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138. Des décompositions en éléments simples de fractions rationnelles en restant dans les réels
La démarche proposée ici consiste à montrer pourquoi l’existence de la décomposition est possible. On se base sur l’algorithme d’Euclide étendu et sur les divisions euclidiennes. Le but sera de trouver la décomposition en éléments simples dans $\R(X)$ de la fraction rationnelle $\frac{4X^4}{(X^4-1)^2}.$ Décomposez en éléments simples la fraction $F(X)=\frac{2X}{X^2-1}$ dans $\R(X)$ Le dénominateur de…
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137. Calculez la somme des k fois 2 puissance k
Soit $n$ un entier naturel. Vous allez calculer successivement les sommes $A_n = \sum_{k=1}^n 2^k$ et $B_n = \sum_{k=1}^n k2^k.$ Multipliez par $2$ et effectuez un changement de variable Cette idée va vous donner la réponse pour $A_n.$ $\begin{align*}2A_n &= \sum_{k=1}^n 2^{k+1}\\&=\sum_{k=2}^{n+1} 2^k \\&= 2^{n+1} + \sum_{k=2}^{n} 2^k \\&= 2^{n+1}+ \sum_{k=1}^{n} 2^k – 2\\&=2\times 2^n…
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136. Unicité de la décomposition d’un nombre entier supérieur ou égal à 2 en produit de nombres premiers
Pouvez-vous justifier l’unicité sans utiliser les gros théorèmes de Gauss, Bezout, le lemme d’Euclide ? La réponse est oui et sera la conséquence de l’argument de minimalité que l’on trouve dans l’ensemble $\N$ : toute partie de $\N$, non vide, admet un plus petit élément. Passez aux définitions précises. Comme la multiplication est commutative sur les…
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135. Une égalité comportant un produit
Dans le cadre de la préparation à l’agrégation de mathématiques, il peut être utile de savoir démontrer que $\forall n\geq 3, 4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1.$ Définissez la propriété Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3$, notez $P(n)$ la propriété « $4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) = 5^{2^{n-2}}-1$. » Initialisez Supposez que $n=3.$ $\begin{align*}4 \prod_{k=0}^{n-3}(5^{2^k}+1) &= 4 (5^{2^0}+1)…
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134. Résolution d’un système non linéaire
Soit à résoudre le système suivant dont les inconnues $x$ et $y$ sont des nombres réels. Effectuez une division euclidienne pour l’analyse Soit $(x,y)$ une solution du système proposé. Alors $x^2+xy-28=0$ et $xy+y^2-21=0.$ Travaillez avec $X$ comme indéterminée. Lorsque vous effectuez la division euclidienne du polynôme formel $X^2+XY-28$ de degré $2$ par le polynôme formel…