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133. Limite d’une suite géométrique dont la raison a une valeur absolue strictement inférieure à 1
Pourquoi la limite d’une telle suite est-elle égale à $0$ ? Il existe un moyen d’y parvenir avec les outils du lycée. Soit $q\in[0,1[$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $\forall n\in\N, u_n = q^n.$ Etablissez la monotonie de la suite $n\mapsto q^n$ Soit $n$ un entier naturel. $u_{n+1}-u_n = q^{n+1}-q^n = q^n(q-1).$ Or…
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132. Diagonalisabilité d’une matrice
Cet article va étudier une matrice tirée du concours de l’agrégation externe de mathématiques session 2020.
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131. L’exponentielle est dérivable au sens complexe et sa dérivée est elle-même
Il s’agit de justifier que, pour tout nombre complexe $z$, la limite $\lim_{h\to 0} \frac{\mathrm{exp}(z+h)-\mathrm{exp}(z)}{h}$ existe, quand $h$ est un nombre complexe tendant vers $0.$ Cela fera de la fonction exponentielle une fonction entière. Beaucoup mieux, vous allez démontrer que la dérivée au sens complexe de la fonction exponentielle est égale à elle-même. Approximez uniformément…
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130. L’exponentielle complexe est un morphisme de groupes
L’objectif de cet article de démontrer que $\forall (z,z’)\in\C^2, \mathrm{exp}(z)\mathrm{exp}(z’)=\mathrm{exp}(z+z’).$ Pour y parvenir, vous allez utiliser le fait que $\forall z\in\C, \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$ Puis vous allez améliorer ce résultat, en justifiant que, si $(z_n)_{n\in\NN}$ est une suite complexe qui converge vers un nombre $z\in\C$, alors vous avez encore $\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{z_n}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(z).$…
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129. Exponentielle d’un imaginaire pur, fonctions sinus et cosinus
D’après le contenu qui se trouve [yanniswp_article_link nb= »128″ desc= »dans l’article 128″], pour tout réel $x$, vous avez $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = \mathrm{exp}(ix).$ Quelles sont les propriétés de ce nombre complexe ? L’exponentielle d’un nombre imaginaire pur est un nombre complexe de module 1 Soit $x\in\R.$ Pour tout $n\in\NN$, le conjugué de $1+\frac{ix}{n}$ est $1-\frac{ix}{n}$. Comme $\lim_{x\to…