Auteur/autrice : Yannis TRIANTAPHYLIDES
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403. Caractérisez deux matrices complexes qui ont une valeur propre en commun
Dans cet article, vous notez $M_n(\C)$ l’ensemble des matrices carrées d’ordre $n$ à coefficients complexes et $M_{n,1}(\C)$ l’ensemble des matrices à coefficients complexes comportant $n$ lignes et une seule colonne. Pour toute matrice $M\in M_n(\C)\comma$ la notation $M^{\top}$ désigne la matrice transposée de $M.$ La notation $I$ désigne la matrice identité de $M_n(\C).$ Démontrez un…
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402. Procédez à la réduction d’un endomorphisme qui n’est pas cyclique
Utilisez les sous-espaces cycliques pour déterminer la matrice de Frobenius et la matrice de Jordan d’un endomorphisme, dans le cas où il n’est pas cyclique.
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401. Établissez qu’une partie réelle fermée et bornée vérifie la propriété de Heine-Borel (partie 2/2)
Utilisez la notion de complément pour aboutir à la propriété de Heine-Borel.
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400. Établissez qu’une partie réelle fermée et bornée vérifie la propriété de Heine-Borel (partie 1/2)
Démontrez qu’un intervalle fermé et borné vérifie la propriété de Heine-Borel.
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399. Trouvez la décomposition LU d’une matrice avec des opérations élémentaires
Employez les matrices élémentaires afin d’obtenir une décomposition LU.
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398. Un endomorphisme est diagonalisable, si et seulement si, il est annulé par un polynôme scindé à racines simples
Utilisez les polynômes pour examiner un critère de diagonalisabilité.
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397. Le théorème de Bolzano-Weierstrass
Utilisez la notion de quasi-majorant pour démontrer la version « point d’accumulation » du théorème de Bolzano-Weierstrass.
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396. Le critère de Cauchy pour les suites réelles
Retrouvez toutes les étapes permettant de démontrer qu’une suite réelle qui satisfait le critère de Cauchy est nécessairement convergente.
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395. Le critère de Cauchy pour les fonctions HK-intégrables
Le critère de Cauchy pour les fonctions HK-intégrables caractérise l’intégrabilité au sens de Henstock–Kurzweil par une condition de convergence des sommes de Riemann.
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394. Une équation différentielle satisfaite par les polynômes de Legendre
Les polynômes de Legendre vérifient une équation différentielle linéaire du second ordre, grâce à la formule de Leibniz et aux propriétés des dérivées successives.