y\in V_k.
Supposez que $(1-\lambda) x – y \notin V_k.$ Alors en procédant comme précédemment, vous avez $(1-\lambda) x – y \in V_i\cup V_j.$ Si $(1-\lambda) x – y \in V_i\comma$ alors $[(1-\lambda) x – y] – (1-\lambda)x \in V_i$ donc $-y\in V_i$ et $y\in V_i\comma$ contradiction. Si $(1-\lambda) x – y \in V_j\comma$ alors $[(1-\lambda) x – y] +y \in V_j\comma$ donc $(1-\lambda)x \in V_j.$ Comme $\lambda\neq 1$ vous avez $1-\lambda\neq 0$ et par suite $x\in V_j\comma$ ce qui est absurde. Donc :
(1-\lambda)x-y\in V_k.
Ainsi, par somme, le vecteur $x = [\lambda x + y] + [(1-\lambda)x-y]$ appartient à $V_k\comma$ ce qui prouve le résultat annoncé.
Montrez que l’intersection de deux sous-espaces est incluse dans le troisième
Soient $i\in\llbracket 1, 3\rrbracket\comma$ puis $j\in\llbracket 1, 3\rrbracket \setminus \{i\}$ et $k \in\llbracket 1, 3\rrbracket \setminus \{i,j\}.$ Vous allez démontrer que $V_i\cap V_j \subset V_k.$
Soit $x$ un élément de $V_i\cap V_j.$ Comme $V_i \not\subset V_j\comma$ il existe $y\in V_i$ tel que $y\notin V_j.$
Le vecteur $x+y$ appartient $V_i\cup V_j\cup V_k.$ Si $x+y\in V_j\comma$ alors, comme $x\in V_j\comma$ vous avez $(x+y)-x \in V_j$ donc $y\in V_j\comma$ ce qui est absurde, donc $x+y\notin V_j$ et par suite $x+y\in V_i\cup V_k.$ Si $x+y\notin V_k\comma$ alors $x+y\in V_i\setminus V_k.$ Mais d’après le paragraphe précédent, $V_i\setminus V_k \subset V_j.$ Donc $x+y\in V_j$ ce qui est absurde. Par suite $x+y\in V_k.$
Or, $y\in V_i\setminus V_j.$ D’après le paragraphe précédent, vous avez $V_i\setminus V_j \subset V_k$ donc $y\in V_k.$
Par différence, le vecteur $x = (x+y)-y$ appartient à $V_k\comma$ ce qui prouve le résultat annoncé.
Terminez le raisonnement
D’après ce qui a été évoqué ci-dessus, vous avez les inclusions suivantes :
\left\{\begin{align*}
V_1\setminus V_2 &\subset V_3\\
V_2\setminus V_1 &\subset V_3\\
V_1\cap V_2 &\subset V_3.
\end{align*}
\right.Le sous-espace $V_3$ contient les trois ensembles $V_1\setminus V_2, V_2\setminus V_1$ et $V_1\cap V_2.$ Donc il contient leur union, qui est précisément $V_1\cup V_2.$ Mais ceci contredit l’hypothèse de départ qui est absurde.
Concluez
L’hypothèse suivante est donc fausse :
\forall i\in\llbracket1, 3\rrbracket, \bigcup_{j\in\llbracket 1, 3\rrbracket \setminus \{i\}} V_j \not\subset\ V_i.Vous avez donc montré ce qui suit :
\exists i\in\llbracket1, 3\rrbracket, \bigcup_{j\in\llbracket 1, 3\rrbracket \setminus \{i\}} V_j \subset\ V_i.Autrement dit, il existe un sous-espace parmi les trois qui contient les deux autres.
Prolongement
Si $\K$ désigne un corps possédant deux éléments, et que $E$ est un $\K$-espace vectoriel de sorte que $V_1$, $V_2$ et $V_3$ soient trois sous-espaces vectoriels de $E$ tels que l’union $V_1\cup V_2\cup V_3$ soit encore un sous-espace vectoriel de $E\comma$ est-il encore vrai que l’un des sous-espaces parmi $V_1, V_2$ et $V_3$ contient les deux autres ?
Vous pourrez trouver des éléments de réponse en lisant le contenu rédigé dans l'article 153.
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